Отражение плазменной волны от потенциального барьера, размер которого соизмерим с длиной волны | Известия вузов. Физика. 2022. № 9. DOI: 10.17223/00213411/65/9/131

Отражение плазменной волны от потенциального барьера, размер которого соизмерим с длиной волны

Рассматривается отражение плазменной волны от потенциального барьера, размер которого соизмерим с длиной волны. Так как потенциал барьера значительно больше потенциала волны, то в области этого барьера плазменные колебания существовать не могут. Сохраняется лишь модуляция по плотности в пучках электронов с разными энергиями, которые движутся в потенциальном поле барьера. Отраженная волна формируется в результате интерференции промодулированных пучков, отраженных от потенциального барьера. Отражение волны анализируется на двух конкретных примерах: отражение от линейного и параболического барьеров. Показано, что если отражение происходит за время, меньшее времени релаксации, то независимо от профиля барьера коэффициент отражения равен единице. Найдено запаздывание по фазе отраженной волны относительно фазы падающей волны.

Reflection of a plasma wave from a potential barrier, the size of which is commensurate with the wavelength.pdf Введение В литературе [1-3] плазменные колебания, как правило, рассматривались в неограниченной плазме. Однако при решении практических задач необходимо учитывать, что объем, в котором происходят колебания плазмы, должен быть ограничен. Поэтому развитие теории плазменных колебаний в ограниченном пространстве представляет большой интерес для использования этих колебаний в технических приложениях. Основной проблемой при рассмотрении плазменных колебаний в ограниченном объеме является описание отражения этих колебаний от границы плазмы. Важная роль отражения колебаний от границы плазмы обусловлена тем, что затухание плазменных колебаний в ограниченном объеме зависит от потери энергии в процессе этого отражения. Если потери энергии плазменных колебаний из-за столкновений электронов с заряженными частицами плазмы на расстоянии, соизмеримом с размером ограниченного объема, очень малы, то плазму можно считать бесстолкновительной. Затухание волны в такой плазме будет определяться ее коэффициентом отражения от границы. В [4] показано, что плазменная волна полностью отражается от плоской границы плазмы, которая удерживается в полупространстве ступенчатым потенциальным барьером. С другой стороны, если волна распространяется в слабо неоднородной плазме, плотность которой плавно уменьшается до нуля, то отражения волны не происходит, она полностью затухает [2, 5]. Возникает вопрос, каким будет отражение плазменной волны от потенциального барьера, в пределах которого на расстоянии, соизмеримом с длиной волны, происходит быстрое уменьшение плотности плазмы? Возможно, в этом случае, как и в случае скачкообразного уменьшения плотности плазмы, волна будет полностью отражаться от границы. 1. Плазменная волна перед потенциальным барьером Рассмотрим поведение плазменной волны с потенциалом , , (1) где фаза волны, набегающей на потенциальный барьер, ширина которого соизмерима с длиной волны или меньше ее. Потенциальный барьер в плазме возникает под действием потенциальных сил статических электрических или магнитных полей. Предполагаем, что в области потенциальная энергия внешнего поля не меняется с увеличением z, а в области эта потенциальная энергия монотонно растет, достигая максимума на расстоянии, соизмеримом с длиной волны. Необходимо выяснить, каким будет коэффициент отражения волны от такого потенциального барьера. Задача об отражении плазменной волны от плоской границы плазмы, где ее плотность уменьшается скачкообразно до нуля, рассматривалась [4] в следующей постановке. Плазма удерживается внешним полем, в котором потенциальная энергия электрона где ее максимальное значение, скачком меняется на границе. Волна , набегает на границу полупространства, заполненного плазмой. Показано, что в случае зеркального отражения электронов , где возмущение функции распределения электронов полем волны, продольная скорость электрона, от ступенчатого потенциального барьера на границе плазмы волна в процессе отражения не теряет энергии. То есть коэффициент отражения плазменных колебаний от потенциального барьера равен единице. Найдем ток плазменной волны, набегающей на потенциальный барьер. Распределение электронов в области перед потенциальным барьером является максвелловским , (2) здесь и далее температура Т дана в энергетических единицах, и функция нормирована на единицу. С помощью этой функции распределения ток плазменных колебаний перед барьером запишем в виде [2, 3] , (3) где N0 - плотность плазмы в области ; , - функции распределения опережающих и отстающих электронов; максимальное значение потенциала ; w полная энергия электрона в системе отсчета, связанной с волной. В однородной плазме перед барьером , поэтому u можно вынести за знак интеграла. Вычислив (3), в линейном приближении по полю найдем , (4) где плазменная частота. Из уравнений Власова - Максвелла и (4) следует линейное уравнение дисперсии [2, 6] для плазменной волны: , где интеграл вычисляется в смысле главного значения. 