To the question of stokes' force in the conditions of stationary rotation of the ball.pdf Введение В настоящей работе мы рассмотрим задачу о вычислении силы сопротивления для шара, вращающегося с постоянной угловой скоростью при обтекании его стационарным потоком вязкой жидкости, движущейся поступательно со скоростью В результате внимательного изучения литературы, связанной с близкой к подобного рода проблемам тематикой (см., к примеру, [1-23]), мы не нашли решения аналогичного типа задач, что и послужило основным аргументом для написания настоящей работы. При решении поставленной задачи будут рассмотрены два разных случая: 1) направление частоты вращения шара совпадает с направлением потока, т.е. ; 2) когда их направления перпендикулярны, т.е. . Напомним, что суть задачи, решенной Стоксом, заключалась в вычислении силы сопротивления шара, движущегося поступательно в некотором вязком континууме, а ее решение весьма подробно изложено в монографии [19]. Предположим теперь, что шар вращается с постоянной угловой скоростью , направление которой пока что произвольное. При этом шар не двигается, а его вращение происходит вдоль некоторого произвольно выделенного диаметра, в который вставлена невесомая абстрактная спица, на которую жестко насажен шар. Понятно, что при вращении спицы шар также будет вращаться, и вся эта конструкция обтекается стационарно движущимся со скоростью потоком жидкости. 1. Основные уравнения и их решение Чтобы решить поставленную задачу, нам необходимо воспользоваться уравнениями Навье - Стокса и уравнением непрерывности, которые в случае несжимаемой жидкости удобно представить в виде [19] , (1) , (2) где динамическая вязкость; давление. Здесь следует заметить, что уравнение (1) описывает движение вблизи поверхности шара, а точнее, в области пограничного слоя шириной (см. [19]), в области которого число Рейольдса мало. Это означает, что нелинейным слагаемым , фигурирующим в левой части уравнения Навье - Стокса, мы имеем право пренебречь. Существенную роль в теории пограничного обтекания играет так называемый эффект «залипания» скорости, который всегда используется в виде граничного условия при решении довольно широкого круга задач. Поскольку оба движения и независимы, то формальное решение уравнения (2) благодаря его линейности мы имеем право искать в следующем аддитивном виде: , (3) где радиальные функции и требуется найти. В условиях вращения граничное условие для задачи (1) - (3) можно сформулировать единственным образом, как , (4) где радиус шара, его поверхность. Подчеркнем, что условие (4) автоматически учитывает «залипание». Взяв операцию от обеих частей уравнения (1), получаем с учетом (3) . В силу независимости скорости и частоты отсюда немедленно следуют два уравнения (5) Из первого уравнения мы сразу же приходим к классическому решению Стокса , (6) а из второго получаем, что , (7) где константы интегрирования легко найти из граничного условия (4). Заметим, что радиальные решения уравнений (5) в виде (6) и (7) являются единственными (как это было показано, например, в работе [17]), что обусловлено просто свойством этих уравнений. Еще одно решение, которое, казалось бы, должно фигурировать в (7), линейное по , опущено, поскольку в силу (3) приводит к росту скорости на бесконечности, а не к ее убыванию. Таким образом, подставляя решения (6) и (7) в формулу (3), имеем . (8) Пользуясь независимостью параметров и , а также используя (4), находим единственно возможные соотношения (9) Отсюда . (10) Подставляя решения (10) в формулу (8), будем иметь . (11) Как это очевидно из (11), если частота , мы приходим к решению Стокса. 2. Анализ решений в условиях вращения В соответствии с общим решением (11) рассмотрим два возможных случая: и , и проанализируем их по порядку. 1. . Раскладывая вектор по базису сферической системы координат, получаем единственную проекцию . (12) Поэтому с учетом (12) проекции вектора скорости, согласно (11), на базис таковы: (13) Первые два решения в (13), как мы уже отмечали, представляют собой решения Стокса [19], а полярная проекция, как видим, является следствием вращения шара. Следуя общему алгоритму вычисления силы сопротивления, запишем общее выражение для тензора вязких напряжений, который, согласно [19], но записанный в криволинейном базисе, имеет вид , (14) где η - динамическая вязкость; P - давление; символ Кристоффеля второго рода; δik - символ Кронекера, а по повторяющимся индексам, как обычно [24-28] подразумевается суммирование. Тогда проекцию полной силы сопротивления на ось , по которой направлена скорость , можно вычислить как интеграл , (15) где единичный вектор декартовой системы координат k, направленный, как обычно, вдоль оси , раскладывается по базису следующим образом: . (16) То есть из (15) следует, что сила сопротивления будет . (17) Заметим здесь, что в выражении (17) зависимость от давления неявным образом заложена в компоненту тензора вязких напряжений σrr. Действительно, согласно (14), его диагональная компонента есть , где распределение давления вблизи поверхности шара можно вычислить исходя из уравнения (1). После подстановки в него