Гравитационно-скалярная неустойчивость космологической модели на основе двухкомпонентной системы вырожденных скалярно заряженных фермионов с асимметричным Хиггсовым взаимодействием. II. ВКБ-приближение | Известия вузов. Физика. 2022. № 9. DOI: 10.17223/00213411/65/9/78

Гравитационно-скалярная неустойчивость космологической модели на основе двухкомпонентной системы вырожденных скалярно заряженных фермионов с асимметричным Хиггсовым взаимодействием. II. ВКБ-приближение

Найдены и исследованы решения системы эволюционных уравнений в коротковолновом приближении. Установлена связь задачи об эволюции коротковолновых гравитационно-скалярных возмущений с задачей о собственных векторах и значениях линейного оператора. Средствами прикладного математического пакета создана программа вычисления амплитуд возмущений космологической модели. Показано, что в такой системе возникают неустойчивые коротковолновые моды возмущений. Построена и проанализирована численная модель эволюции гравитационно-скалярных возмущений космологической модели.

Gravitational-scalar instability of a cosmological model based on a two-component system of degenerate scalarly charged .pdf В этой части работы мы исследуем полную систему линейных дифференциальных уравнений для гравитационно-скалярных возмущений однородной изотропной космологической системы вырожденных скалярно заряженных фермионов, полученных в предыдущей части работы, в коротковолновом приближении методом ВКБ**: , (I.59) , (I.60) , (I.61) , (I.62) , (I.67) (I.68) где . 4. Приближение ВКБ 4.1. ВКБ-приближение, размерность Проведем размерностный анализ исследуемой динамической системы (I.59), (I.60), (I.62), (I.67) и (I.68). Из (I.1) следует, что величины имеют размерность массы*** где означает размерность величины , а здесь и в дальнейшем означает масштаб длины. Далее Тогда, например, из уравнения Эйнштейна (45) следует Далее, из определения (I.52) следует, что возмущения метрики являются безразмерными функциями, как и возмущения скалярных полей. Из определения возмущения импульса Ферми (I.69) следует, что - также безразмерная функция. Таким образом, все возмущения безразмерны: Будем полагать характерный масштаб неоднородности фона порядка : Исследуем сформулированную математическую модель космологической эволюции возмущений (I.59), (I.60), (I.62), (I.67) и (I.68) в коротковолновом секторе возмущений (см., например, [1]): , (80) и т.д. В соответствии с методом ВКБ представим решения уравнений в форме (81) где и - слабоменяющиеся наряду с масштабным фактором функции амплиуды и эйконала возмущения. 4.2. ВКБ-решения волновых уравнений Для того, чтобы не возвращаться всякий раз к вопросу ВКБ-приближения, продемонстрируем технику решения уравнений в ВКБ-приближении на примере нахождения ВКБ-решений волнового уравнения относительно скалярной функции (82) В дальнейшем мы будем обращаться к полученным ниже ВКБ-решениям волновых уравнений как к базовым. Представляя в форме (81), получим из (82) уравнение (83) Отделяя порядки ВКБ-приближения в (83) и ограничиваясь первым приближением ВКБ, получим уравнения Из уравнения нулевого приближения найдем . Подставляя это решение в уравнение первого приближения, найдем и, таким образом, найдем ВКБ-решение волнового уравнения (82): (84) которое описывает запаздывающую и опережающую волны, распространяющиеся со скоростью света, амплитуда которой падает обратно пропорционально масштабному фактору. Рассмотрим теперь волновое уравнение для массивного вакуумного скалярного поля , (85) где массивный член также является медленно меняющейся величиной . Поступая аналогично предыдущему, получим вместо (83) следующее уравнение: (86) Учитывая тот факт, что величина с увеличением времени может стать порядка и даже больше , мы должны удержать этот член в уравнении нулевого порядка. Таким образом, имеем уравнения в первом ВКБ-приближении: откуда для нулевого ВКБ-приближении найдем (87) Подставляя решение (87) в уравнение первого ВКБ-приближения, легко найдем (88) При решение (88) переходит в решение (84). Поскольку частотой волны в полученном решении служит подынтегральная функция в экспоненте (88), определим стандартным образом фазовую и групповую скорость волны: (89) 4.3. ВКБ-решения для уравнений связи Заметим, что в отличие от переменных , , и переменная входит в динамические уравнения лишь алгебраически, что позволяет сократить число динамических функций до четырех. Для нахождения можно воспользоваться уравнением Эйнштейна (I.62), в левую часть которого необходимо подставить выражение из (I.78) и согласно ВКБ-приближению отбросить в этом уравнении связи малые величины порядка . В результате при выполнении условий (I.65) получим алгебраическую связь: , (90) где введены обозначения: (91) Заметим, что все коэффициенты в линейной связи являются безразмерными величинами, при этом величины , и имеют размерность . Далее, полученное выражение для (90) мы должны подставить в выражения для возмущений скалярных плотностей заряда (I.76) и (I.77), а также в выражение для возмущения давления статистической системы (I.79). Полученные таким образом выражения мы должны, в свою очередь, подставить в соответствующие уравнения для возмущений скалярных полей (I.59) и (I.60) и уравнение Эйнштейна для возмущений (I.68). Таким образом, получим, например: (92) (93) (94) Заметим, что все коэффициенты в линейных связях и имеют размерность , а является безразмерной величиной. 