Динамика спинирующих частиц в вихревом гравитационном поле
Рассматриваются эффекты взаимодействия спинирующих частиц, т.е. обладающих собственным моментом импульса (спином), описываемых уравнением Дирака, с вихревым гравитационным полем. Показано, что взаимодействие дираковских массивных частиц с вихревым гравитационным полем индуцирует эффект прецессии их спина вокруг оси вращения вихревого гравитационного поля. В случае безмассовых частиц их спин устанавливается вдоль оси вращения, оставаясь постоянным, т.е. спин дираковских безмассовых частиц указывает направление оси вращения вихревого гравитационного поля.
Dynamics of spinning particles in a vortex gravitational field.pdf Рассматриваются специфические аспекты динамики спинирующих, т.е. обладающих собственным моментом импульса, частиц, описываемых уравнением Дирака, в однородном стационарном пространстве-времени при наличии вихревого гравитационного поля. Ранее в работах [1, 2] мы исследовали самогравитирующее спинорное поле, здесь мы рассматриваем спинорную частицу во внешнем гравитационном поле. Динамика спинорного поля, описываемая уравнением Дирака, в пространствах различных типов исследовалась многими авторами. Эта задача является актуальной по настоящее время [3-11]. Вихревое гравитационное поле, представляющее собой вихревую составляющую полного гравитационного поля, математически описывается 4-мерным ротором поля тетрад [12-14] . (1) Здесь аксиальный 4-вектор представляет собой угловую скорость вращения касательных тетрадных реперов. Она является кинематической характеристикой вихревого гравитационного поля и определяет его плотность потока момента импульса (спина) : , . (2) Тетрадные коэффициенты в силу ортонормированности векторов тетрады удовлетворяют соотношениям , , , , (3) где - компоненты метрического тензора риманова пространства (базы), в котором действует ОТО; - компоненты метрического тензора касательного пространства Минковского; индексы i, k, l, m, … - мировые тензорные индексы риманова пространства; индексы (a), (b), (c), … - локальные Лоренцевы индексы. Однородное пространство-время, в котором присутствует вихревое гравитационное поле, естественно тоже однородное, проще всего описывается метрикой (в сигнатуре + + + -) [15] . (4) Здесь k - параметр причинности: когда , то через каждую точку этого пространства проходит замкнутая времениподобная линия с возможным нарушением причинности, а когда , то замкнутых времениподобных линий нет и причинность восстанавливается. Эта метрика является минимальным обобщением известной космологической метрики Гёделя [16] для однородной вращающейся стационарной космологической модели . (5) Видно, что в метрике Гёделя параметр причинности , т.е. она является частным случаем нашей метрики (4). Стоит отметить, что кроме предложенной нами метрики [15] имеются и другие модификации метрики Гёделя [17-21]. В метрике Гёделя может нарушаться причинность, и это приводит к различным парадоксам [22-24]. Наша метрика (4) также соответствует однородной стационарной вращающейся космологической модели, но в которой может не нарушаться причинность, так как при нет замкнутых времениподобных линий, но при такие линии существуют. Мы проиллюстрируем такую ситуацию на примере времениподобных геодезических, полученных путем компьютерного моделирования. На рис. 1 представлены мировые линии частиц (времениподобные геодезические) в пространстве вращающейся космологической модели с двумя определяющими параметрами (λ, k). Видно, что при ( ) мировые линии частиц замкнуты, а при ( ) мировые линии незамкнуты и имеют спиралеобразную форму с шагом спиралей вдоль оси времени, и само движение происходит при возрастании времени. Рис. 1. Мировые линии частицы в декартовых координатах x и y (ось времени вертикальна) Здесь мы используем сопутствующую наблюдателю систему отсчета с единичным направляющим времениподобным вектором, задающим систему отсчета , , . (6) Он же является времениподобным вектором тетрадного репера : . Далее по формуле (1) с использованием (6) находим угловую скорость вращения вихревого гравитационного поля - она же угловая скорость вращения космологической модели, соответствующей метрике (4): , (7) и модуль вектора : . Мы видим, что вектор направлен вдоль третьей координатной оси, т.