О зависимости механических свойств костного цемента | Известия вузов. Физика. 2022. № 6. DOI: 10.17223/00213411/65/6/83

О зависимости механических свойств костного цемента

Значительная часть операций по эндопротезированию тазобедренного и коленного суставов осуществляется по цементной технологии. Это определяет актуальность биомеханической совместимости костного цемента, который является пористым материалом и после операции наполняется биологической жидкостью. Разработана компьютерная модель механического поведения пористого костного цемента с явно-неявным учетом пор различного масштаба, где явно учитываются «изолированные» макропоры. Изучение проводилось на основе многоуровневого компьютерного моделирования с использованием метода подвижных клеточных автоматов. Механическое поведение модельных образцов, как сухих, так и содержащих биологическую жидкость, исследовалось при одноосном сжатии и четырехточечном изгибе. Выявлены нелинейные особенности в зависимостях упругих и прочностных свойств костного цемента при сжатии от пористости.

On dependencies of the mechanical properties of bone cement on porosity.pdf Введение Асептическое расшатывание бедренного компонента является одним из главных недостатков полного и поверхностного эндопротезирования тазобедренного сустава как по цементной, так и бесцементной технологии, а также причиной проведения ревизионных операций [1]. Для снижения риска асептической нестабильности при поверхностном эндопротезировании предлагается цементирование. При этом очень хорошо себя зарекомендовали цементные составы на основе полиметилметакрилата (PMMA) [2]. Исследование влияния свойств костного цемента на риск резорбции ткани проводится in vitro. Основное внимание сосредоточено на жесткости и прочности композиции «кость - цемент» при различных методиках испытания [3]. Однако с помощью экспериментов на живых и препарированных животных in vivo и in vitro полностью определить те механические процессы, которые происходят в костной ткани в момент нагружения, невозможно. Компьютерное моделирование позволяет провести исследования в широком диапазоне варьирования различных параметров материала. Численные исследования в данном направлении проводятся на макро- и мезоуровнях. Моделирование на мезоуровне направлено преимущественно на выявление факторов влияния структуры связующего материала (костного цемента) на эффективные механические характеристики и дальнейшую разработку дизайна импланта и совершенствование технологии цементирования. Первый этап работ включает в себя исследование эффективных механических характеристик цемента с целью оптимизации его состава и структуры [4-6]. Второй этап подразумевает исследование механического поведения зоны «кость - имплант» с учетом послойной структуры модельных образцов элементарной формы. В литературе представлено много исследований, посвященных влиянию параметров пористости костного цемента на его биосовместимость [7]. Помимо основной функции - фиксации импланта - слой костного цемента выполняет еще функцию поглощения механической энергии в переходной зоне между материалом импланта с модулем упругости 50-200 ГПа и губчатой костной тканью с модулем упругости 0.5-2.5 ГПа [8, 9]. Поэтому многие авторы считают, что оптимальным является использование малопористого костного цемента с механическими свойствами, значение которых занимает промежуточное положение между свойствами импланта и костной ткани. Кроме того, высокопористый костный цемент обладает низкими значениями механических характеристик [10]. Поэтому в настоящее время активно разрабатываются способы уменьшения исходной пористости цемента при заполнении контактной области «кость - имплант» [11, 12]. Цель данной работы - выявление особенностей упругих и прочностных свойств костного цемента с помощью многоуровневого компьютерного моделирования на основе метода подвижных клеточных автоматов с явно-неявным учетом пор различного размера, а также анализ зависимости механических свойств костного цемента от пористости в диапазоне от 0 до 15%, в том числе с учетом заполнения порового пространства биологической жидкостью. 