Comparative theoretical analysis of harmonic generation in free electron lasers with various beam parameters.pdf Введение В XXI в. излучение релятивистских электронов в пространственно-периодическом магнитном поле - ондуляторное излучение (ОИ) - продолжает активно использоваться и развиваться с учетом новых технических возможностей и новых горизонтов исследований. Впервые ОИ было получено Мотцом [1], следуя гипотезе Гинзбурга [2]. Когерентное ОИ от микробанчей электронов было получено Мадэйем [3] в лазере на свободных электронах (ЛСЭ); Мадей также дал теоретическое описание излучению электронов при их взаимодействии с электромагнитной волной в ондуляторе. В настоящее время теория и применение ЛСЭ широко представлены в литературе [4-10]. ЛСЭ представляют источники излучения последнего четвертого поколения и являются логичным развитием источников синхротронного излучения (СИ) в последние полвека [11-14]. Когерентное излучение в ЛСЭ происходит от электронов, сгруппированных в банчи, разделенные длиной волны излучения. Электроны, двигаясь в ондуляторе со скоростью меньше скорости света, немного отстают от фотонов на каждом периоде ондулятора так, что сила Лоренца ускоряет электроны, которые находятся позади узлов электромагнитной волны, и замедляет электроны, которые опережают узлы волны в ондуляторе. Так, электроны группируются на длине волны излучения. Группировка на длинах волн гармоник происходит, но слабее, чем на длине волны основного тона. В ультрафиолетовом и более высокочастотных диапазонах отражающие элементы труднодоступны и применяются однопроходные ЛСЭ; в них взаимодействие электронов с излучением происходит за один проход в ондуляторе. Недостатком таких ЛСЭ являются большие размеры и стоимость. Получить более высокочастотное излучение, не меняя энергию пучка, можно, используя гармоники. Резонансы ОИ под эффективным углом Θ к оси приходятся на следующие длины волн: , (1) где n - номер гармоники излучения, , - ондуляторный параметр, е - заряд электрона, - период ондулятора, H0 - амплитуда поля, dH0 - амплитуда гармоники h поля, если она есть, например, в спиральном ондуляторе d = h = 1, и . Обычно период ондулятора λu ~ 1-3 см, энергия электронов в ЛСЭ в зависимости от частоты излучения ЛСЭ может достигать десятка ГэВ, а длина ускорителя может превышать 1 км, полная длина ондуляторов доходит до сотни метров. Современные пучки в ЛСЭ имеют большой релятивистский фактор γ ~ 103-104, малые разброс энергий σе ~ 10-3-10-4, эмиттанс εx,y ~ 1 мм∙мрад и сечение пучка σx,y ~ 20-200 мкм. В отличие от идеального спектра плоского ондулятора, на оси ЛСЭ, наряду с нечетными гармониками, излучаются и четные; их содержание может достигать ~ 0.1%, а содержание третьей гармоники доходит до ~ 1-2% (см., например, [15-19]). Расчет эволюции гармоник ЛСЭ представляет сложную задачу, которая обычно решается с помощью специальных численных программ (см., например, [20-22] и др.) Результаты численных моделей описывают экспериментальные значения мощности гармоник ЛСЭ с разбросом до порядка для основного тона и более для гармоник. Принципиальным недостатком численных моделей является невозможность выделить и проанализировать влияние отдельных факторов на генерацию гармоник ЛСЭ. Используемое нами аналитическое описание хорошо согласуется с численными моделями [20, 21, 23-26] и проясняет физическую причину генерации гармоник в ЛСЭ. Цель исследования - анализ причин и возможности генерации четных и нечетных гармоник в ЛСЭ, сравнительный анализ различных методов расчета их мощности, а также сравнение полученных результатов с известными данными ЛСЭ, например, SPARC, LEUTL. 