Effective main quantum numbers of hydrogen-like states belong to the common fractions set.pdf Введение Известно, что значения главного квантового числа n определяются непосредственно из формулы для энергии электрона в атоме водорода [1] (1) Фактические (эффективные) значения n* водородоподобных атомов, исходя из (1), выражаются через потенциалы ионизации: (2) Здесь φi - потенциал ионизации рассматриваемого атома; 13.6 эВ - потенциал ионизации атома водорода. В более общем случае водородоподобного иона с зарядом атомного остатка ze формула (2) приобретает вид (3) При расчете эффективных главных квантовых чисел электронов в возбужденных состояниях уровни энергии следует отсчитывать не от самого низкого уровня, соответствующего энергии ионизации, как это делается на диаграммах Гротриана, а от «нулевого» уровня энергии (на бесконечном расстоянии от атома). Рассчитанные по этим формулам эффективные главные квантовые числа n* сопоставляются с множеством простых дробей N1/N2 [2]. Использование статистических методов для решения подобного рода задач является, пожалуй, наиболее эффективным и надежным способом [3]. Однако в данном случае определенные трудности возникают не только из-за погрешностей измерений характеристик, но обусловлены также и отклонениями, вызванными особенностями взаимодействия внешнего электрона со сложным атомным остатком, включающим в себя ядро атома и внутренние электронные оболочки. Из-за указанных отклонений взаимосвязь между массивом экспериментальных значений n* и множеством простых дробей в течение десятилетий оставалась незамеченной, хотя все эти годы осуществлялись серьезные исследования водородоподобных состояний и природы квантового дефекта [4]. Кроме того, само множество простых дробей является бесконечным и представляет рациональные числа, которые фактически заполняют всю числовую ось. Исключение составляют только иррациональные числа (бесконечные непериодические десятичные дроби), но и эти числа могут быть выражены простыми дробями с любой заданной наперед точностью. Поэтому в данном случае речь может идти только о подмножестве простых дробей с существенным ограничением на величину знаменателя. Следовательно, вопрос об ограничении на величину знаменателя множества простых дробей имеет принципиальное значение, и решение его также может быть найдено на основе экспериментальных данных в рамках статистического анализа. При увеличении числителя простой дроби происходит периодическое увеличение ее величины на единицу, а дробные части чисел повторяются, поэтому при сопоставлении экспериментальных значений квантовых чисел с простыми дробями для упрощения анализа целые части чисел опущены. Таким образом, сопоставляемые друг другу множества чисел располагаются на отрезке числовой оси между нулем и единицей. Исследование большого массива экспериментальных данных дает возможность не только преодолеть трудности, связанные с погрешностями измерений и различного рода отклонениями, но и выявить некоторые общие закономерности, составляющие новое знание. 1. Исходные данные для статистического анализа Для формирования достаточной базы экспериментальных данных были использованы справочные материалы [5, 6] о водородоподобных атомах и ионах в основном энергетическом состоянии (табл. 1), а также данные о возбужденных состояниях ряда водородоподобных атомов (табл. 2, 3). В табл. 1, помимо характеристик атомов и ионов, указаны порядковые номера элементов, в табл. 2, 3 приведены характеристики возбужденных состояний серебра (потенциал ионизации 7.574 эВ), рубидия (потенциал ионизации 4.176 эВ), лития (потенциал ионизации 5.392 эВ), цезия (потенциал ионизации 3.893 эВ), калия (потенциал ионизации 4.339 эВ), натрия (потенциал ионизации 5.138 эВ). Экспериментальные данные о возбужденных состояниях атомов с единственным внешним электроном были взяты из диаграмм Гротриана [6]. На диаграммах Гротриана уровни энергии W отсчитываются от самого нижнего значения, т.