Влияние эффекта Ярковского на орбитальные резонансы астероидов с малыми перигелийными расстояниями
Представлены результаты исследования влияния эффекта Ярковского на резонансные характеристики астероидов с малыми перигелийными расстояниями. Из 52 исследуемых объектов выявлены 27 астероидов, которые движутся в окрестности устойчивых и неустойчивых орбитальных резонансов низких порядков с большими планетами. Построена эволюция орбит этих астероидов с учетом эффекта Ярковского и без него и проанализировано поведение резонансных характеристик в обоих случаях. Учет эффекта осуществлялся путем включения возмущения от трансверсального ускорения A2, значения которого для представленных объектов получены ранее авторами работы. Показано, что влияние эффекта Ярковского на устойчивые резонансы несущественно и приводит к незначительным изменениям амплитуды либрации резонансных характеристик с сохранением устойчивости резонанса. При неустойчивом резонансном взаимодействии меняется число прохождений через точную соизмеримость, а для некоторых астероидов резонанс становится более устойчивым.
Influence of the Yarkovsky effect on mean motion resonances of asteroids with small perihelion distances.pdf Введение Исследование резонансных движений астероидов, сближающихся с Землей, является одной из важных задач на пути к решению проблемы астероидной опасности. Поскольку орбитальный резонанс или резонанс по среднему движению возникает, когда астероид имеет орбитальный период, соизмеримый с периодом большой планеты [1, 2], то устойчивая геометрическая конфигурация «астероид - планета» может служить защитным механизмом от тесных сближений с ней [3]. Иная ситуация обстоит с неустойчивой геометрической конфигурацией, возникновение которой повышает риск сближения астероида с планетой. Такое взаимное расположения астероида и массивного тела может привести к значительным изменениям элементов орбит объектов и возможных сближений с другими планетами, в том числе с Землей. Особо актуально исследование резонансов средних движений для астероидов, имеющих малые перигелийные расстояния, так как орбиты этих объектов имеют вытянутую форму и потенциально способны взаимодействовать с большинством планет Солнечной системы [4-7]. Работа посвящена исследованию орбитальных резонансов в движении астероидов с малыми перигелийными расстояниями (q ≤ 0.15 а.е.). Так как эффект Ярковского [8-10] может оказывать существенное влияние на движение этих астероидов при прохождении их вблизи Солнца, а именно на значение большой полуоси, то рассмотрено влияние эффекта на поведение резонансных характеристик со временем [11]. В процессе исследования выявлены все астероиды с малыми перигелийными расстояниями, движущиеся в окрестности устойчивых и неустойчивых резонансов средних движений с большими планетами. Построена эволюция характеристик орбитального резонанса с учетом эффекта Ярковского и без него и проведен сравнительный анализ их поведения со временем. 1. Методика исследования Исследование динамики астероидов выполнялось путем численного интегрирования уравнений их движения методом Эверхарта [12, 13] с использованием программного комплекса ИДА [14]. На этапе предварительного выявления орбитальных резонансов в движении объектов была построена эволюция их орбит с начальными данными, взятыми из каталога Э. Боуэлла [15] на июнь 2021 г. Модель сил подбиралась в соответствии с моделью, используемой в каталоге Боуэлла, и включала в себя возмущения от всех больших планет, Луны, Цереры, Паллады, Весты. Резонансное движение оценивалось путем анализа поведения двух характеристик: резонансного (критического) аргумента в виде (1) и так называемой резонансной щели α [16], представляющей собой первую производную по времени от β, в форме (2) В формулах (1) и (2) используются следующие обозначения: ω, - аргумент перигелия и долгота восходящего узла орбиты астероида; - средние движения астероида и планеты; - средние долготы астероида и планеты соответственно; - целые числа. Резонанс возникает, когда резонансная щель близка к нулю, а аргумент совершает регулярные колебания в пределах 360 . Значение α, строго равное нулю, именуется точной соизмеримостью или точным резонансом. Подробный алгоритм