4.4. Асимптотические значения функций (91) - (94) В дальнейшем нам понадобятся асимптотические значения функций (90) - (94) в нерелятивистском ( ) и ультрарелятивистском ( ) пределах. Заметим, что эти пределы эквивалентны также большим и малым соответственно значениям зарядов или малым и большим соответственно значениям импульсов Ферми. Используя соответствующие асимптотики функций (I.22) и (I.23), получим следующие асимптотики. Нерелятивистский предел большие заряды (95) Ультрарелятивистский предел малые заряды (96) 4.5. Уравнения для возмущений в терминах ВКБ Представляя, например, в форме (81), найдем (97) Подставляя полученные выражения для возмущений макроскопических скаляров (92) - (94) в уравнения для возмущений скалярных (I.59), (I.60) и гравитационных полей (I.67) и затем подставляя возмущения , , и в форме (81) в систему (I.59), (I.60), (I.67) и (I.68), с учетом соотношений (97) получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно амплитуд , , , и функции эйконала : , (98) , (99) , (100) (101) 5. Решение уравнений для возмущений методом ВКБ 5.1. Дисперсионное уравнение: нулевой порядок ВКБ Уравнения (98) - (101) в нулевом порядке ВКБ представляют систему однородных алгебраических уравнений относительно амплитуд возмущений: (102) где - знак транспонирования; - квадратная матрица размерности 4, (103) Необходимым и достаточным условием нетривиальной разрешимости системы (103) является равенство нулю определителя матрицы : (104) Уравнения типа (104), устанавливающие связи вида , т.е. связи между волновым вектором и частотой колебаний, в теории плазмы называются дисперсионными уравнениями (см., например, [2]). Решением дисперсионного уравнения (104) являются 8 симметричных функций эйконала , последовательная подстановка которых в уравнения (102) даст нам фундаментальное решение . Полученные алгебраические решения затем необходимо подставить в дифференциальные уравнения первого порядка ВКБ-приближения для определения зависимости решений от временной переменной. Поскольку третий столбец матрицы содержит лишь один ненулевой элемент , то, во-первых, дисперсионное уравнение (104) можно представить в виде (105) где - квадратная матрица размерности 3, . (106) Во-вторых, из уравнения (105) сразу найдем тривиальное решение (107) Этому решению, согласно (102) и (103), в нулевом приближении ВКБ соответствует произвольная функция (108) Такая же нулевая мода появляется и в теории гравитационной неустойчивости Лифшица [1, 3], если эту теорию переформулировать в терминах ВКБ. Как показано в [2], эта мода исключается допустимыми преобразованиями координат. В дальнейшем мы будем опускать нулевую моду. Дисперсионное уравнение для остальных мод возмущений , и относительно имеет вид (109) где , (110) и введены обозначения: (111) Таким образом, в нулевом ВКБ-приближении уравнения (108) относительно переменных можно записать в виде . (112) Вычисляя определитель матрицы (110) и вводя переменную получим дисперсионное уравнение для остальных мод колебаний в форме полинома по четным степеням : . (113) В общем случае решение дисперсионного уравнения (111) относительно для остальных мод возмущений , и конечно, формально его можно найти с помощью формулы Кардана, но результат этот будет чрезвычайно громоздким и не пригодным для исследования. 5.2. Численное решение уравнений (112) В более ранних работах автора дисперсионное уравнение решалось аналитически для малых значений скалярных зарядов: (114) В этом случае дисперсионное уравнение (113) сводится к произведению уравнений 1-го и 2-го порядков, которые легко решаются аналитически. Однако условия (114) не позволяют провести достаточно полного анализа задачи. В более ранних работах автора дисперсионное уравнение (109) решалось численными методами в прикладном математическом пакете Maple. Как оказалось, решение этого уравнения с учетом того, что его коэффициенты (111), в свою очередь, определяются численными решениями фоновых уравнений (I.47) - (I.51), требует в Maple достаточно больших временных ресурсов. Поэтому в данной работе мы будем находить численные решения другим методом. Как нетрудно видеть, уравнения (112) можно записать в форме уравнений на собственные векторы матрицы , ( ), (115) где и . (116) Поэтому