Gravitational-scalar instability of a cosmological model based on a two-component system of degenerate scalarly charged .pdf Введение В последние годы в связи с одновременным прямым экспериментальным обнаружением в 2016 г. гравитационных волн и черных дыр [1, 2] и последующим их исследованием были подтверждены, в частности, более ранние косвенные наблюдения по орбитам звезд сверхмассивной черной дыры в центре нашей Галактики с массой порядка (см., например, [3, 4]), а также существование сверхмассивных черных дыр в центрах галактик и квазаров с массами в диапазоне , как, например, сверхмассивная черная дыра SDSS J140821.67+025733.2 в центре квазара SDSS J140821, имеющая массу . Считается, что сверхмассивные черные дыры с массой являются центральными объектами светящихся квазаров, наблюдаемых при красных смещениях , но их астрофизическое происхождение остается не до конца понятным. В настоящее время открыто более 200 квазаров c и несколько объектов с . Квазар с наибольшим красным смещением при , что соответствует возрасту Вселенной в 650 млн лет, имеет абсолютную светимость эрг/с, при этом оценка массы по скорости движения газа в квазаре дает величину [5]. Эти наблюдательные данные ставят вопрос о механизме образования и быстрого роста таких объектов в ранней Вселенной. Результаты численного моделирования [6] налагают ряд ограничений на параметры образования сверхмассивных черных дыр. Так, например, показано, что легкие зародыши черных дыр с массой даже при сверхкритической аккреции не могут вырасти до масс порядка на . Для образования сверхмассивных черных дыр с массами необходимы более тяжелые зародыши и богатые газом галактики, содержащие квазары. Однако в настоящее время нет достаточно убедительных моделей появления таких тяжелых зародышей в ранней Вселенной. Кроме того, было обнаружено, что пространственная плотность светящихся квазаров быстро уменьшается с увеличением красного смещения, причем эта тенденция усиливается за пределами [7]. Интерес к механизмам образования сверхмассивных черных дыр с массами с учетом факта доминирующего присутствия их в составе квазаров вызван, в частности, тем обстоятельством, что такие черные дыры формируются в составе квазаров на достаточно ранних стадиях эволюции Вселенной, до образования звезд. Это обстоятельство, в частности, открывает возможность формирования сверхмассивных черных дыр в условиях, когда существенное влияние на этот процесс могут оказать скалярные поля и барионная темная материя. В связи с этим отметим работы [8-10], в которых рассматривается возможность существования скалярных гало и скалярных волос в окрестности сверхмассивных черных дыр. В [11] на основе развитой теории неустойчивости однокомпонентной системы скалярно заряженных вырожденных фермионов с синглетным Хиггсовым скалярным взаимодействием в так называемом жестком ВКБ-приближении было подтверждено предположение о неустойчивости коротковолновых возмущений. Эти предварительные исследования показали необходимость всестороннего и более глубокого изучения статистических систем скалярно заряженных частиц. Далее, в [12] были предложены две наиболее простых модели взаимодействия фермионов с асимметричным скалярным дублетом: в первой модели такое взаимодействие осуществляется двумя типами разносортных фермионов, один из которых является источником канонического скалярного поля, а второй - фантомного (модель ); во второй модели имеется один сорт фермионов, обладающих парным зарядом - каноническим и фантомным (модель ). Там же был проведен и качественный анализ динамической системы модели . Заметим, во-первых, что в случае космологической модели, основанной на классическом вакуумном скалярном синглете, параметр Хаббла является невозрастающей функцией времени ( ). При этом инфляционные решения возможны лишь при постоянных значениях потенциала скалярного поля, соответствующих точкам устойчивого равновесия динамической системы. Однако оказывается, что такие решения устойчивы лишь по отношению к бесконечно малым возмущениям. Поэтому, несмотря на известные энергетические и квантово-полевые проблемы с синглетным фантомным, мы