е. от энергии ионизации. Поэтому для проведения расчетов необходимо было изменить точку отсчета энергии. Соответственно энергия E возбужденных состояний в табл. 2, 3 указана относительно условного «нулевого» значения энергии на бесконечном расстоянии от атома. Таблица 1 Атом, Ион z E, эВ n* Атом, Ион z E, эВ n* 3 Li 1 5.392 1.588456 24 Cr 1 6.766 1.417684 11 Na 1 5.138 1.626943 29 Cu 1 7.7264 1.326652 19 K 1 4.339 1.770413 42 Mo 1 7.0924 1.384678 55 Cs 1 3.893 1.869077 44 Ru 1 7.366 1.358719 37 Rb 1 4.176 1.804634 45 Rh 1 7.46 1.350132 47 Ag 1 7.574 1.340006 79 Au 1 9.2256 1.214082 78 Pt 1 8.96 1.232013 25 Mn+ 2 15.64 1.864907 41 Nb 1 6.88 1.405967 27 Co+ 2 17.05 1.786131 87 Fr 1 3.98 1.848536 28 Ni+ 2 18.15 1.73116 4 Be+ 2 18.21 1.728401 30 Zn+ 2 17.96 1.740293 12 Mg+ 2 15.03 1.902479 40 Zr+ 2 12.92 2.051844 20 Ca+ 2 11.87 2.14079 43 Tc+ 2 14.87 1.912582 38 Sr+ 2 11.026 2.221214 58 Ce+ 2 12.3 2.102921 56 Ba+ 2 10 2.332381 59 Pr+ 2 10.6 2.265284 48 Cd+ 2 16.904 1.793927 60 Nd+ 2 10.7 2.254673 88 Ra+ 2 10.144 2.315767 61 Pm+ 2 10.9 2.233892 26 Fe+ 2 16.18 1.833624 62 Sm+ 2 11.1 2.213676 57 La+ 2 11.43 2.181606 63 Eu+ 2 11.24 2.199846 5 B++ 3 37.92 1.796621 64 Gd+ 2 12.1 2.120229 13 Al++ 3 28.44 2.07456 65 Tb+ 2 11.5 2.174836 21 Sc++ 3 24.75 2.223838 66 Dy+ 2 11.7 2.156168 Окончание табл. 1 Атом, Ион z E, эВ n* Атом, Ион z E, эВ n* 39 Y++ 3 20.5 2.443508 67 Ho+ 2 11.8 2.147012 49 In++ 3 28 2.090796 68 Er+ 2 11.9 2.137972 14 Si+++ 4 45.13 2.19582 69 Tm+ 2 12.1 2.120229 15 P4+ 5 65.01 2.286912 70 Yb+ 2 12.18 2.113255 16 S5+ 6 88 2.358736 71 Lu+ 2 13.9 1.97819 17 Cl6+ 7 114.2 2.415652 72 Hf+ 2 14.9 1.910655 53 J6+ 7 104 2.531342 73 Ta+ 2 16.2 1.83239 18 Ar7+ 8 143.4 2.463683 74 W+ 2 17.7 1.753028 80 Hg+ 2 18.751 1.703285 75 Re+ 2 16.6 1.810179 50 Sn +++ 4 46.4 2.165561 76 Os+ 2 17 1.788756 82 Pb+++ 4 39 2.362094 77 Ir+ 2 17 1.788756 51 Sb 4+ 5 63.8 2.308496 89 Ac+ 2 11.75 2.151575 35 Bi4+ 5 56 2.464027 90 Th+ 2 11.9 2.137972 52 Te5+ 6 83 2.428744 92 U+ 2 11.9 2.137972 84 Po5+ 6 73 2.589759 85 At6+ 7 91 2.705969 54 Xe 7+ 8 126 2.628295 86 Rn7+ 8 111 2.800103 6 C+++ 4 64.48 1.836932 23 V4+ 5 65.2 2.283451 7 N4+ 5 97.86 1.863858 24 Cr5+ 6 90.6 2.324517 8 O5+ 6 138.08 1.882918 32 Ge+++ 4 45.7 2.181963 9 F6+ 7 185.14 1.897114 33 As4+ 5 62.9 2.324825 10 Ne7+ 8 239.1 1.907856 34 Se5+ 6 82.1 2.441885 11 Na8+ 9 299.7 1.917099 35 Br6+ 7 103 2.54346 12 Mg9+ 10 367.2 1.924395 36 Kr7+ 8 126 2.62815 19 K8+ 9 176 2.50168 37 Rb8+ 9 150 2.709832 20 Ca9+ 10 211.3 2.536856 38 Sr9+ 10 177 2.771781 22 Ti+++ 4 43.24 2.243172 Таблица 2 Серебро Рубидий Литий W, эВ E, эВ n* W, эВ E, эВ n* W, эВ E, эВ n* 3.664 3.91 1.86501 1.56 2.616 2.280083 1.848 3.544 1.958947 3.75 3.824 1.885865 1.589 2.587 2.292827 3.373 2.019 2.595382 3.778 3.796 1.892807 2.4 1.776 2.767247 3.834 1.558 2.954512 4.304 3.27 2.039368 2.496 1.68 2.845213 3.879 1.513 2.998127 5.276 2.298 2.432733 2.94 1.236 3.317113 4.341 1.051 3.597229 5.988 1.586 2.928315 2.95 1.226 3.330613 4.522 0.87 3.953756 6.013 1.561 2.951671 3.186 0.99 3.706396 4.541 0.851 3.997649 6.044 1.53 2.981424 3.187 0.989 3.70827 4.542 0.85 4 6.046 1.528 2.983375 3.262 0.914 3.857415 4.749 0.643 4.599006 6.433 1.141 3.452444 3.322 0.854 3.990621 4.837 0.555 4.950202 6.7 0.874 3.944698 3.451 0.725 4.331122 4.847 0.545 4.995411 6.71 0.864 3.96746 3.455 0.721 4.34312 4.848 0.544 5 6.72 0.854 3.990621 3.557 0.619 4.687315 4.958 0.434 5.597893 6.721 0.853 3.99296 3.601 0.575 4.86335 5.008 0.384 5.95119 6.722 0.852 3.995302 3.699 0.477 5.339619 5.014 0.378 5.998236 6.891 0.683 4.462303 3.701 0.475 5.350848 5.079 0.313 6.591698 7.02 0.554 4.954668 3.754 0.422 5.676926 5.11 0.282 6.944563 7.025 0.549 4.977179 3.761 