Resonant interaction of air flow with bending vibrations of a finite elastic plate.pdf Введение Одним из основных вопросов в теории гидродинамической неустойчивости считается задача о генерации волновых возмущений сдвиговыми потоками жидкости или газа. Простейшей при этом является задача о неустойчивости Кельвина - Гельмгольца (КГ), развивающейся на тангенциальном разрыве скорости. Интерес к исследованию данного вида неустойчивости сохраняется и в настоящее время. Так, в работе [1] изучается срыв набегающим высокоскоростным потоком воздуха капель с поверхности водяной пленки в результате развития неустойчивости КГ. Гораздо более сложной задачей является рассмотрение волновых возмущений течения с непрерывным профилем скорости. Недавно был получен ряд точных и асимптотических решений уравнений двумерной гидродинамики, описывающих нестационарную вихревую дорожку с вращающимися эллиптическими линиями тока [2]. Вихревая дорожка представляет собой пространственно периодическую систему вихрей, формирующуюся за счет неустойчивости сдвиговых течений. Было показано, что перестройка структуры течения в форме ламинарно-турбулентного перехода в рамках термодинамического подхода может быть представлена как неравновесный фазовый переход [3], в ходе которого формируются различные промежуточные структуры, впоследствии дающие развитое турбулентное течение. Резонансный механизм усиления ветровых волн в рамках модели сдвигового воздушного потока над поверхностью глубокой воды - ветровая неустойчивость (ВН) - был исследован в классической работе Майлса [4]. Данный вид неустойчивости возникает вследствие резонанса между поверхностной гравитационной волной и слоем в воздушном потоке, где его скорость совпадает с фазовой скоростью волны . В ряде работ [5, 6] механизм ВН привлекался для объяснения возникновения панельного флаттера - изгибных колебаний упругой пластины, размещенной в дозвуковом или сверхзвуковом потоке газа или плазмы при наличии пограничного слоя, который образуется вблизи ее поверхности. В данном случае ВН возникает вследствие резонанса между изгибной волной и резонансным слоем течения с логарифмическим профилем скорости. При проведении теоретических расчетов авторы обычно рассматривают бесконечную пластину или бесконечную поверхность жидкости, взаимодействующей с воздушным потоком [5, 7]. Колебания в системах, имеющих конечные размеры, ввиду существенной сложности данной задачи изучаются, в основном, численными методами. В работе [6] было впервые получено и исследовано дисперсионное уравнение для шарнирно опертой по краям конечной пластины, находящейся в обтекающем ее воздушном потоке. Ниже впервые построена математическая модель ВН гравитационных волн на поверхности жидкости, находящейся в бассейне, имеющем конечные размеры, и обдуваемой сдвиговым воздушным потоком в приближениях глубокой и мелкой воды. Обращено внимание на существенную аналогию между резонансным взаимодействием гравитационных волн со сдвиговым течением воздуха и резонансным взаимодействием плазменных волн и частиц в плазме (резонанс Ландау). Цель работы - определение спектра комплексных собственных частот колебаний водной поверхности. Наличие у собственных частот положительной мнимой части означает неустойчивость состояния покоя жидкости в бассейне. Получены оценки основных параметров ВН. 1. Постановка задачи Рассмотрим бассейн, имеющий глубину и ширину , ограниченный снизу горизонтальной неподвижной плоскостью , заполненный жидкостью плотности (рис. 1). В невозмущенном состоянии поверхность жидкости совпадает с плоскостью z = 0. Вертикальное смещение ее точек связано с поверхностной гравитационной волной, g - ускорение свободного падения. Над поверхностью жидкости существует несжимаемый воздушный поток плотности с профилем скорости . В резонансном слое z = zC скорость потока совпадает с фазовой скоростью гравитационной волны . Воздушный поток считаем квазиламинарным. В такой модели движение воздуха является плоскопараллельным, а при исследовании его малых колебаний пренебрегается вязкостью и нелинейными эффектами, т.е. используется уравнение Рэлея [8]. В то же время профиль скорости невозмущенного течения выбирается такой, который реализуется для средней скорости турбулентного пограничного слоя над гладкой поверхностью - так называемый логарифмический пограничный слой [8]. Рис. 1 Предположим, что возмущенные величины в воздухе и жидкости имеют вид волны, бегущей вдоль оси х: давление воздуха , смещение точек поверхности жидкости и т.п., k - волновое число, - комплексная частота колебаний. При амплитуда волны нарастает с течением времени, а величина представляет собой инкремент ВН. Целью работы является определение спектра возможных комплексных частот гравитационных волн . Уравнения, описывающие колебания жидкости в бассейне, как известно [8], могут быть записаны в виде (1) Здесь компоненты скорости жидкости; глубина жидкости. Рассматриваются гравитационные волны, в которых скорость движущихся частиц жидкости настолько мала, что можно пренебречь членом по сравнению с . 