включаем фантомное поле в исследуемую ниже модель. При этом переход к синглетной модели, основанной на чисто классическом либо чисто фантомном поле, управляется параметрами модели, которые для теоретической полноты сохраняются нами произвольными, что позволяет выявлять особенности воздействия компонент модели на ее свойства. Во-вторых, заметим, что мы рассматриваем модель без излучения, в которой материя представляется холодной вырожденной системой скалярно заряженных фермионов и соответствующими этим зарядам скалярными Хиггсовыми полями. Такую холодную систему фермионов можно рассматривать в качестве модели темной материи на ранних стадиях эволюции Вселенной. В данной работе мы исследуем гравитационную устойчивость модели двухкомпонентной статистической системы с асимметричным скалярным взаимодействием фермионов, снимая условие жесткого ВКБ-приближения [11]. 1. Математическая модель двухкомпонентной системы вырожденных фермионов с асимметричным скалярным Хиггсовым взаимодействием В [12] показано, как на основе Лагранжева формализма из микроскопических уравнений движения скалярно заряженных частиц можно получить макроскопическую модель статистической системы скалярно заряженных частиц, описываемую макроскопическими потоками. В настоящей работе мы воспользуемся результатами, полученными в [12]. Ниже мы будем рассматривать космологическую модель, основанную на двухкомпонентной вырожденной статистической системе скалярно заряженных фермионов и асимметричном скалярном Хиггсовом дублете, состоящем из канонического скалярного поля и фантомного поля [13]. Согласно [12], динамические массы и фермионов и с зарядами и по отношению к каноническому полю и фантомному полю описываются формулами (1) Функция Лагранжа не взаимодействующих между собой скалярных Хиггсовых полей асимметричного скалярного дублета есть (2) где (3) - потенциальные энергии соответствующих скалярных полей; - константы их самодействия; - их массы квантов. Тензор энергии-импульса скалярных полей относительно функции Лагранжа (2) есть . (4) Далее, тензор энергии-импульса равновесной статистической системы равен (5) где - вектор макроскопической скорости статистической системы. Уравнения Эйнштейна для системы «скалярные поля + частицы» имеют вид (6) где - затравочное значение космологической постоянной, связанное с ее наблюдаемым значением , получающимся при изъятии постоянных слагаемых в потенциальной энергии, соотношением (7) Строгими макроскопическими следствиями кинетической теории являются уравнения переноса, в том числе закон сохранения некоторого векторного тока, соответствующего микроскопическому закону сохранения в реакциях некоторого фундаментального заряда Q с мультизарядами частиц - (8) а также законы сохранения энергии-импульса статистической системы (9) где - плотность скалярных зарядов по отношению к полю [12]. Из соотношения нормировки вектора скорости вытекает известное тождество (10) которое позволяет привести законы сохранения энергии-импульса (9) к виду уравнений идеальной гидродинамики , (11) (12) а законы сохранения фундаментального заряда (8) - к виду (13) где (14) - кинематическая плотность скалярного заряда статистической системы по отношению к скалярному полю . Макроскопические скаляры для двухкомпонентной статистической системы вырожденных фермионов принимают следующий вид: , (15) , (16) (17) где и - плотности скалярных зарядов и ; (18) Для сокращения письма введены функции и : , (19) (20) Функции и , во-первых, являются нечетными: (21) а во-вторых, имеют следующие асимптотики: (22) (23) Выпишем также полезные для дальнейшего выражения для производных функций и : (24) Наконец, уравнения скалярных полей для двухкомпонентной системы принимают вид (25) (26) 2. Линейные плоские возмущения космологической модели 2.1. Невозмущенное изотропное однородное основное состояние В качестве фоновой рассмотрим пространственно плоскую метрику Фридмана (27) где космологическое время связано с временной переменной соотношением (28) а в качестве фонового решения рассмотрим однородное изотропное распределение материи, в котором все термодинамические функции