1. Аналитическое описание излучения с помощью коэффициентов Бесселя Для аналитического расчета излучения гармоник рассчитаем их коэффициенты Бесселя с учетом всех основных факторов, влияющих на излучение: всех параметров ондулятора и пучка, его отклонения от оси, эмиттанса, фокусировки и расходимости, разброса энергий, и с высокой точностью предсказать характеристики спонтанного ОИ. Аналитические выражения для излучения различных ондуляторов с учетом гармоник поля в обеих поляризациях приводились во многих работах [27-35]. В предельном случае обычного плоского ондулятора коэффициенты Бесселя x- и y-поляризаций n-й гармоники излучения принимают следующий простой вид: (2) где y0 - радиус пучка; p - номер бетатронной гармоники расщепленной линии спектра; φ - полярный угол; θ - азимутальный угол отклонения от оси; и - функции Бесселя: , (3) аргументы которых имеют следующий вид: . (4) Большая чувствительность электрон-фотонного взаимодействия на длинах волн гармоник к разбросу энергий электронов и потерям учитывается далее в феноменологических выражениях для мощности гармоник. Отметим, что угловая зависимость в содержится как явно в (2), так и неявно в аргументах (4) обобщенных функций Бесселя (3). В реальном устройстве в пучке конечного сечения бетатронные колебания расщепляют линию спектра n-й гармоники на частоте на бетатронные гармоники p, отделенные друг от друга частотой [36], где учитывает возможную гармонику поля ондулятора с амплитудой dH0. В релятивистских пучках γ >> 1, так что , и , т.е. бетатронные гармоники находятся близко друг к другу в расщепленной линии излучения; в ЛСЭ взаимодействие электронов с излучением происходит практически со всеми бетатронными гармониками p линии излучения. В начале ЛСЭ несгруппированный пучок электронов дает квадратичный рост мощности; после группировки электронов начинается экспоненциальный рост с мощности P0, где - длина усиления ЛСЭ, связанная с коэффициентом усиления g0 и безразмерным параметром Пирса [4-7]. Для n-й гармоники он определяется коэффициентом Бесселя fn, параметром дипольности keff, периодом λu, плотностью тока I0, где Σ - сечение пучка, и релятивистским фактором γ (см. [4-10]): , (5) где ; - поперечные сечения, - эмиттансы, - параметры Твисса, - константа тока Альфвена в [А]. Параметр Пирса ρn задает длину усиления , длину насыщения Ls ~ λu /ρ1 и максимальную мощность в режиме независимого роста , где - мощность электронного пучка. Дифракция, разброс энергий и эмиттанс пучка увеличивают длину усиления и насыщения ЛСЭ и уменьшают максимальную мощность Pn,F. Феноменологическое описание разного рода потерь, проведенное Ming Xie [37, 38], дает аналитическую коррекцию длины усиления: , где Λ - полином с девятнадцатью коэффициентами. С высокоточной аппроксимацией в [37, 38] неплохо согласуются следующие более простые формулы (см. [39, 40]): , , , , (6) где влияние разброса энергий σε и эмиттанса εx,y феноменологически учитывается коэффициентами Φ и η, откалиброванными по данным ЛСЭ в диапазонах от видимого до рентгеновского [28-34]: . (7) Коэффициент ζ передает зависимость от геометрических параметров пучка и имеет сложное выражение [40]; однако для современных установок с малым эмиттансом γε ~ 10-6 м∙рад, ζ ≈ 1-1.05 и влияние ζ очень мало; только для пучков с большим эмиттансом, γε > 10-5 м∙рад, имеем ζ ≈ 1.1-1.2, что увеличивает длину усиления. В ЛСЭ с самоусилением спонтанного излучения SASE начальная мощность задается когерентной составляющей шума электронного банча [41]. После некоторой задержки, связанной с развитием процессов модуляции энергии и электронной плотности пучка, происходит независимый экспоненциальный рост мощности ЛСЭ до насыщения: . (8) Для гармоник рост мощности идет медленнее роста основного тона, так как ; более точное и сложное, чем (8), выражение было предложено в [39, 40]. В конце ЛСЭ мощность гармоник растет быстрее, чем в начале, за счет индуцированного основным тоном нелинейного вклада [4-10, 40-42]. При этом насыщение n-й гармоники в режиме нелинейного роста наступает раньше ее насыщения в режиме независимой генерации, и мощность насыщения такова [39, 40]: . (9) Все основные эффекты учитываются в коэффициентах Бесселя . Теоретическая мощность (9), где использованы коэффициенты Бесселя (2), хорошо согласуется с известными данными всех основных ЛСЭ [28-35]. Постепенное насыщение ЛСЭ с осцилляциями мощности гармоник неплохо описывается суммой двух разных экспоненциальных слагаемых типа (8) (не приводим для краткости, см., например, [43, 44]), откалиброванной по данным многих ЛСЭ. Разные авторы предлагают различные теоретические оценки мощности гармоник в режиме нелинейной генерации. Так, в [45] Huang с соавт. дают выражение для мощности третьей гармоники P3, индуцированной