2. Эволюция волнового возмущения пучков электронов с одинаковой энергией в области потенциального барьера Потенциальный барьер, с помощью которого удерживается плазма, изображен на рис. 1, где L, Um ширина и высота барьера, 1 падающая волна, 2 отраженная волна. Перед потенциальным барьером у электронов с разными энергиями W колебания происходят когерентно, в одной фазе. Внутри области неоднородности это коллективное взаимодействие исчезает, так как в этой области высота потенциального барьера на расстоянии, соизмеримом с длиной волны, значительно больше потенциала волны. Тем не менее модуляция плотности электронов, существующая в каждом пучке с энергией W в области , по инерции сохраняется и в области , по крайней мере, в течение времени, меньшего времени релаксации , плазменная частота. В области потенциального барьера возмущение плотности переносится пучком. Такая волна называется конвективной [7], так как она движется со скоростью пучка. Возмущение, переносимое пучком, также называют сносовыми колебаниями. Скорости пучков с разными энергиями в области барьера неодинаковы, поэтому конвективные волны в этих пучках не когерентны. Плазменная волна в области потенциального барьера разрушается, вместо нее необходимо следить за эволюцией промодулированных пучков в отдельности. Пучки электронов с одинаковыми энергиями W в поле потенциального барьера замедляются, и в момент, когда их энергия становится равной потенциальной энергии барьера , они отражаются вместе с переносимыми ими возмущениями от стенки барьера. На выходе из области неоднородности происходит интерференция конвективных волн плотности в отраженных пучках, в результате чего в однородной плазме формируется отраженная волна. Рис. 1. Потенциальный барьер В поле потенциального барьера концентрация электронов изменяется по закону Больцмана , (5) где . Если плазма низкотемпературная, то в случае распределения Максвелла - Больцмана основная масса электронов с энергией в лабораторной системе отсчета практически сразу отражается от потенциального барьера и покидает область неоднородности, сохранив модуляцию по плотности. Именно эта часть электронов оказывает основное влияние на формирование отраженной плазменной волны. Будем считать, что все электроны являются пролетными. При зеркальном отражении от потенциального барьера импульс электрона меняет свое направление на противоположное , где импульс электрона до и после отражения от потенциального барьера. Поэтому фаза колебаний электронов c энергией после отражения от потенциального барьера совпадает с фазой этих колебаний перед отражением от барьера. Так как расстояние до точки отражения мало, то запаздывание фазы отраженной волны относительно фазы падающей волны также мало. Полная энергия для отдельного электрона (6) в лабораторной системе отсчета при его отражении от барьера сохраняется, поэтому энергия, полученная суммированием (6) для всех электронов c энергией также сохраняется. Это означает, что потери энергии волны в процессе отражения не происходит. Таким образом, в случае низкотемпературной плазмы в гидродинамическом приближении можно утверждать, что плазменная волна отражается от потенциального барьера практически без потери энергии. Наша задача выяснить, как оставшиеся электроны с энергией влияют на отражение волны. При конечной ширине потенциального барьера необходимо описать поведение модуляции по плотности пучков электронов, глубина проникновения которых в область потенциального барьера соизмерима с длиной волны. Модуляция плотности в электронном пучке после его отражения не успевает разрушиться, если максимальное время возврата пучка к плоскости меньше времени релаксации , . Максимальное время движения в поле барьера , где , у электронов с наибольшей энергией, равной (рис. 1). Тогда условие запишем в виде , (7) где , длина волны и фазовая скорость u взяты при , . Полагая, что максимальный потенциал барьера равен 100 В, , установим, что модуляция