0.415 5.724603 5.114 0.278 6.994345 7.029 0.545 4.995411 3.797 0.379 5.990318 5.156 0.236 7.591253 7.03 0.544 5 3.838 0.338 6.343239 5.177 0.215 7.953352 7.031 0.543 5.004602 3.84 0.336 6.36209 5.179 0.213 7.990605 7.12 0.454 5.473203 3.871 0.305 6.677587 5.208 0.184 8.59727 7.154 0.42 5.690426 3.888 0.288 6.871843 5.222 0.17 8.944272 7.197 0.377 6.006186 3.898 0.278 6.994345 5.224 0.168 8.997354 7.198 0.376 6.014168 3.925 0.251 7.360928 5.244 0.148 9.586026 Таблица 3 Цезий Калий Натрий W, эВ E, эВ n* W, эВ E, эВ n* W, эВ E, эВ n* 1.386 2.507 2.329122 1.61 2.729 2.232378 2.102 3.036 2.116501 1.455 2.438 2.361852 1.617 2.722 2.235246 2.104 3.034 2.117199 1.798 2.095 2.547871 2.607 1.732 2.802177 3.191 1.947 2.642935 1.81 2.083 2.5552 2.67 1.669 2.854574 3.617 1.521 2.990232 2.298 1.595 2.920042 3.063 1.276 3.264706 3.753 1.385 3.133607 2.699 1.194 3.37495 3.065 1.274 3.267268 4.116 1.022 3.647909 2.721 1.172 3.406478 3.397 0.942 3.799654 4.284 0.854 3.990621 2.801 1.092 3.529053 3.403 0.936 3.811812 4.288 0.85 4 2.806 1.087 3.53716 3.487 0.852 3.995302 4.344 0.794 4.138655 3.015 0.878 3.935702 3.595 0.744 4.275461 4.345 0.793 4.141263 3.034 0.859 3.97899 3.597 0.742 4.28122 4.51 0.628 4.653606 3.188 0.705 4.392127 3.743 0.596 4.776902 4.592 0.546 4.990834 3.198 0.695 4.423612 3.754 0.585 4.821604 4.595 0.543 5.004602 3.23 0.663 4.529108 3.795 0.544 5 4.624 0.514 5.143845 3.232 0.661 4.535955 3.852 0.487 5.284513 4.713 0.425 5.656854 3.337 0.556 4.945749 3.853 0.486 5.289947 4.759 0.379 5.990318 3.344 0.549 4.977179 3.93 0.409 5.76644 4.761 0.377 6.006186 3.427 0.466 5.402273 3.938 0.401 5.823677 4.778 0.36 6.146363 3.432 0.461 5.43149 3.962 0.377 6.006186 4.779 0.359 6.154917 3.448 0.445 5.528273 3.996 0.343 6.296836 4.832 0.306 6.666667 3.45 0.443 5.540738 4.042 0.297 6.766923 4.86 0.278 6.994345 3.509 0.384 5.95119 4.048 0.291 6.836329 4.861 0.277 7.006959 3.512 0.381 5.974574 4.062 0.277 7.006959 4.872 0.266 7.150372 3.562 0.331 6.409962 4.084 0.255 7.302967 4.907 0.231 7.672969 3.565 0.328 6.439209 4.114 0.225 7.774603 4.926 0.212 8.009428 3.574 0.319 6.529413 4.118 0.221 7.844645 4.934 0.204 8.164966 3.575 0.318 6.539671 4.128 0.211 8.028386 4.957 0.181 8.668225 3.612 0.279 6.956909 4.142 0.197 8.308762 4.971 0.167 9.024252 3.614 0.281 6.981799 4.143 0.196 8.329931 4.976 0.162 9.162457 3.646 0.247 7.420292 4.162 0.177 8.765624 4.993 0.145 9.684684 3.648 0.245 7.450517 4.166 0.173 8.866381 3.654 0.239 7.543458 4.172 0.167 9.024252 3.68 0.213 7.990605 4.183 0.156 9.336996 Примечание: Значения энергии даны в электрон-вольтах. В процессе анализа из всего образованного таким образом массива данных были взяты только дробные части квантовых чисел, соответствующие диапазону множества простых дробей. В результате были исключены значения, вплотную примыкающие к целым значениям n*, как и сами целые значения. Как видно из приведенных таблиц, большое количество имеющихся данных о водородоподобных возбужденных состояниях оказалось поистине незаменимым источником для расширения массива экспериментальных данных для статистического анализа. Большая и кропотливая работа по установлению соответствия каждого экспериментального результата величине конкретной простой дроби в будущем, несомненно, будет продолжена. Но на первом этапе важно установить само наличие взаимосвязи и выявить общие закономерности. Для решения этой задачи важно подробнее исследовать свойства множества простых дробей и на этой основе выработать метод анализа. В предыдущей работе [2] были использованы характеристики 37 атомов и ионов, а множество простых дробей имело ограничение на величину знаменателя относительно небольшим целым числом - 13. Множество простых дробей было наглядно представлено в виде табл. 4, в каждом столбце которой находятся значения дробей только с определенной