основным тоном с мощностью P1: , (10) где численный коэффициент Θ ~ 10-1 определяется сложным тройным интегралом. При этом мощность P3 оказывается на порядок больше измеренной во всех исследованных нами ЛСЭ. Мы нашли путем фитинга с разными ЛСЭ значение Θ ≈ 10-2. Мощность четных гармоник, например, n = 2, выражается в [45] с учетом сечения пучка σx,y, мощности соседних нечетных гармоник Pn, n = 1, 3, и величины банчинга b2 второй и соседней нечетной гармоники bn около насыщения: , n = 1, 3. (11) Мощность четных гармоник по теории [45] в формуле (11) зависит от того, какую из соседних нечетных гармоник, n = 1 или n = 3, выбрать в (11). Другие исследователи, Geloni с соавт., в [46] предложили формулу мощности второй гармоники P2 через мощность первой P1, с учетом числа Френеля , которое характеризует разность фаз вторичных волн, приходящих с краев и с центра пучка сечения σx,y в точку на оси ондулятора длиной Lu, и, таким образом, учитывает соотношение между характерным размером , длиной волны излучения λ1 и длиной ондулятора Lu. Мы преобразовали сложную формулу мощности второй гармоники из [46] к следующему наглядному виду: , (12) где коэффициенты A, B, C выражены через обычные функции Бесселя Jn [46]: , (13) и не имеют отношения к нормированным амплитудам гармоник и коэффициентам Бесселя (2). 2. Сравнительный анализ генерации гармоник в ЛСЭ SPARC и LEUTL Гармоники излучения зарегистрированы в различных ЛСЭ. Для пространственной когерентности излучения необходимо, чтобы фазовый объем его источника был меньше дифракционного предела, что приводит к условию стабильной генерации при ≤ . Также разброс энергий в пучке должен быть мал: ≤ . Отметим, что приведенные неравенства слабые, эмиттансы могут превышать длину волны излучения, деленную на 4π; генерация и излучение происходят и при ≈ . Такой режим в ЛСЭ напоминает квазилинейную стабилизацию неустойчивостей в горячей плазме, которая происходит из-за разравнивания распределения резонансных частиц и обычно не сопровождается значительной генерацией гармоник. Используя формулы феноменологической модели [28-34] эволюции мощности ЛСЭ и коэффициенты Бесселя (2), мы сравним излучение гармоник ЛСЭ SPARC [19, 24] и LEUTL [17, 18] с длиной волны λ ~ 500 нм в обоих ЛСЭ. Некоторые данные для ЛСЭ SPARC приведены в табл. 1. Эволюция мощности гармоник ЛСЭ SPARC по длине ондуляторов показана на рис. 1. Измеренные значения получены, следуя данным из [19, 24]. После отладки ЛСЭ была измерена максимальная энергия фотонного импульса Eγ ≈ 0.1 мДж. Измерение проводилось на выходе последнего ондулятора вблизи насыщения. Длительность электронного банча при этом составляла τe ≈ 2.5 пс, длительность фотонного импульса ≈1.5 пс. Мощность ЛСЭ, соответствующая максимальной энергии фотонного импульса, отмечена черной точкой на рис. 1, а. Она в точности соответствует нашему теоретическому результату, показанному сплошной линией 1. Рассчитанная длина усиления Lg ≈ 0.65 м, длина насыщения Ls ≈ 13 м не считая зазоров ондуляторов. Различные численные моделирования авторов эксперимента, доложенные в [19, 24], дают похожее или большее расхождение с измерениями, чем наш аналитический расчет. Наши теоретические результаты находятся на верхних пределах измеренных значений и соответствуют максимальной мощности отлаженного ЛСЭ. Рассчитанное нами содержание второй гармоники - 0.015%, третьей - 1%. По теории [45] получаем завышенную на порядок мощность третьей гармоники основного тона λ1 = 498 нм. С исправленным нами коэффициентом Θ = 0.01 в (10) получаем правильный результат (сплошная линия 3а после 14 м на рис. 1, а). Для второй гармоники по теории [45], в зависимости от того, первая или третья гармоника используется в формуле (11) в качестве референтной, получаем P2/P1 ≈ 0.01-0.03% (серая область на рис. 1, а). По теории [46] получаем завышенную примерно на два порядка оценку мощности второй гармоники (пунктирная линия 2b на рис. 1, а). Отметим, что мощность второй гармоники рассчитана нами с эффективным углом электрон-фотонного взаимодействия ≈ 0.06, большим в 3 раза угла расходимости θdivγ ≈ 0.02. Рассчитанные нами длины усиления Lg и насыщения Ls соответствуют измеренным значениям, что говорит о