по плотности во всех пучках, отраженных от потенциального барьера, сохраняется, если для фазовой скорости волны выполняется ограничение м/с. Ограничение (7) имеет простой физический смысл: модуляция по скорости в отраженном пучке сохраняется при его отражении от барьера конечной ширины порядка длины волны, если фазовая скорость волны меньше максимальной скорости электронов, которые отражаются от потенциального барьера. С уменьшением ширины потенциального барьера L интервал фазовых скоростей, в пределах которого модуляция в пучке сохраняется, будет расширяться. В случае L = 0 (ступенчатый потенциальный барьер) отражение без потери энергии происходит для всех плазменных волн [4]. Из (7) следует ограничение на ширину барьера . Так как максимальная скорость определяется высотой барьера , то из этого ограничения видно, что с ростом высоты барьера его ширина L, в которой модуляция по плотности в электронных пучках сохраняется, увеличивается. С уменьшением фазовой скорости ширина барьера также увеличивается. Однако нужно учитывать, что при фазовых скоростях волна быстро затухает, поэтому для ширины барьера существует ограничение . Тем не менее для низкотемпературной плазмы ширина барьера может быть больше длины волны. Ранее отмечалось, что в области потенциального барьера плазменная волна распадается на множество сносовых колебаний, которые переносятся пучками электронов одинаковой энергии. Найдем ток сносовых колебаний в области . Выделим перед барьером отдельно пучок электронов cо скоростью . Его плотность, согласно (2), в плоскости равна , (8) Выделив в (4) пучок электронов с одинаковой скоростью , подставим в ток этих электронов (8), в результате получим ток возмущения плотности этого пучка в плоскости : , (9) где , . Для большинства электронов плазмы , поэтому в (9) можно пренебречь . В области плотность рассматриваемого пучка и его скорость изменяются. Из уравнения непрерывности для плотности заряда пучка в стационарном случае следует, что поток плотности заряда сохраняется . (10) Так как возмущение тока (9) в области распространяется со скоростью пучка , то ток этого возмущения с учетом запаздывания по времени [8], принимая во внимание (10), запишем в виде , (11) где . Из (10) следует, что амплитуда тока (11) до отражения не меняется. Так как импульс электронов при зеркальном отражении меняет свое направление на противоположное, оставаясь неизменным по модулю, то амплитуда тока сносовых колебаний пучка после отражения равна его амплитуде сносовых колебаний до отражения. Согласно (10), после отражения амплитуда тока сносовых колебаний также, как и до отражения, не меняется. То есть амплитуда тока конвективной волны в отраженном пучке электронов в плоскости будет равна амплитуде тока (11). Только в (11) перед нужно поставить знак ( ), потому что волна после отражения распространяется в обратном направлении. Кроме этого, у фазы волны появится запаздывание. Отметим также, что пространственный период конвективной волны в области барьера, согласно формуле , меняется. До отражения длина волны с уменьшением скорости пучка уменьшается. После отражения от потенциального барьера скорость пучка увеличивается, а вместе с ней увеличивается и пространственный период. После отражения пространственный период конвективной волны в плоскости возвращается к прежнему значению. Очевидно, что если время, за которое происходит отражение, меньше времени релаксации, то эволюция сносовых колебаний плотности пучков в процессе отражения от барьера полностью обратима: амплитуда тока этих колебаний в плоскости после отражения равна амплитуде тока сносовых колебаний до отражения (11). Пространственный период волны после отражения совпадает с ее пространственным периодом до отражения. 3. Запаздывание по фазе отраженной конвективной волны в пучке электронов Рассмотрим отражение плазменной волны от потенциального барьера в случае, когда тепловая энергия электронов много меньше максимальной энергии барьера . (12) На рис. 1 видно, что электроны пучка с большей энергией W проходят больший путь, вследствие этого у волнового возмущения каждого пучка появляется запаздывание по фазе. Для вычисления этого запаздывания выберем у пучка точку постоянной фазы. Выбранная точка движется со скоростью пучка. Время запаздывания, за которое точка постоянной фазы отразится от барьера и вернется в плоскость , равно , (13) где координата, в которой подкоренное выражение обращается в нуль. Подставив это запаздывание по фазе в (11) и учитывая, что в плоскости скорость пучка равна его начальной скорости , для тока сносовых колебаний этого пучка в плоскости после отражения имеем , (14) где . Знак ( ) перед показывает, что сносовые колебания после отражения распространяются в обратном направлении. Обозначив в (14) и полагая для удобства функцию четной, последний ток запишем в виде , где . Суммируя токи всех пучков и учитывая, что , аналогично (4) найдем полный ток отраженных сносовых колебаний в плоскости : . (15) Если учесть, что в знаменателе (4) под знаком интеграла для большинства электронов , то после сравнения амплитуд токов падающей волны (4) и отраженной волны (15) в плоскости видно, что они отличаются друг от друга только сдвигом по фазе . Ранее для тока (11) конвективной волны в пучке электронов показано, что амплитуды токов падающей и отраженной конвективных волн в плоскости равны. Поэтому амплитуда суммарного тока (15) после отражения в плоскости равна амплитуде тока падающей волны (4), что подтверждается сравнением (4) и (15). Отметим, что этот вывод имеет место для любого профиля барьера, последний влияет лишь на запаздывание фазы отраженной волны. Вычислим запаздывание фазы отраженной волны относительно фазы падающей волны. Ограничимся здесь двумя наиболее характерными потенциальными барьерами: линейным и параболическим. В случае линейного роста потенциальной энергии , где b - постоянный коэффициент, после вычисления (13), полагая , установим, что запаздывание по фазе растет линейно с увеличением скорости пучка: , (16) где . В случае параболического барьера запаздывание по фазе для всех пучков равной энергии одинаково: . (17) Для рассматриваемых потенциальных барьеров модуляция в пучке не успевает разрушиться, если максимальное время запаздывания меньше времени релаксации . Это условие для линейного и параболического барьеров с точностью до коэффициентов совпадает с (7). Вычислим суммарный ток отраженных сносовых колебаний. Выделив первую гармонику в потенциале падающей волны и подставив (16) в (15), с учетом (2) получим . (18) При вычислении (18) воспользуемся неравенством , (19) где . В результате получим , (20) где определяется из уравнений , . (21) Подставив во второе уравнение и учитывая (19), для малого найдем . (22) Потенциал отраженной волны, возбуждаемый током (20) в плазме, имеет вид . (23) Так как амплитуда тока этой волны равна амплитуде тока падающей волны, то амплитуды потенциалов падающей и отраженной от барьера волн одинаковы. Запаздывание по фазе отраженной волны (23) получено в приближении (12), поэтому из (19) видно, что оно мало . Таким образом, в случае низкотемпературной плазмы (12) коэффициент отражения плазменной волны от линейного барьера равен единице, у потенциала отраженной волны появляется лишь малое запаздывание по фазе относительно фазы падающей волны, равное . Этот вывод имеет смысл, если время, в процессе которого происходит отражение, не превышает времени релаксации. Рассмотрим отражение волны от параболического барьера. Ранее отмечалось, что запаздывание по фазе отраженных сносовых колебаний в пучках с разными энергиями в поле параболического барьера одинаково (17). Поэтому запаздывание по фазе отраженной волны совпадает с запаздыванием (17). При вычислении тока (18) в рассматриваемом случае можно сразу вынести потенциал за знак интеграла, положив . Полагая в (17) , для запаздывания по фазе отраженной волны относительно фазы падающей волны в случае параболического барьера найдем . (24) Принимая во внимание ограничение (7), найдем наибольший сдвиг по фазе . Из анализа (22), (24) видно, что запаздывание фазы отраженной волны в случае линейного и параболического барьеров пропорционально относительной ширине барьера , фазовой скорости волны и обратно пропорционально высоте барьера так как скорость определяется высотой барьера. В случае линейного потенциального барьера, запаздывание по фазе отраженной волны найдено приближенно, когда плазма является низкотемпературной. Оно, согласно (22), с ростом температуры увеличивается. В случае параболического барьера запаздывание по фазе отраженных сносовых колебаний в пучках с разными энергиями одинаково, что позволяет вычислить запаздывание фазы отраженной плазменной волны точно. Для параболического барьера запаздывание по фазе (24) не зависит от температуры и становится конечным, если ширина барьера конечна, а фазовая скорость соизмерима с максимальной скоростью отраженных электронов. Так как максимальная скорость определяется высотой барьера, то с увеличением высоты барьера запаздывание по фазе растет медленнее как для линейного, так и для параболического барьера. Таким образом, отражение плазменной волны от потенциального барьера происходит без потери энергии независимо от профиля этого барьера, если максимальное время нахождения сносовых колебаний в пределах барьера меньше времени релаксации. 