задача о нахождении решений уравнений для возмущений в нулевом порядке ВКБ сводится к задаче о собственных векторах матрицы (116), причем собственные значения этой матрицы определяют собственные частоты колебаний и инкременты/декременты собственных колебаний по формулам (обращаем внимание на знак инкремента): , (117) так что амплитуды возмущений (81) вычисляются по формулам (118) где мы перешли от временной переменной к космологическому времени по формуле . (119) В результате возмущения описываются следующим выражением: . (120) Оказывается, в последних версиях пакета Maple содержатся эффективные программные средства численного решения задачи о собственных векторах и собственных значениях матрицы. При этом скорость численного решения этой задачи фактически на порядок превышает скорость вычисления корней кубического уравнения. При этом необходимо лишь исправить небольшие неточности в программе вывода решений. Этими средствами мы и воспользуемся для определения частот, инкрементов и амплитуд возмущений. 5.3. Первый и второй порядки Зависимости амплитуд найденных мод от временной переменной определяются решениями дифференциальных уравнений первого порядка по ВКБ-приближению. В первом порядке ВКБ имеем из (98) - (101) следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка: , (121) , (122) , (123) (124) Заметим, во-первых, что решение дисперсионного уравнения обращает в тождества эти уравнения, во-вторых, что уравнение (123) легко интегрируется, поскольку содержит полный дифференциал: (125) Вследствие указанного обстоятельства в ряде случаев необходимо удержать члены второго порядка по параметру ВКБ. Таким образом, получим уравнения: , (126) , (127) , (128) (129) В эти уравнения не входит функция эйконала, поэтому мы сразу можем получить в случае вместо (125) решение (130) Поскольку при мы получили явное решение для (130), мы можем упростить систему уравнений (121) - (124), вычитая уравнение (124) из уравнения (123) и возвращаясь затем к переменной : , (131) , (132) (133) Заметим, что уравнения (131) - (133) можно записать в следующей более компактной форме: (134) Дальнейшее упрощение уравнений (134) на амплитуды возмущений не представляется возможным, аналитическое их исследование вследствие, во-первых, отсутствия в них малых или больших параметров и, во-вторых, отсутствия аналитических фоновых решений для функций также безрезультативно. Эти слабо меняющиеся со временем функции возможно найти лишь численными методами. Но в принципе это и не особенно нужно, так как основную информацию о поведении возмущений , , несут шесть функций эйконала . Заметим лишь, что в случае постоянных значений невозмущенных потенциалов скалярных полей , которые как раз и достигаются в устойчивых особых точках асимметричного вакуумного дублета [4], уравнения (134) легко интегрируются: (135) 6. Численное моделирование 6.1. Замечания к численному моделированию Перед тем как переходить к численному моделированию, сделаем несколько замечаний. 1. Макроскопические скаляры (90) - (94), определяющие коэффициенты матрицы уравнений (112) относительно собственных векторов и собственных значений, в свою очередь, определяются решениями системы фоновых уравнений (I.47) - (I.51): (I.47) , (I.48) , (I.49) (I.50) . (I.51) Система уравнений (I.47) - (I.51), в свою очередь, состоит из системы шести обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений (I.47) - (I.50) и одного интегрального условия (I.51), являющегося первым интегралом системы (I.47) - (I.50) и определяющего начальное значение параметра Хаббла. 2. Мы будем решать систему уравнений (I.47) - (I.50) с начальными условиями , (136) пользуясь тем обстоятельством, что вследствие автономности системы (I.47) - (I.50) мы можем выбрать произвольно момент времени , при котором масштабный фактор обращается в единицу . Кроме того, значение в (136) будет определяться одним из решений (I.51) при заданных других начальных условиях. В результате мы будем задавать начальные условия упорядоченным списком четырех элементов: , (137) причем обычно для простоты будем полагать 3. Вследствие существенной нелинейности системы дифференциальных уравнений (I.47) - (I.50) ее решения мы будем находить численными методами, используя в основном метод Розенброка с абсолютной и относительной точностью , который применим в том числе и к жестким системам дифференциальных уравнений. 4. Система фоновых уравнений (I.47) - (I.51), определяющая невозмущенную космологическую модель , полностью определяется девятью параметрами, которые мы будем задавать упорядоченным списком: , (138) где - константы самодействия; - массы квантов; - скалярные заряды; - начальные импульсы Ферми классического и фантомного поля соответственно; - космологическая постоянная. 