величиной знаменателя (от 2 до 13). Как уже упоминалось, рассматриваются дроби в пределах (0-1). Таблица 4 Значения простых дробей n = N1/N2 в пределах 0 ≤ n ≤ 1, при N2 ≤ 13 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0.333333 0.25 0.2 0.166667 0.142857 0.125 0.111111 0.1 0.090909 0.083333 0.076923 1 0.666667 0.5 0.4 0.333333 0.285714 0.25 0.222222 0.2 0.181818 0.166667 0.153846 1 0.75 0.6 0.5 0.428571 0.375 0.333333 0.3 0.272727 0.25 0.230769 1 0.8 0.666667 0.571429 0.5 0.444444 0.4 0.363636 0.333333 0.307692 1 0.833333 0.714286 0.625 0.555556 0.5 0.454545 0.416667 0.384615 1 0.857143 0.75 0.666667 0.6 0.545455 0.5 0.461538 1 0.875 0.777778 0.7 0.636364 0.583333 0.538462 1 0.888889 0.8 0.727273 0.666667 0.615385 1 0.9 0.818182 0.75 0.692308 1 0.909091 0.833333 0.769231 1 0.916667 0.846154 1 0.923077 1 Возбужденные состояния атомов характеризуются меньшей энергией связи внешнего электрона и большей его удаленностью от атомного остатка. Соответственно увеличивается плотность энергетических уровней (уменьшаются расстояния между энергетическими уровнями). С другой стороны, для удобства сравнения множество простых дробей и массив экспериментальных значений эффективных главных квантовых чисел водородоподобных состояний n* должны иметь приблизительно одинаковую плотность распределения на числовой оси (на отрезке от 0 до 1). Исходя из указанных условий и существенного увеличения массива анализируемых экспериментальных данных, ограничение на величину знаменателя простых дробей было увеличено в 2 раза (с 13 до 26), что расширило множество простых дробей почти в 4 раза. Расширенное множество простых дробей включает в себя меньшее множество, так как фактически увеличение множества дробей сводится к тому, что к правой стороне табл. 4 добавляются столбцы с числами вплоть до величины знаменателя 26 (табл. 5). Таблица 5 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.071429 0.066667 0.0625 0.058824 0.055556 0.052632 0.05 0.047619 0.045455 0.043478 0.041667 0.04 0.038462 0.142857 0.133333 0.125 0.117647 0.111111 0.105263 0.1 0.095238 0.090909 0.086957 0.083333 0.08 0.076923 0.214286 0.2 0.1875 0.176471 0.166667 0.157895 0.15 0.142857 0.136364 0.130435 0.125 0.12 0.115385 0.285714 0.266667 0.25 0.235294 0.222222 0.210526 0.2 0.190476 0.181818 0.173913 0.166667 0.16 0.153846 0.357143 0.333333 0.3125 0.294118 0.277778 0.263158 0.25 0.238095 0.227273 0.217391 0.208333 0.2 0.192308 0.428571 0.4 0.375 0.352941 0.333333 0.315789 0.3 0.285714 0.272727 0.26087 0.25 0.24 0.230769 0.5 0.466667 0.4375 0.411765 0.388889 0.368421 0.35 0.333333 0.318182 0.304348 0.291667 0.28 0.269231 0.571429 0.533333 0.5 0.470588 0.444444 0.421053 0.4 0.380952 0.363636 0.347826 0.333333 0.32 0.307692 0.642857 0.6 0.5625 0.529412 0.5 0.473684 0.45 0.428571 0.409091 0.391304 0.375 0.36 0.346154 0.714286 0.666667 0.625 0.588235 0.555556 0.526316 0.5 0.47619 0.454545 0.434783 0.416667 0.4 0.384615 0.785714 0.733333 0.6875 0.647059 0.611111 0.578947 0.55 0.52381 0.5 0.478261 0.458333 0.44 0.423077 0.857143 0.8 0.75 0.705882 0.666667 0.631579 0.6 0.571429 0.545455 0.521739 0.5 0.48 0.461538 0.928571 0.866667 0.8125 0.764706 0.722222 0.684211 0.65 0.619048 0.590909 0.565217 0.541667 0.52 0.5 1 0.933333 0.875 0.823529 0.777778 0.736842 0.7 0.666667 0.636364 0.608696 0.583333 0.56 0.538462 1 0.9375 0.882353 0.833333 0.789474 0.75 0.714286 0.681818 0.652174 0.625 0.6 0.576923 1 0.941176 0.888889 0.842105 0.8 0.761905 0.727273 0.695652 0.666667 0.64 0.615385 1 0.944444 0.894737 0.85 0.809524 0.772727 0.73913 0.708333 0.68 0.653846 1 0.947368 0.9 0.857143 0.818182 0.782609 0.75 0.72 0.692308 1 0.95 0.904762 0.863636 0.826087 0.791667 0.76 0.730769 1 0.952381 0.909091 0.869565 0.833333 0.8 0.769231 1 0.954545 0.913043 0.875 0.84 0.807692 1 0.956522 0.916667 0.88 0.846154 1 