Напряженно-деформированное состояние континуума с очагом пластической деформации | Известия вузов. Физика. 2022. № 5. DOI: 10.17223/00213411/65/5/29

Напряженно-деформированное состояние континуума с очагом пластической деформации

Описан метод построения в упругой плоскости полосы пластической деформации сдвига с использованием решения Крауча в задаче о постоянном разрыве смещения на конечном отрезке неограниченной плоскости. Получены аналитические уравнения для расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) плоскости с полосой однородной пластической деформации сдвига. Проведен анализ НДС и выявлены особенности поля внутренних напряжений в упругой плоскости с полосой локализованной пластической деформации. Показано, что очаг однородной пластической деформации сдвига можно использовать в качестве элемента для построения очага произвольной геометрической формы с заданным распределением пластической деформации сдвига. В общем случае предложенный подход можно применить и для построения очагов с однородным распределением нормальных компонент пластической деформации.

Stress-strain state of the continuum with the source of the shear plastic deformation.pdf Введение В физике твердого тела часто встречаются задачи, в которых однородная упругая среда искажается вследствие появления области, претерпевшей изменение формы по каким-либо физическим причинам. Такое положение возникает, например, при образовании в кристалле двойника, либо вследствие термического расширения элемента структуры, мартенситного превращения, выделения фазы с другой элементарной ячейкой или по какой-либо иной причине [1, 2]. Возмущение поля напряжения возникает также в результате процессов пластической деформации в локальных объемах структурно-неоднородной среды под действием внешних приложенных сил. Необратимое изменение формы структурного элемента среды при пластической деформации приводит к остаточным внутренним напряжениям в объеме твердого тела при удалении внешних сил. Фундаментальной задачей континуальной теории деформируемого тела является описание напряженно-деформируемого состояния (НДС) твердого тела с очагами локализованной пластической деформации (ЛПД). Согласно постулатам континуальной теории деформируемого твердого тела [1-7], деформация подразделяется на упругую и пластическую. Уравнение состояния поля упругой деформации определяется законом Гука. Пластическая деформация осуществляется разрывами полей упругой деформации и сопровождается дополнительным вкладом в поле упругой деформации за счет работы внешних сил [6]. Постулаты континуальной теории дефектов позволяют заданному полю пластической деформации ставить в соответствие определенное поле внутренних напряжений. Каждому полю пластической деформации соответствует определенное распределение в объеме разрывов смещений. Очаг ЛПД в двумерном случае можно представить в виде зоны, окруженной контуром, внутри которого задано определенное поле пластической деформации. В качестве наглядного примера на рис. 1 приведено фотоизображение зарождающейся полосы Людерса в малоуглеродистой стали [8]. Последняя выявлена с помощью хрупкого прозрачного покрытия, нанесенного на плоский образец до испытания на растяжение. Виден контур, ограничивающий зону отслаивания покрытия от поверхности образца там, где произошло интенсивное накопление пластической деформации. В хрупком покрытии возникла магистральная трещина, направленная перпендикулярно оси растяжения. На покрытии, как на реплике, проявилась кристаллическая структура недеформированного поликристалла. Сквозь покрытие хорошо видны очертания границ зерен, испытавших пластическую деформацию в полосе Людерса. Наложение изображений исходной структуры и после пластической деформации приводит к эффекту раздвоения границ зерен. Задачи, связанные с определением НДС твердого тела с очагом локализованной пластической деформации, допускают аналитические решения только в случае, если очаг имеет простую форму, например, форму эллипса и содержит однородное поле пластической деформации внутри эллипса. Так, в работе [9] показано, что однородное поле пластической деформации p = 2 a/bE внутри эллиптической области в упругой пластине вызывает поле напряжений, идентичное таковому в упругой пластине с эллиптическим вырезом под действием внешнего напряжения . В приведенном равенстве a и b - соответственно большая и малая полуоси эллипса, Е - модуль Юнга пластины. Рис. 1. Полоса ЛПД в малоуглеродистой стали [8] В данной работе описывается метод построения полосы ЛПД в неограниченной упругой плоскости и определяется напряженно-деформированное состояние системы с однородным полем пластической деформации сдвига. Построение полосы производится на основе модели разрыва смещений Крауча [10-12]. 