1. Описание модели 1.1. Метод подвижных клеточных автоматов Метод подвижных клеточных автоматов Movable Cellular Automata (MCA) [13-16] основан на концепции дискретных частиц, которая не предполагает сплошности материала, что существенно отличается от методов численного решения уравнений классической механики твердого тела. В методе MCA предполагается, что материал состоит из определенного количества элементарных объектов конечного размера (автоматов), которые взаимодействуют друг с другом и могут вращаться и перемещаться в пространстве, тем самым моделируя реальные процессы деформации. Движение ансамбля частиц описывается уравнениями Ньютона - Эйлера. Пару подвижных клеточных автоматов можно рассматривать как виртуальный бистабильный автомат (у него существуют два состояния: связанная и несвязанная пара), что позволяет явно моделировать процессы разрушения. Заданием правил перехода пары из связанного состояния в несвязанное формулируется критерий разрушения моделируемого материала, который, вообще говоря, определяется физическими механизмами деформации материала. Переключение пары автоматов в несвязанное состояние приводит к изменению сил, действующих на элементы, в частности, они не будут сопротивляться взаимному удалению друг от друга. В данной работе процессы разрушения моделировались с использованием двухпараметрического критерия Друккера - Прагера, основанного на достижении в паре порогового значения комплексного параметра, вычисляемого на основе компонент осредненного тензора напряжений в точке контакта пары автоматов [14, 15], и характеризуемого пределами прочности на сжатие и растяжение. Компоненты тензора напряжений в объеме автомата вычисляются с помощью процедуры осреднения сил, действующих между автоматами, изложенной в работах [13, 14]. Таким образом, метод MCA позволяет моделировать механическое поведение твердого тела, в том числе пластическое и вязкоупругое деформирование, разрушение, фрагментацию и дальнейшее взаимодействие фрагментов, как сыпучей (гранулированной) среды. Ряд публикаций показал перспективность метода МСА для моделирования разрушения хрупких пористых материалов. В частности, в [16] предложено использовать оценку неопределенности, получаемую из моделирования методом МСА образцов с явным учетом пор, для многоуровневого моделирования керамики. Для моделирования биоматериалов важным является возможность метода учитывать влияние жидкости внутри порового пространства таких материалов. В методе МСА механическое влияние жидкости внутри пор учитывается в рамках модели пороупругости Био, а ее фильтрация описывается законом Дарси [17], что позволило получить ряд важных результатов при моделировании костных тканей [18, 19]. При этом поровое пространство, заполненное жидкостью, и его проницаемость учитываются неявно. Таким образом, метод позволяет явно описывать крупные поры и неявно мелкие поровые каналы, заполненные жидкостью. 