вычисления характеристик орбитального резонанса описан в работах [1, 2]. Оценка влияния эффекта Ярковского на резонансную динамику астероидов осуществлялась путем сравнения результатов эволюции резонансных характеристик при модели сил с учетом возмущений от всех больших планет, Плутона, Луны, релятивистских эффектов от Солнца, сжатия Солнца с включенным возмущением от эффекта Ярковского и без него. При этом начальные данные получались путем улучшения орбит методом наименьших квадратов при той же модели сил, что и расчет эволюции. В связи с тем, что физические параметры для большинства астероидов не известны, в качестве возмущающего фактора, отвечающего за учет эффекта Ярковского, использовалось значение трансверсального ускорения A2, обусловленного влиянием эффекта. В работе [10] приведены значения параметров A2, полученные нами для всех астероидов с малыми перигелийными расстояниями. Метод определения параметра в данном случае основан на включении A2 в число оцениваемых параметров при решении задачи наименьших квадратов при предположении, что величина эффекта Ярковского обратно пропорциональна квадрату расстояния [17]. 2. Предварительный поиск орбитальных резонансов в движении астероидов с малыми перигелийными расстояниями По состоянию на июнь 2021 г. известно 52 астероида с малыми перигелийными расстояниями. Для предварительного поиска орбитальных резонансов астероидов с большими планетами с помощью программного комплекса ИДА была построена эволюция орбит рассматриваемых объектов на интервале времени 2000 лет. Данное исследование позволило выявить все резонансы средних движений низких порядков, со значениями коэффициентов k, k' > 10. Исследование позволило не только определить наличие орбитальных резонансов астероида и планеты, но и выявить устойчивые и неустойчивые резонансы среди них. К устойчивым отнесены резонансы, для которых характерно сохранение соотношения на всем интервале исследования. Это означает, что резонансная щель регулярно проходит через нулевое значение, при этом аргумент совершает либрационные колебания относительно определенного центра с амплитудой меньше 360 . Для неустойчивого резонанса характерна смена либрационного поведения резонансного аргумента на циркуляцию, в течение которой резонансная щель будет колебаться по одну сторону от точной соизмеримости (α = 0). Смена поведения допустима в обоих направлениях. К неустойчивому резонансному поведению мы также относим ситуацию, в которой резонансная щель регулярно проходит через значение точного резонанса, а критический аргумент медленно циркулирует [18]. На рис. 1 в качестве примера приведены графики эволюции характеристик орбитального резонанса для случаев устойчивого (а) и неустойчивого (б) резонансов. Астероид 2013 YC находится в резонансе 3/1 с Юпитером (график (а) рис. 1), демонстрируя устойчивые колебания резонансных характеристик относительно определенного центра либрации с небольшой амплитудой. На всем интервале интегрирования резонансный аргумент совершает регулярные колебания относительно центра 180 , в то время как резонансная щель регулярно проходит через значение точной соизмеримости с амплитудой, не превышающей 20 угловых секунд в сутки. Астероид движется в устойчивой геометрической конфигурации с Юпитером и избегает сближений с планетой. В качестве примера неустойчивости резонанса на графике (б) рис. 1 представлена эволюция характеристик резонанса 4/1 астероида 2015 EV с Юпитером. Из рис. 1, б видно, что регулярное прохождение щели через нулевое значение периодически сменяется колебаниями по одну сторону от точной соизмеримости. Такое поведение щели сопровождается сменой регулярных колебаний резонансного аргумента на циркуляцию. В период устойчивых колебаний резонансный аргумент имеет большую амплитуду, а значение резонансной щели на всем интервале исследования не превышает 30 с в сутки по модулю. Геометрическая конфигурация «астероид - планета» для приведенного резонанса является неустойчивой, что при неудачном взаимном расположении объектов может привести к сближениям астероида с Юпитером и впоследствии к значительным изменениям элементов орбиты исследуемого объекта. На рассматриваемом интервале времени астероид не испытывает