1. Разрыв смещений на отрезке в неограниченной упругой плоскости Физически разрыв смещений можно представить следующим образом. Будем считать, что конечный отрезок длиной 2а в упругой плоскости имеет два берега, верхний и нижний (рис. 2). Смещение друг относительно друга противоположных берегов отрезка на постоянную величину и есть разрыв смещений. Задача о постоянном разрыве смещения на конечном отрезке в упругом континууме задается условием непрерывности смещений всюду, кроме рассматриваемого отрезка. На рис. 2 отрезок длиной 2а расположен на оси х симметрично относительно оси у. Будем считать, что данный отрезок состоит из двух совпадающих отрезков. Один отрезок находится на положительной стороне оси у = 0 (обозначим его через у = 0+), а другой - на отрицательной стороне (обозначим его через у = 0-). Отрезки испытывают определенное смещение Di = (Dх, Dу) друг относительно друга, где Dх - компонента смещения вдоль оси х и Dу - компонента смещения вдоль оси у. Разрыв смещений Di будем определять как разность смещений двух сторон отрезка Di = ui(x, 0 ) - ui(x, 0-), или Dx = ux(x, 0 ) - ux(x, 0-), Dy = uy(x, 0 ) - uy(x, 0-). (1) Из рис. 2 следует, что величины Dх и Dу положительны. Заметим, что положительному значению Dу отвечает раскрытие сторон отрезка. Рис. 2. Компоненты разрыва смещений Решение обсуждаемой задачи получено Краучем [10-12]. Смещения и напряжения можно записать в виде следующих выражений: ux = Dх [yf, xx -2( - )f, y Dy [yf, xy ( - )f, x uy = Dх [yf, xy - ( - )f, x] Dy [yf, yy - ( - )f, y xx = -2GDx(2f, xy + yf, xyy) - 2GDy(f, yy + yf, yyy), yy = 2GDxyf, xyy + 2GDy(yf, yyy - f, yy), (2) xy = -2GDx(f, yy + yf, yyy) + 2GDyyf, xyy, где G - модуль сдвига; - коэффициент Пуассона. Запятая означает дифференцирование по соответствующим координатам. Функция f (x, у) в этих уравнениях равна . (3) Из выражений (2) следует, что для определения компонент смещения и напряжения надо знать вторые и третьи производные функции f(х, у). Нетрудно убедиться, что смещения непрерывны всюду в бесконечном теле, за исключением отрезка | x | а, y = 0, на котором они, в соответствии с определениями, терпят разрыв. Напряжения на линии у = 0 равны . (4) Таким образом, на линии у = 0 нормальные напряжения xx и yy зависят только от нормальной компоненты разрыва смещения Dу , а касательные напряжения ху = ух зависят только от компоненты Dх . Из приведенных выражений видно, что напряжения бесконечны и разрывны только при х = ±a. За исключением этих точек напряжения конечны и непрерывны всюду на оси у = 0. 2. НДС упругой плоскости с очагом пластической деформации простого сдвига Локализованную пластическую деформацию в сплошной среде можно представить в виде распределения элементарных разрывов смещений в ограниченной области. Поясним это на схеме, представленной на рис. 3. Выделим в упругой плоскости прямоугольник размером 2а 2b. В центре прямоугольника расположим декартову систему координат с осью х, направленной вдоль стороны 2а прямоугольника. Рис. 3. Элементарный разрыв смещений dDx в объеме прямоугольной формы Пусть на расстоянии l от оси х имеет место элементарный сдвиг Dх друг относительно друга верхней и нижней частей прямоугольника вдоль направления оси х. Параллельный отрезок на расстоянии l от оси х представим в виде двух отрезков, отстоящих друг от друга на расстоянии dl. В таком случае говорят, что имеет место элементарный разрыв смещений dDх на отрезке длиной 2а. Если заданное смещение dDх имеет место для любого отрезка длиной 2а, то интегральная сумма всех элементарных сдвигов определит сдвиг Dх верхней стороны прямоугольника относительно нижней стороны. В результате в упругом континууме получим прямоугольный очаг с однородным полем пластической деформации сдвига. Определим напряженно-деформированное состояние данной системы с использованием модели разрыва смещений Крауча (рис. 3). Крауч [12] нашел решение для всех компонент поля напряжения для разрыва смещений на отрезке длиной 2а, считая, что этот отрезок представляет собой два берега трещины. Мы представляем разрыв смещений не как смещение берегов трещины, а как элементарный сдвиг друг относительно друга точек материала, отстоящих на элементарном расстоянии друг от друга. По физическому смыслу это и есть элементарное пластическое смещение в объеме материала. Примером тому может служить петля дислокации в кристаллической решетке. В сечении, перпендикулярном плоскости петли, наблюдается реальное относительное смещение плотноупакованных плоскостей кристаллической решетки на вектор Бюргерса [13]. Для элементарного разрыва смещений dDx, согласно уравнениям (2), решения Крауча можно записать следующим образом: d xx = -2GDx(2f, xy + (y - l)f, xyy)dl, d yy = 2GDx(y - l)f, xyydl, xy = -2GDx[f, yy + (y - l)f, yyy]dl. (5) Здесь l - переменная интегрирования; dDх = Dхdl - элементарный разрыв смещений. Отметим, что в данном представлении коэффициент Dх является числом безразмерным. Согласно уравнению (3), функция f(x, y) равна Производные этой функции равны: Интегрирование выражений (5) по переменной l от -b до +b приводит к следующим выражениям для компоненты xy тензора напряжений: (6) В уравнениях для компонент уy и xх содержится функция (7) и логарифмическая функция (8) При этом выражения для компонент уy и xх тензора напряжения приобретают вид уy = -F(x, y) L(x, y), xx = F(x, y) L(x, y). (9) Условие b > a (рис. 3) определяет поле касательных напряжений (6) полосы локализованной