1.2. Описание модельных образцов Необходимо отметить, что для проведения исследований на основе численной модели важно прежде всего эту модель валидировать. Валидация моделей материалов проводится путем имитации различных механических испытаний и дальнейшего сравнения полученных численных результатов с экспериментальными данными. В данной работе валидация проводилась на основе испытаний на одноосное сжатие и четырехточечный изгиб образцов костного цемента PMMA по соответствующим международным стандартам. При построении модели одноосного сжатия использовался образец цилиндрической формы высотой 12 мм и диаметром 6 мм (рис. 1, а). Сжатие осуществлялось путем задания постоянной скорости верхнему слою автоматов при закреплении нижнего слоя. Скорость нагружения составляла 25 мм/мин (0.41 мм/с) в соответствии со стандартом ISO 5833 [20]. Для исключения динамических эффектов эта скорость плавно наращивалась от нуля до максимального значения в течение 0.05 мс. Рис. 1. Внешний вид модельных образцов используемых для изучения свойств костного цемента: а - при одноосном сжатии; б - при одноосном сжатии модельного образца с явным учетом пор; в - при четырехточечном изгибе Поскольку в модели используется двухпараметрический критерий разрушения, характеризующийся различными значениями прочности при сжатии и растяжении, то для валидации рассматривался также тест на четырехточечный изгиб, в котором нижние слои образца испытывают деформацию растяжения. Геометрические параметры и параметры нагружения модельного образца для изгиба задавались в соответствии со стандартом ISO 5833 [20]. Длина испытуемого образца составляла 75 мм, ширина - 10 мм, высота - 3 мм. Расстояние между центрами опорных цилиндров - 60 мм, между центрами нагружающих цилиндров - 20 мм. Скорость нагружения задавалась равной 5 мм/мин (0.083 мм/с), которая, так же как и в случае сжатия, плавно нарастала в течение 0.1 мс (рис. 1, в). В качестве входных данных модели использовались следующие значения физико-механических свойства материала: плотность 1180 кг/м3, модуль объемного сжатия 2.3 ГПа, модуль сдвига 1.078 ГПа, предел прочности на сжатие 100 МПа, на растяжение 50 МПа. При исследовании влияния пор на механический отклик модельного образца костного цемента пористость варьировалась от 0 до 15% (рис. 1, б). Средний размер (диаметр) пор составлял 0.2 мкм. При исследовании влияния процентного содержания биологической жидкости в поровом пространстве костного цемента проницаемость составляла 10-18 м2. Рис. 2. Сходимость относительной жесткости от количества автоматов для моделей различных тестов: 1 - одноосное сжатие; 2 - четырехточечный изгиб Перед валидацией необходимо провести верификацию модели, т.е. проверить эффективность схемы численного решения уравнений метода. Основным средством верификации модели является анализ на сходимость: дискретизация области считается оптимальной, когда дальнейшее увеличение разрешения сетки дает увеличение точности не более 5% [21]. В данной работе анализ на сходимость проводился для интегральной жесткости при различной степени дискретизации геометрической модели (уменьшении размера автоматов и соответствующем увеличении их количества). Поскольку жесткость для двух рассматриваемых тестов может отличаться в десятки раз, то анализ на сходимость проводился в относительных величинах (рис. 2). Результаты свидетельствуют о том, что оптимальными для численного моделирования одноосного сжатия костного цемента являются образцы с количеством автоматов порядка 3 500 000, а для четырехточечного изгиба - 400 000. 2. Результаты моделирования и их обсуждение По результатам численного моделирования выбранных тестов для образцов костного цемента были построены зависимости силы сопротивления от смещения в направлении нагружения. Полученные диаграммы представлены на рис. 3. Видно, что они имеют очень хорошее качественное и количественное соответствие экспериментальным данным [20], что подтверждает валидацию модели. Рис. 3. Валидация модели материала костного цемента при одноосном сжатии (а), при четырехточечном изгибе (б); цифрами обозначены: 1 - результаты моделирования, 2 - экспериментальные данные [20] После валидации моделей с