сближений с планетой, но тем не менее из-за неустойчивости резонанса отсутствует защитный механизм от этих сближений. Рис. 1. Пример устойчивого резонанса 3/1 астероида 2013 YC (а) и неустойчивого резонанса 4/1 астероида 2015 EV (б) с Юпитером В табл. 1 приведены результаты поиска резонансов по среднему движению астероидов и больших планет. Из 52 астероидов с малыми перигелийными расстояниями, известных на момент исследования, 27 объектов движутся в окрестности орбитальных резонансов с одной или несколькими планетами одновременно. Таблица 1 Орбитальные резонансы астероидов, имеющих малые перигелийные расстояния, с большими планетами № Астероид Венера Земля Марс Юпитер Сатурн У НУ У НУ У НУ У НУ У НУ 1 3200 Phaethon 3/7 2 137924 2000 BD19 3/4 3 276033 2002 AJ129 5/8 4 394130 2006 HY51 7/1 5 399457 2002 PD4 3/1 6 399457 2002 PD4 5/9 7/2 7 1995 CR 5/7 8 2005 HC4 1/4 9 2011 BT59 1/4 3/1 10 2011 KE 9/1 11 2012 US68 3/1 12 2013 HK11 3/5 13 2013 YC 1/4 3/1 14 2015 EV 1/3 5/8 4/1 15 2015 HG 1/3 5/8 4/1 16 2015 KO120 2/5 3/4 17 2017 AF5 1/4 3/1 18 2017 MM7 4/1 19 2017 SK10 4/1 20 2017 TC1 1/4 3/1 21 2019 JZ6 1/4 3/1 22 2020 BU13 1/4 3/1 23 2020 DD 1/4 3/1 24 2020 HE 1/4 3/1 Окончание табл. 1 № Астероид Венера Земля Марс Юпитер Сатурн У НУ У НУ У НУ У НУ У НУ 25 2020 HY2 5/9 7/2 26 2020 TS2 1/4 3/1 27 2020 VL4 1/5 В процессе исследования обнаружены резонансы с Венерой, Землей, Марсом, Юпитером и Сатурном. С Меркурием резонансов выявлено не было. В табл. 1 введены условные обозначения: У - устойчивый резонанс; НУ - неустойчивый резонанс. Так как исследование выполнялось для массива астероидов, то предварительный анализ данных выполнялся по поведению резонансной щели, максимальной амплитуде и количеству прохождений через точный резонанс. Из табл. 1 видно, что наибольшее число устойчивых резонансов приходится на взаимодействие астероидов с Юпитером. При этом следует отметить, что чаще всего резонанс 3/1 с Юпитером (независимо от того, устойчивый или нет) сопровождается наличием неустойчивого резонанса 1/4 с Землей. 3. Оценка влияния эффекта Ярковского на орбитальные резонансы астероидов с малыми перигелийными расстояниями Ранее нами были получены оценки параметра эффекта Ярковского А2, которые представлены в работе [10]. Эти значения использованы для учета эффекта при построении орбитальной эволюции астероидов, имеющих малые перигелийные расстояния и движущихся в окрестности орбитальных резонансов с большими планетами. Поскольку на момент исследования интервал и количество наблюдений для этих астероидов совпали с таковыми в работе [10], нами использовались значения параметра А2 из этой работы. В табл. 2 приведены данные о наблюдениях и результатах определения параметра эффекта Ярковского А2 для 27 астероидов из табл. 1. Таблица 2 Данные о наблюдениях и результаты определения параметра А2 № Объект n t, сут А2, а.е./сут2 δA2, а.е./сут2 1 1995 CR 244 9155 -3.0 10-15 1.8 10-15 2 3200 Phaethon 5662 13622 -3.4 10-15 2.5 10-15 3 276033 2002 AJ129 466 5898 -1.7 10-14 7.0 10-15 4 137924 2000 BD19 729 8772 4.9 10-14 9.7 10-15 5 399457 2002 PD43 164 5855 -3.3 10-14 4.7 10-14 6 2017 AF5 346 1859 -5.6 10-14 7.5 10-14 7 394130 2006 HY51 395 4784 3.9 10-14 9.8 10-14 8 431760 2008 HE 212 2560 1.8 10-13 1.3 10-13 9 2012 US68 61 2915 1.3 10-13 1.3 10-13 10 2011 KE 196 2521 2.8 10-13 2.9 10-13 11 2013 YC 70 1447 2.7 10-14 4.9 10-13 12 2017 TC1 54 22 -5.6 10-10 3.4 10-10 13 2017 MM7 66 22 8.9 10-10 7.4 10-10 14 2020 TS2 30 21 1.5 10-9 1.1 10-9 15 2020 DD 90 2 -4.9 10-10 1.5 10-9 16 2020 HE 41 6 2.3 10-9 2.0 10-9 17 2005 HC4 50 11 -1.1 10-9 2.3 10-9 18 2015 HG 27 6 -3.2 10-9 4.5 10-9 19 2013 HK11 22 6 -2.8 10-9 6.1 10-9 20 2017 SK10 35 7 9.3 10-9 1.2 10-8 21 2015 EV 49 4 -5.5 10-9 1.5 10-8 22 2020 BU13 40 12 1.2 10-8 1.7 10-8 23 2020 HY2 24 3 2.9 10-9 3.0 10-8 24 2019 JZ6 13 6 8.0 10-8 3.7 10-8 25 2011 BT59 13 8 1.6 10-8 3.9 10-8 26 2020 VL4 38 24 1.1 10-7 6.1 10-8 27 2015 KO120 15 3 5.6 10-8 2.4 10-7 В табл. 2 представлены: число наблюдений n, интервал наблюдений t в сутках, параметр эффекта Ярковского А2 и его среднеквадратическая ошибка δA2. Астероиды отсортированы по возрастанию среднеквадратической ошибки δA2. Проанализировав значения параметра