Families of parametric information differences in extended para-statistics of non-extensive systems.pdf Введение Статистическая механика и термодинамика неэкстенсивных (неаддитивных) систем находят широкое применение в исследованиях различных аномальных физических процессов [1-4]. Фундаментом являются статистические модели с параметрической энтропией и информацией различия (или относительной информацией), которые зависят от действительного числа и более чисел. Параметр связан с фрактальной размерностью для фрактальных систем [5] и для неэкстенсивных систем характеризует степень неэкстенсивности, проявляющейся в законе композиции в группе мер с квадратичной нелинейностью. Понятия и идеи парастатистики для аддитивных систем, основанной на методе Бозе [6], впервые рассматривались в работе [7]. Полагалось, что число частиц в i-состоянии меняется от 0 до . Были изучены процессы самораспада и самоорганизации систем, поскольку энтропия и информация различия определяют, соответственно, статистические меры разупорядоченности и упорядоченности в микросостояниях системы, абелевы группы мер и другие вопросы. В дальнейшем дается расширение такой традиционной парастатистики, при которой число частиц в i-состоянии находится в произвольном диапазоне изменений от до [8] для расширенной парастатистики неэкстенсивных систем. Представляется необходимым рассмотреть семейства информаций различия на основе общего закона композиции элементов группы с квадратичной нелинейностью для таких систем. 1. Квантовые меры и полунормы Следуя методу квантовых состояний Бозе [6], рассмотрим совокупность частиц с состояниями , где - число состояний в расширенной парастатистике. Система описывается статистикой состояний с и , которая определяет, что в i-состоя¬нии находится число j частиц. В методе Бозе для аддитивных систем имеют место следующие соотношения с нормированным распределением pij [6]: (1) (2) и, соответственно, среднее число частиц в i-состоянии запишется так: . (3) Из определения статистического веса для статистики состояний вытекает логарифмическая мера энтропии Бозе . (4) При переходе от состояния с к состоянию с справедливы равенства , (5) где относится к состоянию с . Для информации различия имеем также логарифмическую меру . (6) Меры (4) и (6) есть квантовые аналоги энтропии Больцмана - Гиббса - Шеннона и информации различия Кульбака. Для замкнутой системы в равновесном состоянии следует среднее число частиц в i-состоянии [8] , (7) где - температура; - энергия частиц в i-состоянии; - химический потенциал. При из (7) вытекает известное выражение в традиционной парастатистике [7] . (8) Если , то из (7) с следует выражение , (9) где второе слагаемое относится к статистике Ферми - Дирака. При имеем из (7) среднее число частиц . (10) Здесь второе слагаемое относится к статистике Бозе - Эйнштейна. Для неэкстенсивных систем справедливы следующие соотношения [8]: (11) и квантовые меры энтропии и информации различия , (12) , (13) которые при совпадают с выражениями для аддитивных систем (1) - (6). Меры в (12) и (13) являются квантовыми аналогами энтропии Хаврда - Чарват - Дароши [9, 10] и информации различия Ратье - Каннаппана [11], впервые полученные в теории информации. Введем среднее взвешенное значение для мер (12) и (13): , (14) (15) в зависимости от полунормы распределения и отношения распределений . (16) Квантовые аналоги энтропии и информации различия Реньи [12] даются выражениями . (17) 2. Общий закон композиции группы информаций различия Для независимых систем полунормы отношений распределения запишем в виде (18) с , , . Для полунормы справедливо свойство мультипликативности , выполняется свойство ассоциативности . Единичным элементом абелевой группы полунорм является . Обратным элементом является . Тогда, используя (18), получим из (15) закон композиции энтропий с квадратичной нелинейностью , (19) где имеем . В общем случае имеет произвольное значение. Рассмотрим простой абстрактный вывод общего закона композиции и запишем для него выражение . (20) Используя условие коммутативности в (20), получим соотношения , (21) накладывающие ограничения на функции. Здесь введены различные параметры и , не зависящие от информации различия. В итоге находим общий закон композиции с квадратичной нелинейностью [13] . (22) Закон композиции имеет свойство ассоциативности , наличие единичного элемента при значении . Единичный элемент соответствует значению . Обратный элемент, вытекающий из равенства , запишется так: (23) Для информаций различия выпишем некоторые равенства (24) где дается определение n-й степени элемента , и при получим квадрат элемента и соответствующие выражения (25) Значение не является элементом группы, так как обратный элемент становится неопределенным. Рассмотрим неэкстенсивную систему со значением информации различия при . Введем антисимметричный элемент группы (26) и к рассмотренным выше равенствам при дополнительно получим соотношения (27) Если , то имеем случай информации различия Реньи [12] и . В итоге из (27) вытекают следующие равенства: . (28) 3. Типы информаций различия Дифференцируем полунормы (18) и с учетом закона композиции (22) получим уравнение , (29) имеющее одинаковый вид для всех независимых систем. Здесь есть произвольная постоянная, которая может зависеть от и . Интегрируя уравнение (29), различаем три типа решений в зависимости от дискриминанта . В итоге имеем три типа мер: гиперболические меры с и двумя вещественными и различными корнями, параболические меры с и двумя вещественными и равными корнями и эллиптические меры с и комплексными корнями. Вначале рассмотрим первый тип с . Тогда разложим на множители с и и, интегрируя (29) при , имеем следующие решения для полунормы и информации различия: . (30) Согласно (22), выполняются формальные равенства и . Примем ( ) и из (22) следует закон композиции (31) для мер, широко используемых в статистической механике неэкстенсивных сиcтем [1-4]. Из (30) вытекает выражение , (32) которое с и совпадает с информацией различия (15). Если и , то получим семейство двухпараметрических информаций различия (33) обобщающее подход Шарма - Миттала [14] для энтропии , подробно рассмотренный в работе [15]. Другое семейство находим при , и (34) которое обобщает подход Ландсберга - Ведрала для энтропии [16]. При меры (33) и (34) совпадают с информацией различия Кульбака (6). Аналогично, если , и , то имеет место информация различия (35) которая обобщает подход Аримото [17] для энтропии . Примем ( ) и при из (22) следует закон композиции . (36) Если и , то из (30) следует семейство двухпараметрических тригонометрических информаций различия (37) и имеет место формальное равенство для инварианта . Далее рассмотрим третий тип с . Решения уравнения (29) при имеют вид (38) Используем равенство с , и из (38) имеем следующие решения для полунормы и информации различия: (39) Примем ( ) и при следует закон композиции . (40) Если и , то из (39) вытекает семейство двухпараметрических тригонометрических информаций различия . (41) При меры (37) и (41) совпадают с информацией различия Реньи [12], которая также вытекает из (29), если . Наконец, не останавливаясь подробно, рассмотрим случай с . Для него закон композиции, полунорма и информация различия имеют следующий вид: (42) где использовались равенства и . Другие семейства информаций различия для всех типов мер не выписываем. Их можно получить из решений уравнения (29) с различными значениями ε, ω и λ. Однопараметрические меры информаций различия вытекают из вышеприведенных формул для двухпараметрических мер. Заключение В работе определена абелева группа квантовых параметрических информаций различия в расширенной парастатистике и дается общий закон композиции мер. Приводятся различные свойства информаций различия и определяются семейства мер, из которых следуют квантовые аналоги известных мер для парастатистики неэкстенсивных систем.

Скачать электронную версию публикации