е. вдоль оси OZ. Как сказано выше, пробную спинирующую частицу, движущуюся в пространстве-времени однородной космологической модели (4), будем описывать спинорным уравнением Дирака и рассматривать в сопутствующей системе отсчета. Поэтому ее скорость, нормированная на единицу, будет совпадать с (6). Общековариантное уравнение Дирака в римановом пространстве имеет вид , . (8) Здесь - дираковская спинорная функция (биспинор); - дираковски сопряженная спинорная функция; - матрицы Дирака риманова пространства, удовлетворяющие условию фундаментальной связи пространства и спина, , (9) где - компоненты метрического тензора, а I - единичная матрица. С помощью тетрадного формализма матрицы Дирака риманова пространства можно определить формулами , . (10) Здесь - тетрадные коэффициенты; - матрицы Дирака пространства Минковского, удовлетворяющие условию , (11) где - компоненты метрического тензора пространства Минковского. Легко показать, что с учетом соотношений (3) для тетрадных коэффициентов условие (9) для матриц Дирака в (10) выполняется тождественно. Зная метрические коэффициенты в метрике (4), по формулам (10) находим матрицы Дирака в пространстве-времени (4): , , , , , , . (12) Далее, в уравнении Дирака (8) и есть ковариантные производные спинорных функций и , которые с использованием обычных постулативных условий на ковариантное дифференцирование, таких как линейность, действительность, ковариантность, выполнение правила Ньютона - Лейбница и др., можно записать в виде [3] , . (13) Здесь - коэффициенты спинорной связности аффинно-метрического пространства, которые с использованием тетрадного формализма вычисляются по формуле [25, 26] , (14) где - коэффициенты связности аффинно-метрического пространства. В частном случае риманова пространства коэффициенты связности превращаются в символы Кристофеля . Теперь используя выражения (12) для матриц , по формуле (14) вычисляем коэффициенты спинорной связности в пространстве-времени с метрикой (4): , , , . (15) Считаем, что спинорная функция для спинирующей частицы зависит только от времени t и не зависит от пространственных координат (x, y, z), поскольку рассматриваемая частица находится в однородном пространстве-времени, т.е. . Учитывая это и используя формулы (12) и (15) для матриц и , уравнение Дирака (8) для спинорных функций и запишем в виде , (16) . (17) Здесь матрица Дирака ; . 4-скорость спинорной частицы выражается через ее спинорную функцию следующим образом [27]: , (18) где - плотность спинорного тока. Поскольку имеет место спинорное тождество [27] в сигнатуре (+ + + -) , (19) то получается, что для спинирующей частицы, описываемой уравнением Дирака, справедливо равенство , (20) т.е. 4-скорость нормирована на единицу. Но поскольку используется сопутствующая система отсчета, то , , (21) поэтому , . (22) Плотность потока момента импульса (спина) спинирующей частицы описывается аксиальным вектором . (23) При этом справедливы еще следующие спинорные тождества (в сигнатуре + + + -) [27] , , (24) т.е. плотность потока момента импульса и плотность тока дираковского спинорного поля ортогональны, а сами векторы и времениподобны и пространственноподобны соответственно. Далее путем образования различных линейных комбинаций уравнений (16) и (17) для спинора и сопряженного спинора между собой получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для аксиального вектора , т.е. для вектора плотности потока импульса спинорного поля: (25) Из первого уравнения системы (25) сразу следует, что , т.е. проекция вектора спина на ось вращения OZ постоянна, а значит, не меняется со временем. Далее, поскольку векторы и тождественно ортогональны (см. (24)), и используется сопутствующая система отсчета, в которой, в соответствии с (22) , а , то получается, что для выполнения (24) необходимо, чтобы , т.е. временная компонента пространственноподобного вектора спина равна нулю. В результате система уравнений (25) редуцируется к следующей системе уравнений: (26) Видно, что при первые три уравнения системы (26) есть уравнения прецессии для вектора спина , (27) а прецессия происходит вокруг оси вращения OZ. Кроме того, отдельного рассмотрения требует случай, когда , т.е. когда спинирующая частица является безмассовой , так как при этом из уравнений 3) и 4) системы (26) следует, что , но так как коэффициент , то , и поэтому , отсюда с учетом уравнения 2) системы (26) и . Таким образом, в результате получается, что , , , а , (28) где S - модуль вектора спина дираковской частицы. То есть аксиальный вектор спина безмассовой частицы в любой точке всегда направлен вдоль оси вращения OZ и не меняет своего направления. Но тогда и , первые три уравнения в (26), как указывалось выше, будут описывать процесс прецессии вектора вокруг оси OZ, их можно записать следующим образом: , , , (29) так что каждая из проекций и будет описываться одинаковым дифференциальным уравнением , , , , . (30) Здесь - угловая скорость прецессии. Но поскольку , то , (31) а при сравнении с угловой скоростью вращения ω данной космологической модели из (30) для угловой скорости прецессии имеем , (32) т.