0.958333 0.92 0.884615 1 0.96 0.923077 1 0.961538 1 Заметим, что часть значений эффективных квантовых чисел возбужденных состояний выходит за пределы множества простых дробей (нижняя граница множества 1/26 ≈ 0.0385, а верхняя граница 1-1/26 ≈ 0.961) и, таким образом, оказывается исключенной из рассмотрения. Эти значения, как видно, расположены довольно близко к целочисленным величинам n*, которые также не рассматриваются. После того как были проведены эти уточнения, в итоге осталось 202 экспериментальных значения n*, которые сопоставляются множеству из 211 простых дробей (в указанное число не входят дроби с повторяющимися значениями). Таким образом, ограничение на величину знаменателя N2 ≤ 26 действительно обеспечило приблизительное равенство средних плотностей распределения экспериментальных значений n* и множества простых дробей на рассматриваемом отрезке числовой оси. 2. Особенности множества простых дробей и результаты статистического анализа Множество простых дробей обладает уникальными свойствами (и признаками), по которым это множество можно распознать даже тогда, когда оно, как в данном случае, представлено массивом экспериментальных данных, «искаженных» погрешностями и всяческого рода отклонениями. Действительно, рассмотрим сначала небольшое множество дробей, имеющих ограничение на знаменатель до 8 включительно (табл. 4, все дроби в столбцах под номерами 2-8). Для наглядности отложим величины этих дробей (повторяющиеся дроби исключены) на числовой оси, как показано на рис. 1. Получившаяся картина полос, отстоящих друг от друга на разных расстояниях, очень напоминает штрихкод, который фактически является уникальным признаком множества простых дробей. Рис. 1. Множество простых дробей (N2 ≤ 8), изображенное в виде, напоминающем штрихкод Если расширить множество простых дробей, увеличив, например, ограничение на величину знаменателя с 8 до 13 включительно, то можно убедиться, что характерные признаки множества в виде сгущений и разрежений не только сохраняются, но и становятся более четкими. Такие большие множества удобнее изображать уже не в виде полос, а маркерами на возрастающей кривой, как показано на рис. 2. Здесь по горизонтали отложены условные порядковые номера дробей, а по вертикали - значения дробей из табл. 4 в порядке возрастания. Видно, что в расширенном множестве, содержащем несколько десятков дробей, разрежения ярко проявляются рядом с особыми точками. Рис. 2. Множество простых дробей (N2 ≤ 13), изображенных в виде маркеров на кривой. По горизонтали отложены условные порядковые номера дробей, а по вертикали - значения дробей в порядке возрастания. На графике в качестве примера помечены наиболее заметные области разрежения в окрестностях особых точек: 1/5, 1/3, 1/2, 2/3, 4/5 Самая широкая область разрежения, напоминающая запрещенную зону в полупроводниках, располагается с двух сторон от особой точки 1/2, которую можно назвать замечательной точкой множества. Менее заметные области разрежения располагаются симметрично относительно 1/2 около других особых точек, например, 1/5, 1/3, 2/3, 4/5, помеченных на рис. 2. На рис. 3 и 4, 5 изображены экспериментальные значения n* (верхняя кривая) и множество простых дробей N2 ≤ 26 (нижняя кривая), разбитые для удобства на две части. Наиболее заметные области рядом с особыми точками множества, где наблюдается корреляция между двумя изображенными кривыми, специально помечены на рис. 4, 5. Прежде всего обратим внимание на главное доказательство принадлежности экспериментальных величин n* к множеству простых дробей - на особую точку 0.5 (дробь 1/2) и «запрещенную зону» вокруг этой точки. Эта замечательная точка и запрещенная зона, прилегающая к ней, являются наиболее ярко выраженной «приметой», характерной для множества простых дробей. Даже если все остальные особые точки оказались