пластической деформации сдвига, ориентированной вдоль оси x. Рис. 4 иллюстрирует поле напряжений для случая, когда a/b = 10, G = 80 ГПа, = 0.3 и D = 0.001. Из уравнения (6) следует, что это поле напряжений нигде не имеет разрывов, в том числе и на угловых точках полосы, где х = ±a и у = ±b. Полоса ЛПД сдвига на концах имеет концентраторы напряжения xy. Каждый концентратор состоит из двух смежных зон - зоны положительной и зоны отрицательной концентрации напряжения xy. Первая наблюдается вне, а вторая - внутри полосы. При указанных выше параметрах полосы xy(max) = 16.46 МПа и xy(min) = - 20.01 МПа. Расположение концентраторов касательных напряжений xy способствует увеличению длины полосы. Рис. 4. Поле внутреннего напряжения xy в континууме с полосой ЛПД сдвига Рис. 5 иллюстрирует изменение концентрации напряжения xy по мере увеличения длины полосы. Видно, что при этом происходит увеличение максимума и уменьшение минимума xy. Кривая 1 отвечает случаю, когда зона пластической деформации сосредоточена в квадратной области, т.е. когда a = b. В данном случае наблюдается существенная разница по абсолютной величине максимальной концентрации напряжения в плюсовой и в минусовой зонах: xy(max) = 7.52 МПа и xy(min) = -36.38 МПа. По мере увеличения длины полосы указанная разница сначала быстро уменьшается, затем асимптотически стремится к нулю. В пределе для полубесконечной полосы xy(max) = | xy(min)| = 18.19 МПа. Рис. 5. Профили напряжения xy для полос пластической деформации разной длины В отличие от касательной компоненты xy, нормальные компоненты тензора напряжения yy и xx в точках, где х = ±a и у = ±b, сингулярны, т.е. неограниченно возрастают благодаря присутствию в уравнениях (9) логарифмической функции L(x, y) (8). На самом деле в твердом теле напряжения не могут быть бесконечными. В кристаллической решетке на наномасштабном уровне законы линейной механики сплошной среды не действуют. На рис. 6 представлено распределение напряжения yy, где, для наглядности, в сингулярных точках бесконечные напряжения заменили значением yy = 0. Видно, что концентраторы здесь также сосредоточены на концах полосы и находятся в связке из положительного и отрицательного концентраторов. Как видно из рис. 6, расположение концентраторов нормальных напряжений yy и xx не способствует увеличению длины полосы. Особое внимание заслуживает рассмотрение квадратного очага пластической деформации чистого сдвига. Очаг пластической деформации квадратной формы определяется условием, когда в уравнениях соблюдается условие a = b. Рис. 6. Поле внутреннего напряжения yy в континууме с полосой ЛПД сдвига Распределение напряжения xy квадратного очага локализованного сдвига изображено на рис. 7. В поле внутреннего напряжения xy наблюдаются четыре одинаковых зоны положительной концентрации напряжения с максимумом xy(max) = 7.52 МПа за пределами квадрата. Внутри квадрата наблюдается единственный максимум минусовой концентрации напряжения xy(min) = -36.38 МПа, который по абсолютной величине существенно превосходит максимум xy(max). Это поле напряжений однозначно связано с полем однородной пластической деформации внутри квадрата Рис. 7. Поле напряжения yx в плоскости с квадратным очагом пластической деформации сдвига Благодаря этим замечательным свойствам квадратный очаг пластической деформации можно использовать как элемент для построения очагов пластической деформации произвольной формы. В частности, распределение xy полосы ЛПД, изображенной на рис. 4, получится в точности такое же, как при построении вдоль оси x ряда из десяти элементов квадратной формы. Заключение В работе показана возможность методами континуальной теории дефектов построить в упругой плоскости полосу пластической деформации сдвига, используя решение Крауча [5-7] в задаче о постоянном разрыве смещения на конечном отрезке неограниченной плоскости. Получены аналитические уравнения для расчета напряженно-деформированного состояния плоскости с полосой однородной пластической деформации для случаев простого и чистого сдвигов. Проведенный анализ НДС упругой плоскости с полосой ЛПД сдвига позволил выявить следующие особенности поля внутренних напряжений: 1. У концов полосы наблюдается зона высокой концентрации напряжения сдвига yx. 2. Зона плюсовой концентрации напряжения всегда сочетается с зоной минусовой концентрации напряжения. 3. Зона плюсовой концентрации расположена вне, а минусовой - внутри очага. 4. Увеличение длины полосы сопровождается ростом концентрации напряжения. 5. Поле касательного напряжения xy способствует увеличению длины полосы ЛПД в процессе нагружения плоскости. 6. Расположение концентраторов нормальных напряжений yy и xx не способствует увеличению длины полосы. Из анализа следует, что очаг однородной пластической деформации сдвига можно использовать в качестве элемента для построения очага произвольной геометрической формы с заданным распределением пластической деформации сдвига. В общем случае предложенный подход можно применить и для построения очагов с однородным распределением в полосе нормальных компонент пластической деформации yy и xx.