правильном учете всех параметров при моделировании. Измеренная спектральная плотность линии излучения составляла 0.35% [19]; это значение показано линией «эксп» на рис. 1, б. Расчет с коэффициентами Бесселя (2) дает спектральную плотность в полном соответствии с измерениями (см. ширину линии «теор» на ее полувысоте на рис. 1, б). Оценка для SASE такова: ≈ 0.2%, она в 2 раза меньше измеренного значения. Таблица 1 Параметры электронного пучка и ондулятора ЛСЭ SPARC [19] Пучок электронов Ондулятор Параметр Значение Параметр Значение Параметр Значение , A 53 1∙10-3 , см 2.8 E, МэВ 152 , м 1.5 Lu, м 2.1 , м∙рад 2.9∙10-6 , м 1.5 N 75 , м∙рад 2.5∙10-6 r, мкм 120 2.07 2.07 Рис. 1. Эволюция мощности гармоник по длине ондуляторов ЛСЭ SPARC, λ1 = 498 нм (а); гармоники обозначены линиями: n = 1 - сплошная 1, n = 2 - штрихпунктирная 2, n = 3 - штриховая 3, экспериментальные интервалы обозначены точками для n = 1, 3 и линиями между ними. Тонкая и жирная сплошные линии справа 2a и серая зона между ними - оценка для 2-й гармоники по [45], пунктирная линия 2b - оценка по [46], сплошная линия справа 3a - оценка по формуле (10) с коэффициентом Θ ≈ 0.01. Спектральная плотность излучения (б); теоретическая - линия «теор», экспериментальное значение - линия «эксп» В ЛСЭ LEUTL [17, 18] генерировалось видимое излучение на длине волны λ1 = 540 нм; сечение пучка электронов: = 0.25 мм, расходимость, ≈ 0.17 мрад, несколько больше, чем в ЛСЭ SPARC. Некоторые данные моделирования ЛСЭ LEUTL приведены в табл. 2. Ввиду большего эмиттанса и сечения пучка можно ожидать заметного влияния бетатронных эффектов и большую мощность второй гармоники. Мы провели оценку вкладов различных факторов на ее излучение и получили, что вклад бетатронных колебаний в излучение второй гармоники сравним с вкладом расходимости. Однако мощность второй гармоники, рассчитанная с учетом только расходимости и бетатронных колебаний, существенно меньше экспериментального значения. Измеренная высокая мощность 2-й гармоники ЛСЭ объясняется тем, что на длине усиления ЛСЭ Lgain ≈ 0.75 м формируется эффективный угол ≈ 0.3 мрад взаимодействия электронов с излучением; нормированное значение ≈ 0.13 почти в 2 раза больше соответствующего значения для угла расходимости: θdivγ ≈ 0.07. С учетом угла теория хорошо описывает эксперимент. Таблица 2 Параметры электронного пучка и ондулятора ЛСЭ LEUTL [18] Пучок электронов Ондулятор Параметр Значение Параметр Значение Параметр Значение , A 210 1∙10-3 , см 3.3 E, МэВ 217 , м 1.5 Lu, м 2.4 , м∙рад 5.9π∙10-6 , м 1.5 N 72 , м∙рад 6.4π∙10-6 3.1 3.1 Рис. 2. Эволюция мощности гармоник по длине ондуляторов ЛСЭ LEUTL, λ1 = 540 нм (а); гармоники обозначены линиями: n = 1 - сплошная 1, n = 2 - штрихпунктирная 2, n = 3 - штриховая 3, экспериментальные значения обозначены точками для n = 1 и серой зоной для n = 3 справа. Тонкая и жирная сплошные линии 2a и серая зона между ними - оценка для 2-й гармоники по [45], штрихпунктирная линия 2c - среднее экспериментальное значение 1/240, пунктирная линия 2b - оценка по [46]. Спектральная плотность излучения (б): теоретическая - линия «теор», экспериментальное значение - линия «эксп» Мы рассчитали коэффициенты Бесселя гармоники n: ≈{0.75, 0.14, 0.31, 0.15, 0.18}; вклад бетатронных колебаний в излучение четных гармоник оказывается мал и сравним с угловым вкладом в y-поляризации в (2): ~ ≈ 0.02; в основной x-поляризации излучения за счет эффективного угла электрон-фотонного взаимодействия имеем значительно больший коэффициент Бесселя 2-й гармоники: ≈ 0.14 >> ~ ≈ 0.02. С учетом этих значений получаем мощность гармоник в ЛСЭ LEUTL в соответствии с экспериментальными данными, как показано на рис. 2, а. По теории [45] и с учетом нашей коррекции на порядок коэффициентом Θ = 10-2 в (10), получаем оценку мощности третьей гармоники в соответствии с экспериментом и с нашим результатом (рис. 2, а). Для второй гармоники получаем по теории [45] диапазон значений одного порядка величины мощности около среднего измеренного. Последнее находится в соответствии с нашим теоретическим расчетом. По теории [46] получаем оценку мощности второй гармоники в 3 раза выше средней измеренной мощности, что, впрочем, находится в пределах