2. Ветровая неустойчивость гравитационных волн в обширном бассейне В начале для простоты будем предполагать, что в двух измерениях (вдоль плоскости X, Y) бассейн неограничен. Глубину жидкости h будем искать в виде . Скорость жидкости в бассейне и давление на глубине : (2) где атмосферное давление над поверхностью жидкости; φ - потенциал скорости, удовлетворяющий уравнению Лапласа. Выражение для потенциала будем искать в виде волн, распространяющихся вдоль оси X: . Здесь циклическая частота колебаний; k - волновое число. Используя граничное условие на дне бассейна , находим (3) Над поверхностью жидкости (z > 0) существует воздушный поток, скорость которого . Выражая из системы уравнений газодинамики возмущение давления в потоке через перпендикулярную к невозмущенному течению компоненту скорости воздушной среды , находим , . (4) Здесь - плотность воздуха; - вертикальное смещение точек, штрихом обозначена производная по . Величина , входящая в (4), удовлетворяет уравнению Рэлея: (5) где - малая добавка, определяющая правило Ландау - Линя обхода особой точки при [5, 6, 8]. При нестационарном движении поверхность, разделяющая жидкость и воздух, не остается неподвижной. Для нахождения выполняемых на ней граничных условий рассмотрим какой-нибудь элемент поверхности и воспользуемся связанной с этим элементом системой координат. С точностью до величин первого порядка малости единичные векторы нормали и касательной к элементу могут быть записаны в виде , (см. рис. 1 [8]). Исходя из отсутствия потока вещества через выделенный элемент, в связанной с ним системе отсчета можем записать , откуда находим , где и - проекции скорости жидкости и воздуха на нормаль соответственно. Заметим, что , . Поскольку квадратичными по амплитуде волны величинами и в линейном приближении можно пренебречь, находим . Для того чтобы вернуться к неподвижной системе координат, везде пишем сумму , , где скорость самой поверхности. Таким образом, . Поскольку, очевидно, , , то из равенства скоростей находим , или, сокращая на , окончательно получим при . Условие непрерывности смещения на границе раздела означает отсутствие отрыва жидкости и воздуха друг от друга при распространении гравитационной волны. Из условия непрерывности z-компоненты потока импульса на границе раздела [8] находим , отсюда с учетом следует . Предполагая непрерывность давления и смещения на границе раздела между жидкостью и воздухом, из (2) и (4) находим (6) Учитывая, что , при z = 0 из (3) находим (7) Подставляя далее (7) в (6), находим дисперсионное соотношение для поверхностных гравитационных волн . (8) Величина , которая входит в (14), может быть записана в виде . Определяя из (5) , находим (9) Здесь учтено, что, согласно (5), для малых длин гравитационных волн ( ) их амплитуда убывает с удалением от границы раздела в основном экспоненциально . Для коротковолновых гравитационных возмущений , заменяя входящий в (8) , получим . (10) Отсюда, используя то, что параметр , находим (11) В случае, если , для чего требуется выполнение условия , гравитационное возмущение на границе раздела между жидкостью и воздушным потоком нарастает с течением времени. 3. Усиление и непропускание гравитационных волн Выше рассматривалась задача о развитии во времени возмущения, заданного в пространстве в начальный момент времени. Компоненты Фурье такого возмущения характеризуются комплексными частотами и вещественными значениями волновых векторов k. Зависимость может быть определена из дисперсионного уравнения (10) при решении его относительно . Существует, однако, и другая постановка задачи об устойчивости возмущения, которое создается в некоторой области пространства по заданному временному закону. В фурье-разложении такого возмущения содержатся компоненты, распространение которых в пространстве определяется комплексными волновыми векторами , которые могут быть найдены при решении уравнения (10) относительно k. При этом частоты остаются вещественными [9]. Комплексность k может означать усиление или ослабление поверхностных гравитационных волн воздушным потоком при их распространении от источника. Рассмотрим источник, локализованный вдоль оси Y, включаемый в момент времени и создающий затем монохроматическое возмущение с частотой . Найдем асимптотическое выражение для возмущения вдали от источника при . Определим зависимость , используя дисперсионное уравнение (10) и соотношение (9), . (12) Для смещения точек поверхности жидкости находим (13) Как видно из (13), если , то амплитуда волны экспоненциально нарастает с удалением от источника в области , что соответствует усилению гравитационных волновых возмущений потоком. Данное условие имеет простой физический смысл. Жидкие частицы, движущиеся в окрестности резонансной точки и отстающие от волны, отбирают у нее энергию. Частицы, опережающие волну, наоборот, ее отдают. Усиление волны происходит при условии, что первых частиц будет меньше, чем вторых. Для несжимаемой жидкости число частиц , приходящихся на элемент и движущихся со скоростями в интервале от до , будет пропорционально : , где некоторая положительная постоянная. Таким образом, в качестве функции распределения по скоростям выступает величина [6]. При выполнении условия осуществляется необходимый для развития ВН рост функции распределения в окрестности точки . Между ВН и пучковой неустойчивостью в плазме, возникающей вследствие резонанса Ландау, существует аналогия. При наличии в плазме пучка электронов функция их распределения по скоростям имеет дополнительный максимум. Амплитуда волновых возмущений, фазовая скорость которых близка к скорости пучка, там, где , нарастает с течением времени, так как преобладают электроны, движущиеся быстрее волны [9]. Очевидно, что если , то амплитуда гравитационной волны стремится к 0 при и имеет место непропускание. 