найденных выше решений (3) находим Второе и третье слагаемые здесь автоматически исчезают благодаря решениям (6) и (7), и мы немедленно приходим к зависимости, найденной Стоксом: . (18) Подстановка решений (13) в уравнение (18) дает . (19) Как видим из формального решения (19), стационарное вращение шара не оказывает никого влияния на давление. Что касается отличных от нуля компонент тензора вязких напряжений, то, согласно найденным решениям (13), в соответствии с (14) и с учетом (19), а также используя явные выражения для ненулевых символов Кристоффеля , имеем для (20) 2. . В этом случае векторное произведение , разложенное по базису при условии, что угловая скорость выбрана, например, в направлении оси , будет таким: . (21) Это означает, что проекции скорости, исходя из решения (11), на базис таковы: (22) Для решений (22) компоненты тензора вязких напряжений в этом случае имеют уже несколько иной, в отличие от (20), вид: (23) Таким образом, с помощью формул (20) и (23) легко вычислить и интересующую нас силу сопротивления в условиях стационарного вращения шара. 3. Момент сил, действующих на шар Благодаря найденным выше решениям несложно вычислить также и момент сил трения , действующих на шар. Чтобы его найти, воспользуемся матрицей разложения по базису единичных орт декартовой системы координат , линейные преобразования которых можно представить в виде , (24) где матрица . (25) Отсюда следует, что интересующие нас ортонормированные преобразования таковы: (26) Благодаря преобразованиям (26) можно легко найти все компоненты момента сил . Действительно, согласно формуле имеем (27) и аналогично . (28) Но поскольку , (29) то в соответствии с (27) и (28) получаем , (30) аналогично . (31) Что касается компоненты , то для нее, исходя из формулы с учетом (16), имеем , (32) а в силу определения (33) получаем . (34) Подставив сюда компоненту из (20), находим . (35) Таким образом, мы убедились, что в случае, когда частота вращения шара совпадает с направлением движения потока, имеется единственная отличная от нуля проекция момента сил трения на ось движения потока, определяемая выражением (35). Здесь следует обратить внимание на следующее обстоятельство. В монографии [19] на с. 99 приводится решение задачи о вращении шара и ответ практически совпадает с (35). Однако, отличие связано с тем, что в [19], к сожалению, пропущен коэффициент «2» перед символом Кристоффеля, что и привело к этому незначительному отличию (см. общую формулу (14)). В случае, если вращение шара происходит перпендикулярно направлению движения (случай 2), для вычисления проекций момента сил на оси координат нам следует воспользоваться решениями (22) и (23). В этом случае, согласно формулам (27) - (29), с учетом явного выражения для компонент тензора вязких напряжений (23) получаем (36) (37) А согласно (34) и найденной выше компоненте из (23), находим . (38) Как видно из формул (30), (31), (35) - (38), они с очевидностью указывают нам на тот факт, что вращение не влияет на сопротивление и, таким образом, подтверждают тезис того, что сила Стокса не должна меняться при вращении шара. Здесь кажется вполне уместным вспомнить и силу Магнуса FM, возникающую в результате наложения поступательного и вращательного движений. Эта сила всегда направлена перпендикулярно траектории движения, поскольку определяется векторным произведением согласно формуле , где плотность среды, а объем тела. Из этой формулы, в частности, видно, что, если направления потока и частота вращения совпадают (случай 1), сила Магнуса равна нулю. Если же направление потока и частота вращения перпендикулярны (случай 2), сила Магнуса будет направлена вдоль оси y, по которой ориентирована и проекция момента сил трения (формула (37)) My, а потому она никак не сможет повлиять на силу Стокса. 4. Сила сопротивления Как следует из решений (13) и (22), в определение силы сопротивления, если исходить из общего выражения (17), входит интегрирование по полярному углу . Это означает, что все слагаемые, пропорциональные и , автоматически исчезают. Следовательно, с учетом сказанного, и принимая во внимание зависимости (13) и (22), убеждаемся, что ответ действительно будет совпадать с решением Стокса, а именно . (39) Таким образом, строго найденные выше решения (13) и (22) указывают нам на не совсем очевидный факт того, что стационарное вращение шара вовсе не влияет на силу сопротивления, что и нашло свое строгое доказательство в настоящей работе. С нашей точки зрения это является довольно важным результатом, свидетельствующим об универсальности решения Стокса даже для случая вращательного движения объекта. Заметим также, что подобные рассуждения будут иметь место и для вращающегося вдоль своей оси цилиндра. Заключение В заключение работы отметим: 1. Исследовано гидродинамическое течение вязкой жидкости вблизи поверхности шара в условиях его стационарного вращения. 2. Вычислены компоненты скорости потока жидкости и показано, что вращение шара не влияет на закон Стокса. 3. Отмечено, что данный фактор будет иметь существенное значение при решении ряда практических задач.

Скачать электронную версию публикации