5. Таким образом, коэффициенты матрицы определяются численными решениями системы фоновых уравнений (I.47) - (I.51) с параметрами (138) и начальными условиями (137): . (139) Таким образом, задача вычисления амплитуд возмущений (120) и их временной эволюции является весьма сложной вычислительной задачей. 6.2. Пример численного моделирования 6.2.1. Фоновое решение В качестве примера исследования рассмотрим модель с параметрами . (140) В этом случае соответствующая вакуумная космологическая модель имеет особые точки с координатами (см. [4]): . (141) Среди особых точек (141) две, и , - седловые точки и одна, , - притягивающая. На рис. 1 и 2 представлены результаты численного интегрирования системы уравнений (I.47) - (I.51). На этих графиках видно, как космологическая система, стартуя в точке , проходя далее через точку , оказывается в точке устойчивого равновесия , соответствующей инфляционному расширению. Рис. 1. Эволюция масштабной функции ξ(t) (сплошная линия) и параметра Хаббла H(t) (штриховая линия) для модели (140) Рис. 2. Эволюция скалярных потенциалов Ф(t) (сплошная линия) и φ(t) (штриховая линия) для модели (140) 6.2.2. Мода 1 На рис. 3 и 4 представлены графики эволюции частоты и инкремента возмущений для моды X1, а на рис. 5 - компонент возмущений, полученные указанными выше численными методами . Рис. 3. Эволюция частоты возмущений в моде X1 для модели (140) Рис. 4. Эволюция инкремента нарастания возмущений в моде X1 для модели (140) Рис. 5. Эволюция компонент возмущений в моде X1 для модели (140): сплошная линия - , пунктирная - , жирная сплошная линия - 6.2.3. Мода 2 На рис. 6 и 7 представлены графики эволюции частоты и инкремента возмущений для моды X2, а на рис. 8 - гравитационной компоненты возмущений, полученные указанными выше численными методами. Рис. 6. Эволюция частоты возмущений в моде X2 для модели (140) Рис. 7. Эволюция инкремента нарастания возмущений в моде X2 для модели (140) Рис. 8. Эволюция компоненты возмущений в моде X2 для модели (140) 6.2.4. Мода 3 На рис. 9 и 10 представлены графики эволюции частоты и инкремента возмущений для моды X3, а на рис. 11 - гравитационной компоненты возмущений, полученные указанными выше численными методами. Рис. 9. Эволюция частоты возмущений в моде X3 для модели (140) Рис. 10. Эволюция инкремента нарастания возмущений в моде X3 для модели (140) Рис. 11. Эволюция компоненты возмущений в моде X3 для модели (140) Сравнивая три моды возмущений, заметим, во-первых, что длительный этап сильной неустойчивости возникает лишь в моде X1. Во-вторых, можно заметить, сравнивая рис. 3 и 4, что на этапе неустойчивости частота колебаний равна нулю, что соответствует стоячим растущим колебаниям. Из графика на рис. 5 можно видеть, что указанный этап неустойчивости соответствует росту потенциала классического скалярного поля, в то время как фантомное поле практически отсутствует. Отметим также апериодический характер колебаний гравитационного поля в моде X2 (рис. 8). В моде X3 частота колебаний после апериодических осцилляций становится постоянной (рис. 9) именно в тот момент времени, когда исчезают гравитационные возмущения (рис. 11). 7. Обсуждение результатов Подводя итоги проведенного исследования, отметим наиболее важные его результаты. 1. Построена математическая модель эволюции возмущений космологической модели, основанной на двухкомпонентной статистической системе скалярно заряженных вырожденных фермионов, взаимодействующих посредством скалярных, классических и фантомных полей с Хиггсовыми потенциалами. Эта модель состоит из системы нелинейных фоновых уравнений однородной космологической модели и системы линейных однородных дифференциальных уравнений, описывающих временную эволюцию возмущений на фоне однородной изотропной космологической модели (эволюционных уравнений). 2. В приближении ВКБ на основе эволюционных уравнений построена замкнутая система однородных алгебраических уравнений, описывающих эволюцию коротковолновых возмущений. Коэффициенты системы уравнений определяются функциями фоновых решений. 3. Решение системы этих уравнений сведено к задаче нахождения собственных векторов и собственных значений матрицы линейного оператора. Найдены связи между функциями возмущений и собственными векторами и значениями матрицы системы. 4. В прикладном математическом пакете создана программа численного решения задачи об эволюции возмущений. Применение программы позволило разделить вклады в трех модах возмущений. 5. Приведен и проанализирован пример численного моделирования эволюции возмущений. Заметим, что в настоящей работе мы лишь привели пример численного моделирования эволюции возмущений, демонстрирующий гравитационно-скалярную неустойчивость. В следующей статье мы представим результаты моделирования широкого класса космологических моделей и проведем их анализ на предмет их пригодности для объяснения природы образования черных дыр в ранней Вселенной.