бы неразличимыми из-за больших погрешностей и отклонений, этого главного доказательства уже было бы достаточно. Единственное значение n* ≈ 0.50168 в центре запрещенной зоны, которое подобно вишенке на торте венчает эту поразительную картину, принадлежит водородоподобному состоянию иона калия K8+ (см. табл. 1). Интересно, что аналогичным образом возбужденное состояние натрия n* = 6.666667 с удивительной точностью указывает на особую точку 2/3. Заметим, что фактическая ширина запрещенной зоны вокруг особой точки 1/2 не сильно отличается от величины, определяемой математическим множеством (N2 ≤ 26), что также свидетельствует о правильном выборе величины введенного ограничения на знаменатель N2. Рис. 3. Множество простых дробей N2 ≤ 26 (нижняя кривая) и экспериментальные значения n* (верхняя кривая) Рис. 4. Первая часть (0-0.5) множества простых дробей N2 ≤ 26 (нижняя кривая) и экспериментальных значений n* (верхняя кривая) Рис. 5. Вторая часть (0.5-1) множества простых дробей N2 ≤ 26 (нижняя кривая) и экспериментальных значений n* (верхняя кривая) Нам не известны физические причины математического «фокус-покуса», изобретенного самой природой, в виде существенного ограничения, накладываемого на множество простых дробей, но именно это ограничение фактически определяет спектр возможных водородоподобных состояний. Более того, наличие такого ограничения закономерно подводит нас к еще одному важнейшему выводу - о принципиальной дискретности энергетических состояний водородоподобных атомов и ионов. На рис. 3 и 4, 5 кроме замечательной точки 0.5 можно легко заметить и другие характерные участки графика n* рядом с особыми точками множества простых дробей: 0.2 (1/5); 0.25 (1/4); 0.75 (3/4). Однако общая картина водородоподобных состояний, представленная на графиках, по многим причинам оказывается значительно сложнее, чем множество простых дробей. В частности, простые дроби, которые имеют одинаковые множители в числителе и знаменателе (например, 1/3, 2/6, 3/9 и т.д.), мы считаем одинаковыми и оставляем только одну дробь, хотя физически они представляют разные состояния, что, образно говоря, может приводить к «снятию вырождения». То же самое можно сказать и о квантовых числах, отличающихся только целыми частями (например, 21/3 и 31/3), которые мы засчитываем как одну простую дробь без целой части. Из-за разрежения, существующего рядом с особыми точками множества простых дробей, эти участки графически имеют S-образную форму. Этот признак множества простых дробей является существенным при сопоставлении с массивом экспериментальных данных n*. На диаграммах, представленных на рис. 6 - 24, показаны 19 особых точек множества простых дробей с ограничением N2 ≤ 26 и области рядом с этими точками. На каждом рисунке слева для сравнения приведена диаграмма с соответствующим участком графика n*. Приведенные диаграммы в подавляющем большинстве случаев имеют S-образную форму, что является еще одним весомым доказательством принадлежности массива экспериментальных значений n* к множеству простых дробей. В ряде случаев представленные диаграммы (например, приведенные на последнем рис. 24) свидетельствуют также о поразительной точности совпадений экспериментальных величин n* и значений простых дробей. Рис. 6. Особая точка 1/13 множества простых дробей N2 ≤ 26 и ее окрестности (справа) и соответствующий участок графика величин n* (слева) Рис. 7. Особая точка 1/9 множества простых дробей N2 ≤ 26 и ее окрестности (справа) и соответствующий участок графика величин n* (слева) Рис. 8. Особая точка 1/8 множества простых дробей N2 ≤ 26 и ее окрестности (справа) и соответствующий участок графика величин n* (слева) Рис. 9. Особая точка 1/7 множества простых дробей N2 ≤ 26 и ее окрестности (справа) и соответствующий участок графика величин n* (слева) Рис. 10. Особая точка 1/6 