е. более чем в превосходит . С целью большей наглядности представления здесь процесса прецессии вектора спина дираковской массивной частицы будем численные значения величины его модуля и его проекций , , отображать в нужном масштабе на элементы длины, а начальное положение вектора совместим с осью OX плоскости (XOY), так что начальная координата конца этого вектора равна численному значению модуля вектора : . При этом начальное значение будет равно нулю, и в силу уравнений 1) системы (26) и уравнений (29) равенство будет все время выполняться, т.е. прецессионное вращение вектора всегда будет происходить в плоскости (XOY) вокруг точки O, как часовая стрелка на циферблате часов. А уравнения прецессии (30) с учетом сказанного можно записать в виде , . (33) Это есть уравнения свободных гармонических колебаний для точек x и y. Их общее решение имеет вид , , (34) при начальных условиях: , , , . (35) Здесь и - координаты концов вектора , совершающего прецессионное вращение вокруг начала координат. С учетом начальных условий (35) решение уравнений прецессии (33) окончательно будет иметь вид , . (36) Отсюда получаем уравнение кривой, которую описывает конец вектора : . (37) Это есть уравнение эллипса, т.е. имеем эллиптическую прецессию вектора . Такое явление происходит, как уже указывалось, когда параметр причинности . Другая ситуация при (при этом обязательно). Три уравнения прецессии в (26) тогда можно записать в виде , , , , , . (38) Получившиеся уравнения уже не будут являться уравнениями обычной прецессии, как в предыдущем случае, когда , так как получающиеся из (38) дифференциальные уравнения для каждой из компонент и уже не будут уравнениями свободных гармонических колебаний типа (33), а будут уравнениями, определяющими гиперболические функции, как показано ниже. Для более наглядного представления свойств движения дираковской частицы, описываемой уравнениями (38) (когда ), мы, как и в предыдущем случае, будем рассматривать движение в плоскости (XOY), перпендикулярной оси космологического вращения OZ, когда сохраняющаяся во времени компонента , а в начальном положении вектор спина будет располагаться вдоль оси OX, начиная от точки O до конца вектора в точке , так что , и при дальнейшем движении конец вектора будет определяться координатами и , определяемыми уравнениями (38), записанными в форме , , . (39) Из системы уравнений (39) для каждой функции и получаем одинаковые дифференциальные уравнения , , , (40) при следующих начальных условиях: , , , . (41) Решениями этих двух уравнений при начальных условиях (41) будут гиперболические функции: , . (42) Такое движение можно назвать гиперболическим движением. Траекторией конца вектора будет являться гипербола . (43) Подводя итог проведенных исследований о характере движения дираковской спинорной частицы в однородном пространстве с вихревым гравитационным полем, можно сделать следующие выводы. 1) Пространственноподобный вектор спина спинирующей частицы не имеет временной составляющей, т.е. всецело принадлежит трехмерному пространству и описывается 3-вектором ( , , ). 2) У безмассовой частицы спин не изменяется со временем и все время остается направленным вдоль оси вращения вихревого гравитационного поля. 3) Характер изменения вектора спина со временем существенно зависит от знака параметра причинности k, входящего в метрику (4) однородного пространства-времени с вихревым гравитационным полем. a) При , когда отсутствуют времениподобные замкнутые линии, и наличествует причинная структура пространства-времени, вектор прецессирует вокруг оси вращения, причем конец вектора описывает в плоскости (XOY), перпендикулярной оси вращения, эллипс, т.е. имеет место эллиптическая прецессия вектора . б) При , когда через каждую точку пространства-времени проходит замкнутая времениподобная линия и причинность может нарушаться, обычная прецессия не имеет места, а конец вектора в плоскости XOY описывает гиперболу, т.е. совершает гиперболическое движение. Однако при всех допустимых значениях параметра причинности ( ) проекция вектора спина на ось вращения остается постоянной.