Ключевые слова

полоса локализованного сдвига, концентрация напряжений, континуальная теория деформации, напряженно-деформированное состояние

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Дерюгин Евгений ЕвгеньевичИнститут физики прочности и материаловедения СО РАНд.ф.-м.н., ведущ. науч. сотр. ИФПМ СО РАНdee@ispms.ru
Всего: 1

Ссылки

Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. - М.: Атомиздат, 1972. - 600 с.
Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела: пер. с англ. - М.: Мир, 1987. - 328 c.
Crouch S.L. Geomechanics report to the National Science Foundation. - Minneapolis: University of Minnesota, 1976.
Crouch S.L. // Int. J. Num. Methods Eng. - 1976. - V. 10. - P. 301-343.
Дерюгин Е.Е. // Изв. вузов. Физика. - 2020. - Т. 63. - № 8. - С. 3-8.
Дерюгин Е.Е. Взаимодействие мезо- и макрополос локализованной деформации в поликристаллах: дис.. докт. физ.-мат. наук. 01.04.07. - Томск, 1999. - С. 354.
Кадич A., Эделен Д. Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций. - М.: Мир, 1987.
Egorushkin V.E., Panin V.E., Panin A.V. // Phys. Mesomech. - 2021. - V. 24. - P. 1-8. - DOI: 10.1134/S102995992101001X (Russian Original V. 23, No. 2, March-April, 2020).
Kroner E. Gauge Field Theories of Defects in Solids. - Stuttgart: Max Planck Inst., 1982. - 102 p.
De Wit R. // Fundamental Aspects of Dislocation / ed. by J.A. Simons, R. de Wit, R. Bullough. Nat. Bur. Stand. (US) Spec. Publ. 317. - 1970. - V. I. - P. 651-673.
Лихачев В.А. Волков А.Е., Шудегов В.Е. Континуальная теория дефектов. - Л.: Из-во Ленингр. ун-та, 1986.
Eshelby J.D. // Proc. Roy. Soc. London. - 1957. - A 241. - P. 376-396.
Eshelby J.D. // Solid State Physics. - 1956. - V. 3. - P. 79.
 Напряженно-деформированное состояние континуума с очагом пластической деформации | Известия вузов. Физика. 2022. № 5. DOI: 10.17223/00213411/65/5/29

Напряженно-деформированное состояние континуума с очагом пластической деформации | Известия вузов. Физика. 2022. № 5. DOI: 10.17223/00213411/65/5/29