множества простых дробей N2 ≤ 26 и ее окрестности (справа) и соответствующий участок графика величин n* (слева) Рис. 11. Особая точка 1/5 множества простых дробей N2 ≤ 26 и ее окрестности (справа) и соответствующий участок графика величин n* (слева) Рис. 12. Особая точка 1/4 множества простых дробей N2 ≤ 26 и ее окрестности (справа) и соответствующий участок графика величин n* (слева) Рис. 13. Особая точка 1/3 множества простых дробей N2 ≤ 26 и ее окрестности (справа) и соответствующий участок графика величин n* (слева) Рис. 14. Особая точка 2/5 множества простых дробей N2 ≤ 26 и ее окрестности (справа) и соответствующий участок графика величин n* (слева) Рис. 15. Особая точка 1/2 множества простых дробей N2 ≤ 26 и ее окрестности (справа) и соответствующий участок графика величин n* (слева) Рис. 16. Особая точка 3/5 множества простых дробей N2 ≤ 26 и ее окрестности (справа) и соответствующий участок графика величин n* (слева) Рис. 17. Особая точка 2/3 множества простых дробей N2 ≤ 26 и ее окрестности (справа) и соответствующий участок графика величин n* (слева) Рис. 18. Особая точка 3/4 множества простых дробей N2 ≤ 26 и ее окрестности (справа) и соответствующий участок графика величин n* (слева) Рис. 19. Особая точка 4/5 множества простых дробей N2 ≤ 26 и ее окрестности (справа) и соответствующий участок графика величин n* (слева) Рис. 20. Особая точка 5/6 множества простых дробей N2 ≤ 26 и ее окрестности (справа) и соответствующий участок графика величин n* (слева) Рис. 21. Особая точка 6/7 множества простых дробей N2 ≤ 26 и ее окрестности (справа) и соответствующий участок графика величин n* (слева) Рис. 22. Особая точка 7/8 множества простых дробей N2 ≤ 26 и ее окрестности (справа) и соответствующий участок графика величин n* (слева) Рис. 23. Особая точка 8/9 множества простых дробей N2 ≤ 26 и ее окрестности (справа) и соответствующий участок графика величин n* (слева) Рис. 24. Особая точка 12/13 множества простых дробей N2 ≤ 26 и ее окрестности (справа) и соответствующий участок графика величин n* (слева) Однако сейчас в нашу задачу не входит подробное сравнение конкретных величин n* с соответствующими простыми дробями. Статистический анализ предполагает поиск самых общих закономерностей и взаимосвязей. Детальный анализ проблемы, в том числе дополнительные экспериментальные исследования, еще только предстоит, так как многие вопросы пока остаются без ответа. Дальнейшие исследования должны затронуть и теоретическую сторону проблемы, а также возможные следствия для развития теории атома. Заключение Главным результатом исследования является доказательство факта принадлежности эффективных главных квантовых чисел водородоподобных состояний к множеству простых дробей вида N1/N2, имеющих существенное ограничение на величину знаменателя. Можно сказать, что произошло чудо статистики. Собранные в большой коллектив водородоподобные состояния (как основные, так и возбужденные) начали сами рассказывать о взаимосвязи с множеством простых дробей. Оказалось, что наличие существенного ограничения на величину знаменателя придает множеству простых дробей уникальные отличительные признаки, которые действительно проявляются и становятся заметными только в большом массиве экспериментальных значений эффективных главных квантовых чисел водородоподобных состояний. Другими словами, конечное множество простых дробей обладает характерными признаками, по которым это множество можно распознать даже тогда, когда оно, как в данном случае, представлено массивом экспериментальных данных, «искаженных» погрешностями и отклонениями. В частности, ограниченное множество простых дробей имеет неравномерную плотность распределения по числовой оси. При этом каждый участок с пониженной плотностью имеет в центре точку - простую дробь, которая поистине является особой точкой