Ключевые слова
уравнение Дирака,
спин,
вихревое гравитационное поле,
прецессияАвторы
Кречет Владимир Георгиевич | Московский государственный технологический университет «СТАНКИН» | д.ф.-м.н., профессор, профессор кафедры физики МГТУ «СТАНКИН» | |
Ошурко Вадим Борисович | Московский государственный технологический университет «СТАНКИН»; Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН | д.ф.-м.н., доцент, зав. кафедрой физики МГТУ «СТАНКИН», ведущ. науч. сотр. ИОФ РАН | vbo08@yandex.ru |
Киссер Алексей Эдуардович | Московский государственный технологический университет «СТАНКИН» | к.ф.-м.н., доцент кафедры физики МГТУ «СТАНКИН» | al.baidin@yandex.ru |
Всего: 3
Ссылки
Кречет В.Г., Ошурко В.Б., Байдин А.Э. // Изв. вузов. Физика. - 2021. - T. 64. - № 5. - C. 129-135.
Кречет В.Г., Ошурко В.Б., Байдин А.Э. // Изв. вузов. Физика. - 2021. - T. 64. - № 9. - C. 149-156.
Brill D.R., Wheeler J.A. // Rev. Mod. Phys. - 1957. - V. 29. - Iss. 3. - P. 465-479.
Багров В.Г., Бухбиндер И.Л., Шапиро И.Л. // Изв. вузов. Физика. - 1992. - Т. 35. - № 3. - С. 5-12.
Багров В.Г., Обухов В.В., Сахаров А.Г. // Изв. вузов. Физика. - 1997. - Т. 40. - № 2. - С. 3-9.
Obukhov Yu.N., Silenko A.J., Teryaev O.V. // Phys. Rev. D. - 2011. - V. 84. - Iss. 2. - id. 024025.
Obukhov Yu.N., Silenko A.J., Teryaev O.V. // Phys. Rev. D. - 2014. - V. 90. - Iss. 12. - id. 124068.
Balakin A.B., Popov V.A. //j. Cosmol. Astropart. Phys. - 2017. - Iss. 04. - id. 025.
Bronnikov K.A., Rybakov Yu.P., Saha B. // Eur. Phys. J. Plus. - 2020. - V. 135. - Iss. 1. - id.124.
Saha B. // Universe. - 2020. - V. 6. - Iss. 9. - P. 152.
Dzhunushaliev V., Folomeev V. // Int. J. Mod. Phys. D. - 2020. - V. 29. - Iss. 13. - id. 2050094.
Кречет В.Г. // Изв. вузов. Физика. - 2007. - Т. 50. - № 10. - С. 57-60.
Krechet V.G., Sadovnikov D.V. // Grav. and Cosmol. - 2009. - V. 15. - Iss. 4. - P. 337-340.
Bronnikov K.A., Krechet V.G., Lemos J.P.S. // Phys. Rev. D. - 2013. - V. 87. - Iss. 8. - P. 084060.
Иваненко Д.Д., Кречет В.Г. // Изв. вузов. Физика. - 1987. - Т. 30. - № 3. - С. 12-16.
Gödel K. // Rev. Mod. Phys. - 1949. - V. 21. - Iss. 3. - P. 447-450.
Teixeira A.F.F., Rebouças M.J., Åman J.E. // Phys. Rev. D. - 1985. - V. 32. - Iss. 12. - P. 3309-3311.
Панов В.Ф. // Изв. вузов. Физика. - 1990. - Т. 33. - № 1. - С. 62-66.
Obukhov Yu.N., Vargas T. // Phys. Lett. A. - 2004. - V. 327. - Iss. 5-6. - P. 365-373.
Salti M., Korunur M., Açıkgöz İ. // Cent. Eur. J. Phys. - 2013. - V. 11. - Iss. 7. - P. 961-967.
Kangal E.E., Salti M., Aydogdu O., Sogut K. // Phys. Scr. - 2021. - V. 96. - Iss. 9. - id. 095301.
Ulhoa S.C., Santos A.F., Amorim R.G.G. // Gen. Rel. Grav. - 2015. - V. 47. - id. 99.
Agudelo J.A., Nascimento J.R., Petrov A.Yu., et al. // Phys. Lett. B. - 2016. - V. 762. - P. 96-101.
Luminet J.-P. // Universe. - 2021. - V. 7. - Iss. 1. - P. 12.
Rodichev V.I. // JETP. - 1961. - V. 13. - Iss. 5 - P. 1029-1031.
Кречет В.Г. // Изв. вузов. Физика. - 1986. - Т. 29. - № 10. - С. 20-25.
Желнорович В.А. Теория спиноров и ее применение в физике и механике. - М.: Наука, 1982. - 272 с.