их помощью было исследовано влияние величины пористости и насыщенности ее биологической жидкостью на особенности механического поведения в условиях сжатия. Характер полученных зависимостей сравнивался с экспериментальными данными из литературы [22, 23]. Результаты моделирования свидетельствуют о том, что при одноосном сжатии как сухого, так и флюидонасыщенного модельных образцов с увеличением пористости наблюдается тренд к снижению значений модуля упругости и прочности (рис. 4). При этом в «сухом» состоянии механические характеристики костного цемента ниже, чем во флюидонасыщенном, а значения эффективного модуля упругости пористого цемента близки к данным костных тканей. Аналогичные результаты были также получены экспериментально при одноосном сжатии PMMA в работе [23]. При этом в сухом состоянии тренд к снижению упругих характеристик значительно выше (нелинейный), чем в случае заполнения пор жидкостью. Данный тренд связан нелинейными эффектами деформирования сухого каркаса, вызванными увеличением пористости, которые, как известно, зависят от структуры порового пространства [16]. В случае заполнения порового пространства материала жидкостью нелинейное поведение для прочности носит менее выраженный характер. Данное обстоятельство является следствием близости по значению упругих модулей объемного сжатия каркаса и биологической жидкости. Вследствие этого, начиная с некоторого порогового значения пористости, эффективная прочность уменьшается почти прямо пропорционально увеличению пористости. Так, на графике рис. 4, б эффективная прочность флюидонасыщенного костного цемента до пористости 7% уменьшается нелинейно и быстрее, чем сухого, а потом в диапазоне пористости от 7 до 15% изменение прочности от пористости почти линейно и не зависит от наличия внутри пор жидкости. Детальный анализ диаграмм нагружения показал, что такое поведение объясняется тем, что в этом диапазоне пористости увеличивается деформация до разрушения. Поэтому уменьшение эффективного модуля упругости вследствие увеличения пористости материала, а следовательно, понижение диаграммы нагружения компенсируется увеличением деформации до разрушения, что приводит лишь к незначительному понижению предела прочности. Рис. 4. Зависимости от пористости эффективных характеристик костного цемента в «сухом» и флюидонасыщенном состояниях при одноосном сжатии: а - модуля упругости, б - предела прочности; цифрами обозначены состояния образцов: 1 - сухой; 2 - насыщенный биологической жидкостью Заключение Для изучения влияния пористости на упругие и прочностные свойства костного цемента разработана трехмерная многоуровневая компьютерная модель на основе метода подвижных клеточных автоматов. Показано, что она способна корректно воспроизводить деформационные характеристики костного цемента при испытании на одноосное сжатие и четырехточечный изгиб образцов с явным учетом больших изолированных пор и неявным учетом связанного порового пространства, наполненного биологической жидкостью. Численное исследование одноосного сжатия цилиндрических образцов костного цемента различной пористости и нысыщенности биологической жидкостью позволило получить следующие результаты. 1. При увеличении пористости костного цемента в сухом состоянии от 0 до 15% изменение упругого модуля сжатия нелинейное, а прочности - практически линейное. При увеличении пористости костного цемента, заполненного биологической жидкостью, изменение модуля упругости практически линейное, а прочность убывает нелинейно до 8% пористости, а потом практически линейно. 2. Результаты моделирования показывают эффективность использования малопористого костного цемента для фиксации имплантов вследствие близости эффективного модуля упругости данным для костных тканей.