множества, так как совокупность областей разрежения и особых точек образует подобие штрихкода, по которому можно распознать множество простых дробей. Наиболее заметная особая точка находится в центре множества и получила название замечательной точки - это простая дробь 1/2, вокруг которой разрежение столь значительное, что его можно считать некоторым подобием «запрещенной зоны» (по аналогии с полупроводниками). При ограничении на знаменатель N2 ≤ 26 расстояние между соседними цифрами в этой области разрежения задается последовательностью дробей 0.48 - 0.5 - 0.52, в то время как фактическая «запрещенная зона» задается соседними числами в массиве экспериментальных значений эффективных главных квантовых чисел 0.473 - 0.502 - 0.528. Как видим, замечательная точка 1/2 действительно находится посередине запрещенной зоны, а ширина этой зоны, предсказываемая множеством простых дробей, на самом деле близка к фактической величине. Одновременно это подтверждает правильность выбора ограничения на знаменатель дробей, который был первоначально сделан исходя из приблизительного равенства количества дробей (211) в математическом множестве количеству экспериментальных значений квантовых чисел (202). Следует особо подчеркнуть важность логической цепочки, которая следует из проведенного анализа. А именно: существование запрещенной зоны в окрестности замечательной точки 1/2 означает наличие ограничения на знаменатель простых дробей и, следовательно, указывает на конечность самого математического множества, что, в свою очередь, говорит о дискретности энергетических уровней водородоподобных состояний. Таким образом, сама природа по неизвестным нам физическим причинам осуществила этот математический прием, ограничив величину знаменателя простых дробей, что, в конечном итоге, и определяет структуру спектра возможных энергетических состояний электронов водородоподобных атомов и ионов (как основных, так и возбужденных). Ограничение на знаменатель множества простых дробей, как уже упоминалось, имеет и другие проявления. Из-за разрежения, существующего рядом с особыми точками множества простых дробей, эти участки графически имеют S-образную форму (в данном случае речь идет о 19 особых точках и примыкающих областях разрежения). Проверка по этому признаку дала возможность получить еще одно доказательство принадлежности эффективных главных квантовых чисел водородоподобных состояний к множеству простых дробей. Фактически мы являемся свидетелями поразительного факта, когда большая совокупность экспериментальных данных создает ясную картину явления даже при наличии погрешностей и различного рода отклонений, которые, казалось бы, должны были безнадежно исказить и «обесценить» каждый отдельный экспериментальный результат. Более того, можно предположить, что ограничение, накладываемое природой на множество простых дробей, является индивидуальным для каждого атома или иона. Скорее всего, это так и есть, но, к счастью для нас, особые точки множества простых дробей почти не меняются даже при существенных вариациях ограничения на величину знаменателя. В заключение следует отметить, что фактор взаимосвязи эффективных главных квантовых чисел водородоподобных атомов и ионов с множеством простых дробей, очевидно, действует на фоне других физических ограничений, которые влияют на свойства атомов и ионов. Будущие исследования должны дать ответ и на вопрос о том, какой простой дроби соответствует каждый отдельный экспериментальный результат и как это связано со свойствами водородоподобного состояния. Поэтому проведенный анализ является лишь самым началом исследований, которые должны быть направлены не только на дальнейшее изучение и уточнение открытой экспериментальной закономерности, но и на установление возможных следствий для теории атома.

Скачать электронную версию публикации