Representations of a group of difference information functions in the extended parastatistics of non-extensive systems.pdf Введение В настоящее время методы статистической механики и термодинамики неэкстенсивных (неаддитивных) систем [1-4] находят применение при исследованиях процессов в многочисленных аномальных физических явлениях. Приводятся статистические модели с параметрической энтропией и информацией различия (или относительной информацией), зависящих от одного числа и более, для равновесных и неравновесных классических и квантовых систем. Действительное число характеризует степень неэкстенсивности систем в законе композиции мер с квадратичной нелинейностью, а для фрактальных систем связано с фрактальной размерностью [5]. Разнообразие свойств статистических систем требует использования того или иного выражения для энтропии и информации различия, отражающих меры разупорядоченности и упорядоченности в микросостояниях. Число таких выражений превышает 40 значений [1, 6]. В пределе все меры приводят к энтропии Больцмана и информации различия Кульбака для аддитивных систем. Развитием квантовых статистик для таких систем является парастатистика [7], в которой число частиц в i состоянии меняется от 0 до и основанной на методе Бозе [8]. В работе [9] рассматривается расширенная парастатистика, где число частиц находится в произвольном диапазоне от до . Свойства группы функций энтропий и ее представлений в данной статистике были подробно изучены в [10]. Алгебраическое и матричное представления группы функций информаций различия не исследовались, что и является целью настоящей работы. 1. Меры и полунормы в расширенной парастатистике Следуя методу квантовых состояний Бозе [8], рассмотрим квантовую неэкстенсивную систему в расширенной парастатистике, которая описывается статистикой состояний , где в i состо¬янии находится частиц ( и ). Для совокупности частиц имеют место квантовые состояния , где - число состояний. Согласно расширенной парастатистике, имеют место исходные равенства [9] , (1) , (2) . (3) Здесь для каждого i-состояния усреднение производится ненормированным распределением , а - дискретные значения произвольной величины и - среднее число частиц. Квантовая энтропия и информация различия представляются в виде средних значений (4) (5) Здесь определение (5) характеризует переход между состояниями и с соответствующими равенствами , (6) где относится к состоянию . Меры (4) и (5) являются квантовыми аналогами энтропии Хаврда - Чарват - Дароши [11, 12]: , и информации различия Ратье - Каннаппана [13]: , впервые полученные в теории информации. При из (4) и (5) вытекают квантовые аналоги аддитивных логарифмических мер энтропии Больцмана и информации различия Кульбака: , (7) . (8) Рассматривая равновесное состояние аддитивных систем из экстремума энтропии (7) при вариации с условиями сохранения общих значений энергии, числа частиц и числа состояний, получим следующее среднее число частиц в i состоянии [9]: , (9) где - температура; - энергия частиц в i состоянии; - химический потенциал. При из (9) вытекает известное выражение в традиционной парастатистике [7] . (10) Если , то из (10) следует среднее число частиц , (11) где второе слагаемое относится к статистике Бозе - Эйнштейна. При имеем из (10) среднее число частиц (12) при рассмотрении двух соседних состояний с и . Здесь второе слагаемое относится к статистике Ферми - Дирака. Определим среднее взвешенное значение для мер (4) и (5) , (13) (14) в зависимости от полунормы распределения и отношения распределений (15) Квантовые аналоги энтропии и информации различия Реньи [14] представляются выражениями . (16) 2. Двумерное пространство функций информации различия Запишем конформно-обобщенное гиперкомплексное число в двумерном пространстве функций информаций различия [15] (17) с компонентами и , базисными элементами , и конформным множителем . Здесь не выписан базисный элемент . Закон композиции базисных элементов определяется в общем виде (18) и имеет свойства коммутативности и ассоциативности, что представляет собой специальный случай алгебры Клиффорда. Числа с и законом композиции (18) называются обобщенными гиперкомплексными числами и изучались, начиная с работы [16]. В зависимости от дискриминанта для уравнения различаются три типа чисел: гиперболические с , параболические с и эллиптические с . Каноническая форма числа с имеет известный вид для комплексного, дуального и двойного чисел при . Особый случай чисел находим при , что соответствует дуальным числам с . Рассмотрим групповые свойства чисел (17). Используем (18) и определим закон композиции двух чисел: (19) Равенство (19) дает произведение конформных множителей (20) и значения компонент (21) Числа имеют свойства коммутативности , ассоциативности , наличия единичного элемента c и обратного элемента . (22) Здесь определяются сопряженный элемент и модуль числа , (23) . (24) Отношение функций дает информацию различия и имеет место конформно-обобщенное гиперкомплексное число с [15]. Таким образом, для группы информаций различия из (21) следует закон композиции с квадратичной нелинейностью . (25) Рассмотрим подробно первый тип с и, определяя характеристическое уравнение [15] , (26) получим равенство с , и . (27) Здесь имеют место выражения , , , и . Тогда уравнение (26) примет вид . (28) Модуль числа (24) есть метрическая функция (29) глобального финслерового пространства [17]. При из (29) следует метрическая функция пространства Бервальда - Моора [17]. Используя значение модуля (24), получим равенство (30) для обобщенного нормированного гиперкомплексного числа группы информаций различия без конформного множителя и с модулем, равным единице [15]. Соответственно находим сопряженное число и модуль . (31) Выполняются все групповые свойства таких чисел. Здесь не будем подробно рассматривать алгебру чисел (30), а перейдем к матричному представлению группы чисел (17). 3. Матричное представление и конформный множитель Рассмотрим матричное представление группы конформно-обобщенных гиперкомплексных чисел с . Перепишем (17) в общем виде , (32) с законом композиции и характеристической матрицей , (33) где есть структурные константы. Из (33) вытекает матрица , (34) которая соответствует конформно-обобщенному гиперкомплексному числу (17). Умножение в группе матриц коммутативно . Имеется обратная матрица , (35) где - единичная матрица, а детерминант матрицы равен . (36) Находим характеристические числа для матрицы (34) (37) и получаем значения (27). В полярных координатах с имеет место угол , равный информации различия Реньи. Для группы энтропий угол равняется энтропии Реньи [14]. Тогда число (17) представляется также в следующем виде: , (38) где функция , согласно (20), обладает групповыми свойствами (39) с аддитивным законом для группы углов. Затем дифференцируем (39) и с учетом закона аддитивности углов получим равенство для всех систем (40) с константой . Решая уравнение (40), находим и запишем конформно-обобщенное число (38) так: . (41) Используя свойство мультипликативности полунормы отношений распределения и закон композиции (25), получим уравнение , (42) имеющее одинаковый вид для всех независимых систем. В решениях уравнения (42) используем вышеприведенное равенство и выражение (16). Для первого типа с имеем конформный множитель (43) Число, модуль числа и матрица преобразуются к виду (44) . (45) Для третьего типа с при равенстве и значениях и аналогично получим следующие формулы: (46) Соответствующие выражения для второго типа с , и запишутся так: (47) В отличие от первых рассмотренных двух случаев, представляющих интерес, здесь метрическая функция пропорциональна линейной форме. Наконец, при имеют место выражения (48) Этот случай относится к конформно-обобщенным дуальным гиперкомплексным числам, которые связаны с информацией различия Реньи [16]. Заключение Рассматриваются алгебраическое и геометрическое представления группы функций информаций различия. Изучены три типа конформно-гиперкомплексных чисел, модули которых есть метрические функции глобальных двумерных финслеровых пространств.

Скачать электронную версию публикации