Ключевые слова

костный цемент, пористость, модуль упругости, прочность, численное моделирование

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Смолин Алексей ЮрьевичИнститут физики прочности и материаловедения СО РАНд.ф.-м.н., профессор, гл. науч. сотр. ИФПМ СО РАНasmolin@ispms.ru
Еремина Галина МаксимовнаИнститут физики прочности и материаловедения СО РАНк.ф.-м.н., науч. сотр. ИФПМ СО РАНanikeeva@ispms.ru
Мартышина Ирина ПавловнаИнститут физики прочности и материаловедения СО РАНаспирантка ИФПМ СО РАНmira@ispms.ru
Всего: 3

Ссылки

Храмов А.Э., Макаров М.А., Макаров С.А. и др. // Научно-практическая ревматология. - 2017. - Т. 55(5). - С. 549-554. - DOI: 10.14412/1995-4484-2017-549-554.
Whitehouse M.R., Atwal N.S., Pabbruwe M., et al. // Eur. Cell. Mater. - 2014. - V. 27. - P. 50-62. - DOI: 10.22203/ecm.v027a05
Sas A., Helgason B., Ferguson S.J., van Lenthe G.H. //j. Mech. Behav. Biomed. Mater. - 2021. - V. 115. - P. 104247. - DOI: 10.1016/j.jmbbm.2020.104247.
Shirazi H.A., Asnafi A., Navidbakhs H.M., et al. // Mater. Res. Express. - 2020. - V. 6. - P. 125422. - DOI: 10.1088/2053-1591/ab66f5.
Slane J., Vivanco J., Ebenstein D., et al. //j. Mech. Behav. Biomed. Mater. - 2014. - V. 37. - P. 141-152. - DOI: 10.1016/j.jmbbm.2014.05.015.
Lambrescu I., Teodoriu C., Amani M. // Materials. - 2021. - V. 14. - No. 23. - P. 7235. - DOI: 10.3390/ma14237235.
Cimatti B., Santos M.A., Dos Brassesco M.S., et al. //j. Biomed. Mater. Res. - 2017. - V. 106(2). - P. 649-658. - DOI: 10.1002/jbm.b.33870.
Cavalu S. // KEM. - 2017. - V. 745. - P. 39-49. - DOI: 10.4028/www.scientific.net/KEM.745.39.
Asgharzadeh Shirazi H., Ayatollahi M.R., Navidbakhsh M., Asnafi A. // Nanomaterials for Advanced Biological Applications. Advanced Structured Materials / eds. M. Rahmandoust, M. Ayatollahi. - Cham: Springer, 2019. - V. 104. - P. 209-224. - DOI: 10.1007/978-3-030-10834-2_8.
Messick K.J., Miller M.A., Damron L.A., et al. //j. Bone Joint Surg. Br. - 2007. - V. 89-B. - No. 8. - P. 1115-1121. - DOI: 10.1302/0301-620X.89B8.19129.
Machrowska A., Szabelski J., Karpiński R., et al. // Materials. - 2020. - V. 13. - P. 5419. - DOI: 10.3390/ma13235419.
Whitehouse M.R., Atwal N.S., Pabbruwe M., et al. // Eur. Cells Mater. - 2014. - V. 27. - P. 50-62. - DOI: 10.22203/ecm.v027a05.
Smolin A.Yu., Shilko E.V., Astafurov S.V., et al. // Defence Technology. - 2018. - V. 14. - P. 643-656. - DOI: 10.1016/j.dt.2018.09.003.
Shilko E.V., Grigoriev A.S., Smolin A.Yu. // Facta Universitatis Series: Mechanical Engineering. - 2021. - V. 19. - P. 7-22. - DOI: 10.22190/FUME201221012S.
Grigoriev A.S., Zabolotskiy A.V., Shilko E.V., et al. // Materials. - 2021. - V. 14. - P. 7376. - DOI: 10.3390/ma14237376.
Смолин А.Ю., Еремина Г.М., Коростелев С.Ю. // Изв. вузов. Физика. - 2019. - Т. 62. - № 8. - С. 128-136. - DOI: 10.17223/00213411/62/8/128.
Psakhie S.G., Dimaki A.V., Shilko E.V., Astafurov S.V. // Int. J. Numer. Methods Eng. - 2016. - V. 106. - P. 623-643. - DOI: 10.1002/nme.5134
Eremina G., Smolin A. // Materials. - 2021 - V. 14 - No. 24. - P. 7678. - DOI: 10.3390/ma14247678.
Eremina G., Smolin A. // Procedia Struct.Integr. - 2022 - V. 35. - P.115-123. - DOI: 10.1016/j.prostr.2021.12.055.
Dunne N. // Woodhead Publishing Series in Biomaterials, Orthopaedic Bone Cements / ed. Sanjukta Deb. - Woodhead Publishing, 2008. - P. 233-264. - DOI: 10.1533/9781845695170.3.233.
Jones A.C., Wilcox R.K. // Med. Eng. Phys. - 2008. - V. 30. - No. 10. - P. 1287-304. - DOI: 10.1016/j.medengphy.2008.09.006
Khellafi H., Bouziane M.M., Djebli A., et al. // JBBBE. - 2019. - V. 41. - P. 37-48. - DOI: 10.4028/www.scientific.net/JBBBE.41.37.
Qu G.X., Ying Z.M., Zhao C.C., et al. // Int. J. Med. Sci. - 2018. - V. 15. - No. 13. - P. 1458-1465. - DOI: 10.7150/ijms.27759.
 О зависимости механических свойств костного цемента | Известия вузов. Физика. 2022. № 6. DOI: 10.17223/00213411/65/6/83

О зависимости механических свойств костного цемента | Известия вузов. Физика. 2022. № 6. DOI: 10.17223/00213411/65/6/83