разброса данных (см. рис. 2, а). Для спектральной плотности излучения LEUTL с учетом суммы по p в (2), где основной вклад дают , получаем оценку δλ/λ ~ 0.8-1%, что соответствует эксперименту (см. [18] и линию «эксп» на рис. 2, б). Итак, для второй гармоники ЛСЭ LEUTL мы получили содержание ~ 0.15%, по теории [46] - ~ 0.3%, по теории [45] - 0.07-0.7%, все в пределах разброса измерений и в соответствии со средним экспериментальным значением P2/P1 = 1/240 [18]; содержание третьей гармоники - 0.5%. Содержание второй и третьей гармоник LEUTL примерно одинаковое и, по-видимому, объясняется широким пучком. Отметим, что условия , строго выполнены только для основного тона, а для гармоник: ~ и σe ≈ ρ2 ≈ 0.7ρ3. Смоделированная эволюция мощности второй гармоники проходит в нелинейном режиме и соответствует экспериментальным данным; длины усиления Lg = 0.75 м и насыщения Ls = 16 м точно соответствуют измеренным значениям [18]. Заключение С использованием различных теоретических подходов проведен сравнительный анализ генерации гармоник в ЛСЭ SPARC и LEUTL с излучением в видимом диапазоне. Аналитический учет всех основных параметров установок в развитом нами формализме обобщенных функций Бесселя позволил выявить их влияние на спектральные характеристики излучения. Аналитические выражения для коэффициентов Бесселя учитывают все основные параметры ЛСЭ. Результаты моделирования мощности гармоник в ЛСЭ SPARC и LEUTL полностью согласуются с экспериментами. Результаты, полученные для третьей гармоники в рамках подхода [45] систематически завышены на порядок. Нами предложена феноменологическая коррекция, приводящая к верному результату. Оценка мощности второй гармоники по теории [45] дает интервал значений в порядок величины, удовлетворительно согласующийся с разбросом измеренных значений. Оценка по формулам [46] для второй гармоники дает противоречивые результаты: для ЛСЭ SPARC оценка оказывается завышенной почти на два порядка, а для LEUTL она хорошо согласуется с измерениями. Формализм коэффициентов Бесселя (2) в (9) с учетом всех параметров установки дает правильные результаты. Показано, что вклад бетатронных колебаний в генерацию второй гармоники мал во всех рассмотренных ЛСЭ; он сравним с вкладом расходимости и значительно меньше углового вклада от электрон-фотонного взаимодействия. Влияние бетатронных колебаний на генерацию гармоник ЛСЭ пренебрежимо мало. В ЛСЭ LEUTL мощность второй гармоники почти достигает мощности третьей гармоники с содержанием ~ 0.1-0.5%, что объяснимо в рамках нашего аналитического формализма большим эффективным углом электрон-фотонного взаимодействия на длине усиления ЛСЭ с большим эмиттансом пучка. Расчет спектральной плотности излучения дает ≈ 0.8% и согласуется с экспериментом. В ЛСЭ SPARC с похожими характеристиками установки, но более узким пучком электронов и меньшим в несколько раз эмиттансом зарегистрирована третья гармоника с содержанием ~ 1%; наш аналитический расчет и оценка (10) соответствуют измерениям. Вторая гармоника в ЛСЭ SPARC слабая, расчет дает ~ 0.015%; это объясняется малым эмиттансом пучка. Спектральная плотность, рассчитанная нами аналитически, δλ/λ ≈ 0.4%, соответствует измеренной, 0.35%. Таким образом, четные гармоники ЛСЭ в большей степени определяются шириной пучка и соответствующим угловым вкладом электрон-фотонного взаимодействия на длине усиления. Уход пучка с оси обычно тщательно компенсируется и дает меньший вклад в излучение четных гармоник. Нечетные гармоники определяются в основном параметрами ондуляторов. Разброс энергий и большой эмиттанс пучка, очевидно, негативно влияют на излучение всех гармоник. Проведенное аналитическое описание позволяет проанализировать и сравнить физические причины генерации гармоник в ЛСЭ. Использование аналитической модели и полученных результатов позволяет исследовать влияние различных характеристик пучков и ондуляторов на генерацию гармоник в любой ЛСЭ. Это может применяться для контроля и определения качества пучков, их центровки и исследования характеристик излучения работающих и строящихся ЛСЭ. Автор благодарит проф. А.В. Борисова и гл. науч. сотр. А.Е. Лобанова за полезные обсуждения.

Скачать электронную версию публикации