А2, объекты из табл. 2 можно условно разделить на две группы. К первой группе следует отнести 11 астероидов с 1995 CR по 2013 YC включительно. Эти объекты наблюдались на значительной временной дуге, охватывающей несколько появлений, и их орбиты определены достаточно хорошо. Ошибка определения параметра А2 для таких объектов, в основном, имеет тот же порядок, что и само значение, а для некоторых астероидов меньше на порядок. Ко второй группе отнесены 16 астероидов с 2017 TC1 по 2015 KO120, которые наблюдались на короткой дуге в одном появлении. Их орбиты определены плохо, а параметр А2 получается неоправданно завышенным. Такие значения параметра эффекта Ярковского не рекомендуется учитывать при построении орбитальной эволюции астероидов во избежание получения недостоверных результатов. Экспериментальное исследование эволюции орбит астероидов с учетом завышенных значений параметра А2 демонстрирует катастрофическую картину, а именно полное разрушение резонанса, а в некоторых случаях даже падение объектов на Солнце. Оптимальное решение в данном случае - ожидание нового наблюдательного материала для проведения повторного исследования. Таким образом, используемый метод определения параметра эффекта Ярковского позволяет адекватно оценить его влияние на эволюцию характеристик орбитального резонанса лишь для первой группы астероидов из табл. 2. Как уже отмечалось в разд. 1, влияние эффекта Ярковского на движение астероидов оценивалось путем сравнения результатов построения их орбитальной эволюции с двумя моделями сил, в одной из которых включено возмущение от эффекта. Начальные данные формировались индивидуально для каждого астероида в процессе улучшения их орбит с учетом А2 из табл. 2 и без него. Исследование выполнялось с использованием программного комплекса ИДА. Интервал времени подбирался для каждого объекта путем оценки точности интегрирования, которая не должна была превышать значения 10-9 а.е. в координатах. Углубленное исследование динамики каждого астероида, а также некоторые факторы, связанные с изменением условий численного интегрирования, например, такие как расширение интервала интегрирования, изменение модели сил, начальных данных, привели к тому, что для некоторых объектов из табл. 1 изменился характер поведения резонансных характеристик. Оказалось, что для трех астероидов 276033 2002 AJ129, 2019 JZ6 и 2020 VL4 представленные резонансы отсутствуют на всем интервале исследования, резонансный аргумент циркулирует, а резонансная щель колеблется далеко от нулевого значения. Анализ поведения резонансных характеристик с учетом эффекта Ярковского и без него для случаев устойчивых и неустойчивых конфигураций «астероид - планета» привел к следующим результатам. При устойчивом резонансном взаимодействии астероидов с планетами учет эффекта Ярковского незначительно влияет на поведение характеристик, приводя к небольшим изменениям в амплитуде колебаний как аргумента, так и резонансной щели, при этом устойчивость резонанса сохраняется. На рис. 2 представлена эволюция резонансных характеристик устойчивого резонанса 3/1 астероидов 399457 2002 PD43 (а1, б1) и 2013 YC (а2, б2) с Юпитером. Слева приведены графики без учета эффекта Ярковского, справа - с его учетом. Для обоих астероидов на рассматриваемом интервале времени резонансный аргумент совершает либрационные движения относительно определенного центра с небольшой амплитудой, а резонансная щель регулярно колеблется около нулевого значения. Следует отметить, что учет эффекта Ярковского при построении орбитальной эволюции астероидов по-разному повлиял на поведение резонансных характеристик. Для 399457 2002 PD43 при интегрировании в будущее с учетом эффекта уменьшается амплитуда колебания α и (график б1 рис. 2). При интегрировании в прошлое поведение характеристик орбитального резонанса практически не изменяется. Для астероида 2013 YC наблюдается обратная картина, учет эффекта Ярковского приводит к незначительному увеличению амплитуды колебания α и на всем интервале интегрирования. В обоих случаях сохраняется устойчивость резонансного взаимодействия астероидов с планетой. Рис. 2. Поведение характеристик орбитального резонанса 3/1 астероидов 399457 2002 PD43 (а1, б1) и 2013 YC (а2, б2) с Юпитером. На графиках (а1, а2) представлена эволюция характеристик без учета эффекта Ярковского, на графиках (б1, б2) - с учетом эффекта Учет эффекта Ярковского при неустойчивом резонансе оказывает более существенное влияние. На рис. 3 в качестве примера приведены графики поведения резонансных характеристик для двух резонансов: 1/4 астероида 2013 YC (а1, б1) с Землей и 9/1 2011 KE (а2, б2) с Сатурном. Астероид 2013 YC, находясь в устойчивом резонансе 3/1 с Юпитером (график (а2) рис. 2), одновременно движется в неустойчивом резонансе 1/4 с Землей (график (а1) рис. 3). Анализируя поведение характеристик неустойчивого резонанса, следует отметить, что без учета эффекта Ярковского резонансная щель α регулярно проходит через нуль, совершая колебания с большой амплитудой со смещенным относительно нуля центром. Для резонансного аргумента наблюдаются участки либрации с переходом в циркуляцию. Учет эффекта Ярковского, как видно из графика (б1) рис. 3, приводит к незначительному увеличению амплитуды либраций α, но при этом центр колебаний резонансной щели смещается ближе к нулевому значению. В поведении отмечается увеличение либрационных участков, т.е. можно отметить некоторое положительное влияние эффекта Ярковского на резонанс. Интересное влияние оказывает эффект Ярковского на резонансные соотношения с Сатурном. Без учета эффекта резонансная щель астероида 2011 KE (график (а2) рис. 3) регулярно проходит через значение точной соизмеримости, но со смещенным относительно него центром либрации. При этом критический аргумент демонстрирует медленное циркуляционное поведение. Как и в предыдущем случае, эффект Ярковского приводит к смещению центра либраций резонансной щели в сторону нулевого значения, а для резонансного аргумента наблюдается переход от медленной циркуляции к либрации с предельной амплитудой (график (б2) рис. 3). Следует отметить, что все приведенные в данной работе результаты получены только на основе номинальной орбиты, без исследования доверительной области астероида. Ранее нами была исследована вероятностная орбитальная эволюция двух объектов с малыми перигелийными расстояниями: 137924 2000 BD19 [19] и 3200 Phaethon [20]. Первый движется в устойчивом резонансе 3/4 c Венерой, второй испытывает несколько прохождений через значение точной соизмеримости 3/7 с той же планетой. Исследования показали, что эффект Ярковского оказывает несущественное влияние на резонансное поведение астероида 137924 2000 BD19, незначительно меняя амплитуду и фазу колебаний на концах интервала исследования. У 3200 Phaethon учет или неучет эффекта Ярковского приводит к изменению числа прохождений через точный резонанс. Рис. 3. Поведение характеристик орбитального резонанса: 1/4 астероида 2013 YC (а1, б1) с Землей и 9/1 2011 KE (а2, б2) с Сатурном. На графиках (а1, а2) представлена эволюция характеристик без учета эффекта Ярковского, на графиках (б1, б2) - с учетом эффекта Заключение Таким образом, в данной работе выявлены все астероиды с малыми перигелийными расстояниями, движущиеся в окрестности орбитальных резонансов низких порядков с большими планетами. На основе полученных ранее значений параметра эффекта Ярковского оценено его влияние на резонансные характеристики: резонансную щель и критический аргумент. Для части астероидов вследствие скудного состава наблюдений значения параметра завышены, что приводит к катастрофическому влиянию эффекта - полному разрушению резонанса и даже падению на Солнце. Естественно, что данные результаты недостоверны и являются следствием плохо определенной орбиты. Остальные астероиды с адекватно определенным значением параметра Ярковского можно поделить на два класса: движущиеся в устойчивом и неустойчивом резонансе с планетами. Причем для части объектов устойчивый резонанс с Юпитером сопровождается неустойчивым с Землей. Результаты исследования орбитальной эволюции показали, что влияние эффекта Ярковского на устойчивые резонансные соотношения незначительно: он может несущественно менять амплитуду либрации, но не приводит к разрушению резонанса. В случае же неустойчивого резонанса изменяется число проходов через точную соизмеримость, а для некоторых объектов даже резонанс становится более устойчивым.