4. Анализ фазового запаздывания отраженной волны в случае линейного потенциального барьера Запаздывание по фазе отраженной волны в случае хотя и найдено ранее (22), однако анализ проведен при условии (12) только для малого запаздывания по фазе. Условие (12) эквивалентно неравенству . Выясним, как ведет себя это запаздывание в случае , . Для этого проанализируем графики функции (25) при различных значениях тепловой и фазовой скоростей. Рассмотрим сначала изменение запаздывания с увеличением ширины барьера, . На рис. 2 изображены графики для функции (25) в случае , или, что эквивалентно , VT = Vm (кривая 1); кривая 2 дана для функции (25) при , , либо VT = Vm , , и кривая 3 приводится для . В последнем случае наблюдается самая сильная нелинейность. Рис. 2. Зависимость фазового запаздывания от приведенной ширины барьера Рис. 3. Зависимость фазового запаздывания от приведенной температуры Анализ графиков показывает, что с ростом ширины барьера зависимость запаздывания остается линейной вплоть до тепловой скорости (кривые 1, 2). И только при предельных значениях тепловой и фазовой скоростей , , зависимость запаздывания по фазе становится нелинейной. Увеличение запаздывания по фазе в этом случае происходит быстрее, однако уже при этот рост прекращается, кривая 3 зависимости выходит на плато, а фазовый сдвиг не превышает значения . Проанализируем зависимость запаздывания по фазе от температуры . На рис. 3 даны графики этой зависимости, по горизонтальной оси откладывается температура , приведенная к максимальной кинетической энергии электронов, движение которых ограничено барьером. Нелинейность проявляется больше всего, когда , для этого случая приводятся кривые 1, 2, 3, соответствующие значениям , , . Как видно из графиков (рис. 3), увеличение фазового запаздывания при малой ширине барьера (кривые 1, 2) происходит плавно. Очень крутой рост наблюдается, когда ширина барьера сравнима с длиной волны. В этом случае при температурах у кривой 3 рост прекращается, и фазовый сдвиг стремится к величине . Из полученных результатов следует общая закономерность: чем больше тепловая и фазовая скорости, тем быстрее растет запаздывание по фазе с увеличением ширины барьера (см. рис. 2). С другой стороны, для уменьшения запаздывания по фазе нужно увеличивать максимальную потенциальную энергию барьера так, чтобы выполнялось неравенство (12). Заключение Изучение колебаний плазмы в ограниченном объеме имеет большую практическую значимость. Такие исследования проводят в экспериментах с плазменными колебаниями в магнитных ловушках открытого типа (пробкотронах) [9, 10], в плазменных волноводах, при рассмотрении отражения радиоволн от плазмы. Однако строгий анализ отражения плазменных колебаний в полуограниченном объеме рассматривался лишь в частных случаях, когда не было нелинейных эффектов [4, 11]. Для практического применения колебаний плазмы в ограниченном объеме необходимо точно описать механизм отражения плазменных колебаний от границы объема, чтобы выяснить величину коэффициента отражения от этой границы. Здесь описано отражение плазменных колебаний от потенциального барьера, ширина которого соизмерима с длиной волны. Плазменная волна сначала распространяется в области, где плотность плазмы не меняется, затем набегает на потенциальный барьер, высота которого значительно больше потенциала волны. Показано, что главной особенностью в процессе отражения волны от потенциального барьера является интерференция отраженных, промодулированных по плотности пучков электронов с разной энергией. Дело в том, что плазменные колебания - это коллективный колебательный процесс, когда все электроны плазмы колеблются с одной частотой, определяемой концентрацией плазмы. В области потенциального барьера, где изменение потенциала барьера значительно больше потенциала волны, коллективное взаимодействие исчезает, плазменные колебания разрушаются. Тем не менее благодаря инерции в каждом пучке электронов с одинаковой энергией модуляция по плотности в области барьера в течение времени, меньшего времени релаксации, сохраняется. Так как такие колебания движутся вместе с пучком с одной скоростью и распространяются с запаздыванием, то их называют конвективными или сносовыми. В области барьера пучки с разной энергией движутся с разными скоростями, поэтому сносовые колебания