4. ВН гравитационных волн в ограниченном бассейне Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости гравитационных волн в бассейне, имеющем конечную ширину, когда спектр собственных колебаний поверхности жидкости определяется граничными условиями на краях. Спектр частот в этом случае дискретен и, если хотя бы одна из них имеет положительную мнимую часть, то имеет место неустойчивость системы. Пусть решение дисперсионного уравнения для колебаний неограниченной поверхности жидкости (12). Собственные колебания конечной поверхности можно рассматривать как результат наложения бегущих волн, отраженных от двух краев бассейна. Волна, распространяющаяся в положительном направлении оси X от левого края бассейна , имеет вид . После отражения от правого края бассейна гравитационная волна распространяется против оси X. Здесь коэффициент трансформации зависит от закона трансформации гравитационных волн на правой границе. После второго отражения от левой границы бассейна получаем волну, распространяющуюся вправо , где коэффициент трансформации волны на левой границе. Ввиду однозначности функции находим , отсюда (14) Дисперсионное уравнение (14) определяет спектр собственных комплексных , частот колебаний поверхности жидкости в конечном бассейне [9]. Из (12) получим (15) Пренебрегая в (15) слагаемыми порядка и учитывая, что , имеем (16) При записи (16) учтено, что для волны, распространяющейся в обратном направлении, усиление воздушным потоком отсутствует. Подставим далее и в (14): (17) Соотношение (17) служит для определения вещественной и мнимой частей частоты гравитационных волн, которые зависят от значения коэффициентов трансформации и , определяемых граничными условиями. На стенках бассейна ( ) реализуются пучности стоячей волны. Смещение точек на поверхности жидкости , где (18) Предположим, что вблизи поверхности жидкости в воздушном потоке формируется логарифмический пограничный слой [8]. Здесь - вязкость воздуха, , - сила трения, действующая на единицу площади поверхности жидкости. Резонансный слой, определяемый условием , находится внутри логарифмического слоя. Окончательное выражение для инкремента гравитационной волны получим, подставляя (9) в (17) и вычисляя производные (19) Соотношение (19) справедливо, когда инкремент неустойчивости , т.е. для достаточно больших n. Для длинноволновых гравитационных возмущений , заменяя входящий в (8) , получим вместо (10) дисперсионное уравнение для волн в обширном бассейне (20) Для колебаний в ограниченном бассейне из (14) находим собственные частоты и инкремент: (21) 5. Оценки основных параметров ветровой неустойчивости Для оценки частоты и инкремента длинноволновых гравитационных возмущений водной поверхности воспользуемся следующими значениями параметров: - плотность воды, - ширина бассейна, - глубина бассейна. Над поверхностью бассейна существует воздушный поток: - плотность воздуха, - динамическая вязкость воздуха, - кинематическая вязкость, - сила трения, действующая на единицу площади водной поверхности, - пульсационная скорость турбулентного движения. Скорость воздушного потока в особой точке . Используя (34), находим значения частот и соответствующих им значений инкрементов колебаний: , ; ; ; ; . С ростом номера инкремент достаточно быстро убывает, так что развитие ветровой неустойчивости определяется, в основном, несколькими первыми модами. Заключение Исследовано резонансное взаимодействие поверхностных гравитационных волн на глубокой и мелкой воде со сдвиговым течением воздуха, приводящее к их нарастанию вследствие развития ветровой неустойчивости. Получены следующие основные результаты: 1. Найдено условие усиления и непропускания гравитационных волн. В случае выпуклого профиля скорости ( ) имеет место усиление - амплитуда гравитационной волны, распространяющейся от источника вдоль воздушного потока, экспоненциально нарастает. В случае вогнутого профиля скорости ( ) имеет место непропускание. 2. Получено дисперсионное уравнение для гравитационных возмущений на поверхности жидкости, находящейся в бассейне конечной ширины и обдуваемой сдвиговым воздушным потоком, на основе решения которого определен спектр ее собственных комплексных частот колебаний. 3. Получены оценки вещественной и мнимой части частот гравитационных волн для конкретных значений параметров жидкости, бассейна и воздушного потока.

Скачать электронную версию публикации