Ключевые слова
астероиды с малыми перигелийными расстояниями,
орбитальные резонансы,
эффект ЯрковскогоАвторы
Галушина Татьяна Юрьевна | Национальный исследовательский Томский государственный университет | к.ф.-м.н., зав. лабораторией № 57 НИИ ПММ ТГУ | tanastra@nxt.ru |
Летнер Оксана Никитична | Национальный исследовательский Томский государственный университет | к.ф.-м.н., ст. науч. сотр. НИИ ПММ ТГУ | oksana.letner@gmail.com |
Сюсина Ольга Михайловна | Национальный исследовательский Томский государственный университет | к.ф.-м.н., ст. науч. сотр. НИИ ПММ ТГУ | olga_syusina@rambler.ru |
Ниганова Евгения Николаевна | Национальный исследовательский Томский государственный университет | инженер НИИ ПММ ТГУ | shen1981@mail.ru |
Всего: 4
Ссылки
Galushina T.Y., Letner O.N., Niganova E.N. // Planetary and Space Sci. - 2021. - V. 202. - Article id. 105232.
Letner O.N., Galushina T.Y. // Planetary and Space Sci. - 2020. - V. 181. - Art. id. 104818.
Yoshikawa M. // Icarus. - 1991. - V. 92. - P. 94-117.
Del Vigna A. et al. // Astronom. Astrophys. - 2018. - V. 617. - Art. id. A61. - 16 p.
Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Резонансы и малые знаменатели в небесной механике. - М.: Наука, 1978. - 128 с.
Bowell E., Muinonen K., Wasserman L.H. // Asteroids, Comets, Meteors. - Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 1994. - P. 477-481.
Galushina T.Yu., Letner O.N. // Astronom. Astrophys. Trans. - 2021. - V. 32. - Iss. 4. - P. 355-370.
Авдюшев В.А. // Вычислительные технологии. - 2010. - Т. 15. - № 4. - С. 31-46.
Everhart E. // Proc. 83rd IAU Colloq. Rome, 11-15 June 1984 / eds. A. Carusi, G.B. Valsecchi. - Dordrecht: D. Reidel Publ. Co, 1985. - P. 185-202.
Christou A.A., Georgakarakos N. // Mon. Not. R. Astron. Soc. - 2021. - V. 507. - Iss. 2. - P. 1640-1650.
Сюсина О.М., Галушина Т.Ю. // Изв. вузов. Физика. - 2021. - Т. 64. - № 7. - С. 151-156.
Панасенко А.И., Чернетенко Ю.А. // Труды ИПА РАН. - 2014. - № 31. - С. 59-65.
Farnocchia D. et al. // Icarus. - 2013. - V. 224. - Iss. 1. - P. 1-13.
Самбаров Г.Е., Черницов А.М., Тамаров В.А. // Изв. вузов. Физика. - 2014. - Т. 57. - № 10/2. - С. 32-42.
Devyatkin A.V. // Planetary and Space Sci. - 2022. - V. 213. - Art. id. 105427.
Toliou A., Granvik M. // Europlanet Science Congress 2020, online, 21 September - 9 Oct. 2020, EPSC2020-1104. - DOI: 10.5194/epsc2020-1104, 2020.
Емельяненко В.А. // Астрон. вестник. - 2017. - Т. 51. - № 1. - С. 67-71.
Li M., Huang Y., Gong Sh. // Astrophys. Space Sci. - 2019. - V. 364. - Iss. 5. - Art. id. 78. - 12 p.
Nesvorný D., et al. // Asteroids III / eds. W.F. Bottke Jr., A. Cellino, P. Paolicchi, R.P. Binzel. - Tucson: University of Arizona Press, 2002. - P. 379-394.
Murray C.D., Dermott S.F. Solar System Dynamics. - Cambridge University Press, 1999. - 592 p.