Ключевые слова

скалярно заряженные фермионы, космологическая модель, скалярные поля, асимметричный скалярный дублет, гравитационная устойчивость, коротковолновое приближение

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Игнатьев Юрий ГеннадиевичКазанский (Приволжский) федеральный университетд.ф.-м.н., профессор, ведущ. науч. сотр. НИЛ «Космология» Института физики КФУyurii.ignatev.1947@yandex.ru
Всего: 1

Ссылки

Лифшиц Е.М., Халатников И.М. // УФН. - 1963. - Т. 80. - Вып. 3. - С. 391-438.
Железняков В.В. Электромагнитные волны в космической плазме. - М.: Наука, 1977. - 431 c.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. - М.: Физматлит, 2006. - 536 с.
Ignat’ev Yu.G., Kokh I.A. // Theor. Math. Phys. - 2021. - V. 207. - No. 1. - P. 514-552; arXiv:2104.01054 [gr-qc].
 Гравитационно-скалярная неустойчивость космологической модели на основе двухкомпонентной системы вырожденных скалярно заряженных фермионов с асимметричным Хиггсовым взаимодействием. II. ВКБ-приближение | Известия вузов. Физика. 2022. № 9. DOI: 10.17223/00213411/65/9/78

Гравитационно-скалярная неустойчивость космологической модели на основе двухкомпонентной системы вырожденных скалярно заряженных фермионов с асимметричным Хиггсовым взаимодействием. II. ВКБ-приближение | Известия вузов. Физика. 2022. № 9. DOI: 10.17223/00213411/65/9/78