в разных пучках также распространяются с разными скоростями. Причем пучки электронов с большей энергией в области потенциального барьера проходят больший путь, чем пучки с меньшей энергией. Поэтому фаза сносовых колебаний пучка с большей энергией отстает от фазы сносовых колебаний пучка с меньшей энергией. После отражения от потенциального барьера и возвращения пучков к основанию барьера пучки опять собираются вместе, происходит интерференция конвективных волн, переносимых разными пучками, и формирование отраженной волны. В работе рассмотрены барьеры с линейным и параболическим ростом потенциала. Получено условие , где , сохранения сносовых колебаний пучка в области барьера. Из него следует, что ширина барьера при малых фазовых скоростях может превышать длину волны, однако для ширины барьера существует ограничение . В случае линейного роста потенциала, когда тепловая энергия электронов много меньше максимальной потенциальной энергии барьера , отражение волны происходит без потери энергии и отставание фазы отраженной волны от фазы падающей волны мало . С ростом температуры плазмы запаздывание по фазе отраженной волны остается линейным, если . Однако, если тепловая энергия электронов становится близкой к максимальной потенциальной энергии барьера , то запаздывание по фазе отраженной волны нелинейно. С увеличением ширины барьера это запаздывание сначала растет линейно, затем рост прекращается, и запаздывание не превышает значения . Особо следует выделить случай параболического потенциального барьера. В процессе отражения сносовых колебаний их запаздывание по фазе в пучках с разными энергиями одинаково. Поэтому запаздывание по фазе отраженной волны в рассматриваемом случае не зависит от температуры плазмы. С учетом того, что максимальное время нахождения пучка в области барьера должно быть меньше времени релаксации , максимальный сдвиг по фазе отраженной волны равен . Таким образом, при соблюдении условия сохранения сносовых колебаний в процессе их отражения от потенциального барьера, которое накладывает ограничение на ширину барьера, коэффициент отражения волны равен единице при любом профиле барьера. У отраженной волны появляется лишь сдвиг по фазе относительно фазы падающей волны. Запаздывание по фазе в случае параболического барьера вычислено точно, оно увеличивается, как и в случае линейного барьера, пропорционально ширине барьера и фазовой скорости волны и уменьшается с увеличением высоты барьера, достигая конечных значений. В случае линейного барьера запаздывание по фазе увеличивается также с ростом температуры плазмы. Зависимость сдвига по фазе от ширины барьера при конечных значениях является нелинейной: достигнув максимального значения, сдвиг по фазе становится постоянным. Для уменьшения запаздывания по фазе отраженной волны необходимо увеличивать высоту потенциального барьера, так чтобы его максимальная потенциальная энергия была значительно больше тепловой энергии электронов.

Ключевые слова

плазменные волны, отражение от потенциального барьера, сносовые колебания в пучках электронов, интерференция конвективных волн плотности в отраженных пучках

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Матвеев Александр ИвановичЮжный федеральный университетд.ф.-м.н., доцент, профессор ИРТСУ ЮФУya.matveev.alexandr@yandex.ru
Всего: 1

Ссылки

Чен Ф. Введение в физику плазмы. - М.: Мир, 1987. - С. 93.
Красовский В.Л. // ЖЭТФ. - 1995. - Т. 107. - Вып. 3. - С. 741-764.
Матвеев А.И. // ЖЭТФ. - 2005. - Т. 101. - Вып. 5. - С. 940-961.
Латышев А.В., Юшканов А.А. // ТМФ. - 2007. - Т. 150. - № 3. - С. 498-510.
Матвеев А.И. // Изв. вузов. Физика. - 2010. - Т. 53. - № 4. - С. 40-49.
Франк-Каменецкий Д.А. Лекции по физике плазмы. - М.: Атомиздат, 1964. - 283 с.
Хейес У.Д. // Нелинейные волны: сб. статей. - М.: Мир, 1977. - С. 13.
Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Лекции по сверхвысокочастотной электронике для физиков: в 2 т. Т. 1. - М.: Физматлит, 2003. - С. 56.
Рютов Д.Д. // УФН. -1988. - Т. 154. - Вып. 4. - С. 565-614.
Судников А.В., Беклемишев А.Д., Иванов И.А. и др. // XLVIII Междунар. (Звенигородская) конф. по физике плазмы и УТС, 15-19 марта 2021 г.
Renato A.G. // Phys. Plasmas. - 2020. - V. 2. - P. 112105.
 Отражение плазменной волны от потенциального барьера, размер которого соизмерим с длиной волны | Известия вузов. Физика. 2022. № 9. DOI: 10.17223/00213411/65/9/131

Отражение плазменной волны от потенциального барьера, размер которого соизмерим с длиной волны | Известия вузов. Физика. 2022. № 9. DOI: 10.17223/00213411/65/9/131