и скалярные поля зависят только от времени: (29) Нетрудно убедиться, что (30) обращает уравнения (11) в тождества, а система уравнений (12), (13) сводится к трем материальным уравнениям: , (31) (32) , (33) где . В [12] показано, что система уравнений (31) - (33) имеет простые точные решения: (34) С учетом (34) и (1) запишем безразмерные функции и (18) в явном виде (35) где мы перешли к новой безразмерной переменной (36) полагая здесь и в дальнейшем (37) Далее, тензор энергии-импульса скалярного поля в невозмущенном состоянии также принимает вид тензора энергии-импульса идеальной изотропной жидкости: (38) причем , (39) , (40) так что (41) Уравнения невозмущенных скалярных полей (25), (26) в метрике Фридмана принимают вид (42) , (43) где плотности скалярных зарядов и описываются выражениями (17), в которые необходимо подставить значения функций и (35). Наконец, независимые уравнения Эйнштейна нулевого приближения имеют вид (см. [13]) , (44) , (45) где - параметр Хаббла, (46) Таким образом, уравнения (42), (43) и (46) относительно функций , , составляют полную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих исследуемую невозмущенную космологическую модель. При этом уравнение (45), как показано, например, в [12], является первым интегралом этой системы, с помощью которого необходимо определять начальное значение параметра Хаббла при решении задачи Коши. Заметим, что указанную систему уравнений проще исследовать во временном масштабе физического времени (28), поскольку относительно этой переменной полная автономная система уравнений космологической модели принимает наиболее простой вид [12]: (47) , (48) , (49) , (50) причем выражение для первого интеграла (45) можно переписать в форме (51) 3. Уравнения первого порядка по возмущениям Далее мы будем использовать и временную переменную для адекватности стандартной теории возмущений Лифшица (см., например, [13]). В дальнейшем всюду с помощью будем обозначать производную по временной переменной . При этом необходимо учитывать простые правила дифференцирования (52) и соотношение . 3.1. Продольные возмущения Метрику с гравитационными возмущениями запишем в виде (см., например, [13]) . (53) Обращаем внимание на конформный множитель перед ковариантными амплитудами возмущений, который пропадает для смешанных компонент возмущений . При этом ковариантные возмущения метрики равны (54) Далее , (55) (56) В дальнейшем будем рассматривать лишь продольные возмущения метрики, имея ввиду задачу о гравитационной устойчивости плоских возмущений, для определенности направляя волновой вектор вдоль оси . В этой системе координат , , (57) Как видно из предыдущих формул, материя в нашей модели полностью определяется четырьмя скалярными функциями - , , и и вектором скорости . Следуя [11], разложим эти функции в ряд по малости возмущений относительно соответствующих функций на фоне метрики Фридмана (53)*: (58) где , , , и - функции первого порядка малости по сравнению с их невозмущенными значениями. 3.2. Уравнения возмущений скалярных полей Разлагая в ряд Тейлора уравнения поля (25), (26) по малости возмущений, получим уравнения для возмущений скалярных полей первого порядка , : , (59) (60) Эти уравнения отличаются от аналогичных для возмущений вакуумных скалярных полей лишь членом с источником скалярного поля в правой части и знаками в кинетических членах для фантомного поля (см. [14]). 3.3. Уравнения для гравитационных возмущений Разлагая теперь уравнения Эйнштейна (6) в ряд Тейлора по порядкам возмущений (некоторые детали см. в [11]), получим следующие независимые уравнения для гравитационных возмущений первого порядка : , (61) , (62) , (63) . (64) Можно показать (см., например, [11]), что дифференциально-алгебраическими следствиями уравнений (61) - (64) являются уравнения для возмущений скалярного поля (59), (60) и уравнения движения первого приближения вырожденной материи. Последние, очевидно, являются излишними, так как возмущения скорости и плотности энергии материи непосредственно определяются уравнениями (61) и (62). Из оставшихся уравнений мы выберем четыре независимые: (59), (60), (63) и (64) для того, чтобы максимальным образом приблизить математическую модель к стандартной теории Лифшица. При этом уравнение (63) совпадает с соответствующим уравнением теории Лифшица, а уравнение (64) отличается от соответствующего уравнения работы [14] лишь материальным членом и добавлением аналогичного члена для фантомного поля. Заметим, что в отсутствие фермионной системы выражение в скобках правой части (61) обращается в нуль и дает уравнение на возмущения полей и метрики, как и уравнение (62) вместо определения возмущения плотности энергии фермионной компоненты становится уравнением на эти возмущения. В [14] показано, что не все уравнения на возмущения вакуумных скалярных полей и возмущений метрики независимы, а в [15] найдены ВКБ-решения соответствующих уравнений для возмущений классического скалярного поля. Поскольку система уравнений для возмущений вакуумных скалярных полей принципиально отличается от системы уравнений для возмущений полей с источниками, в дальнейшем мы будем предполагать обязательное наличие фермионной компоненты и, тем самым, - выполнение условий: (65) Вводя новую переменную для гравитационных возмущений (66) и складывая обе части уравнений (63) и (64), получим вместо этих двух уравнений новую систему уравнений относительно переменных и : , (67) (68) Для замыкания системы уравнений необходимо найти связи между возмущениями макроскопических скаляров, с одной стороны, и возмущений скалярных и гравитационных полей, с другой. 3.4. Возмущения фермионной компоненты Найдем теперь указанную выше явную связь макроскопических скаляров вырожденной Ферми-материи с возмущениями скалярного и гравитационных полей. Учитывая формулы (5), верные для идеальной жидкости (см. [11]), и представляя возмущения импульса Ферми в виде (69) запишем возмущение макроскопических скаляров в первом по возмущениям приближении: (70) где, согласно (18), (71) и введены возмущения приведенного импульса Ферми для каждого сорта фермионов (72) Кроме того, из законов сохранения зарядов и (11) с учетом (70) мы можем получить законы сохранения числа каждого сорта фермионов в первом порядке теории возмущений откуда сразу следует (73) (74) т.е. относительные возмущения импульса Ферми вырожденных фермионов совпадают. При этом уравнение (74) является альтернативным (61) определением скорости возмущений . Заметим, что оба эти уравнения получены как законы сохранения из уравнений переноса: уравнение (74) получается из закона сохранения заряда, а уравнение (61) - из закона сохранения энергии-импульса статистической системы. В [12] показано, как закон сохранения энергии фермионов получается из закона сохранения заряда. Таким образом, скорость возмущений определяется алгебраически через любую из указанных формул. Итак, формулы (72) принимают вид (75) Далее, с учетом дифференциальных тождеств (24) найдем выражения для возмущений макроскопических скаляров фермионов (в соответствии с замечанием в подразд. 4.2 ниже мы опускаем экспоненциальный множитель ): , (76) (77) , (78) (79) где В итоге, все возмущения макроскопических скаляров для вырожденной плазмы полностью определяются тремя функциями возмущений: , и . Таким образом, подставляя выражения для макроскопических скаляров (76) - (79) в уравнения скалярных полей (59), (60) и уравнения Эйнщтейна (62), (67) и (68), мы получим искомую замкнутую систему пяти обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно пяти функций возмущений: , , , , . При этом специфика переменной заключается в том, что эта переменная входит в уравнения линейным алгебраическим образом, что позволяет в принципе исключить ее через одно из уравнений и тем самым свести исследуемую систему к системе четырех дифференциальных уравнений относительно четырех функций , , , . Проще всего это сделать, подставляя выражение (78) в уравнение Эйнштейна (62), найденное выражение для подставить в скаляры (76), (77), (79), а затем в исследуемые уравнения (59), (60) и (68). Мы, однако, не будем выписывать полученные таким образом уравнения вследствие их чрезвычайно громоздкого и малополезного вида.

Скачать электронную версию публикации