Entropy of quantum systems with linear dissipation.pdf Введение В настоящее время роль и значение энтропии и информации различных видов непрерывно повышаются при изучении физических процессов в открытых [1] неравновесных классических и особенно квантовых системах [2] (см. также обзор [3], посвященный принципу максимума производства энтропии в неравновесных системах). С другой стороны, развита математическая теория, где на основе композиции информационных энтропийных мер с квадратичной нелинейностью осуществляется теоретико-групповой подход к нахождению мер порядка и беспорядка, зависящих от нескольких параметров для неэкстенсивных систем [4]. Таким образом, готовы почти все компоненты для синтеза квантовой теории и неравновесной термодинамики. Наша теоретическая работа принадлежит к направлению, называемому квантовой термодинамикой [5]. Целью работы является получение квазикинетических уравнений для волновой функции и статистического оператора, зависимых от длины тепловой волны де Бройля, которые описывают неизотермические процессы. Эти уравнения используются для вычисления зависимости энтропии от времени для открытой квантовой системы, в модели квантового гармонического осциллятора с линейной диссипацией [6], описываемой уравнением Линблада [7, 8]. Далее находится зависимость энтропии от температуры для такой же модели в квантовой статистической механике, которая описывается уравнением типа Линблада [9] для статистического оператора, полученного ранее из уравнения Блоха методом многомерного интеграла по траекториям. Квазикинетические уравнения квантовой термодинамики Как известно, длина тепловой волны де Бройля [1] для квантовых газов зависит от температуры . (1.1) Повторим путь Шредингера: от длины тепловой волны де Бройля к волновой функции и далее к волновому уравнению. Принимаем, что координата и температура зависят от времени , тогда для свободной частицы в одномерном случае волновая функция следующая: , (1.2) где тепловая энергия примерно в 2 раза больше классической , где . (1.3) Уравнение Шредингера для свободной частицы имеет вид . (1.4) Найдем все частные производные от тепловой волновой функции (1.2), содержащей координату и температуру, которые теперь зависят от времени: , (1.5) , (1.6) . (1.7) Подставляя производные по координате (1.5) и производную по температуре (1.6) справа в производную по времени (1.7), восстанавливаем модельное уравнение Шредингера для волновой функции тепловой волны . (1.8) Подобное уравнение можно получить и чисто формально через полную производную тепловой волновой функции, учитывая квантовую производную по времени . (1.9) Для трехмерного случая получаем искомое уравнение Шредингера для тепловых волн: , (1.10) c гамильтонианом ), где - оператор Лапласа. Уравнение Неймана для статистического оператора в случае неизотермического процесса принимает вид . (1.11) Для уравнения Линблада для квантовой системы с линейной диссипацией , (1.12) где - оператор диссипации, и - эрмитовые сопряженные диссипативные операторы, [6], (1.13) . (1.14) Это новое уравнение (1.14) типа Линблада для квантовой термодинамики можно назвать квазикинетическим при сравнении с квантовым кинетическим уравнением Больцмана (Улинга - Уленбека) [10] . (1.15) В общем случае с квантовыми производными уравнение Линблада для тепловой волны имеет вид , (1.16) где диссипатор в квантовой статистической механике без коммутаторов запишется так [9], (1.17) и параметр пропорционален обратной температуре: , (1.18) Разделим уравнение (1.16) на временное уравнение Неймана (1.19) и температурное уравнение Блоха для тепловых волн . (1.20) Это температурное уравнение Блоха для тепловых волн (1.20) при нулевой скорости частиц (твердое тело ) принимает вид . (1.21) Рассмотрим частные случаи для уравнения (1.21). 1) При постоянной , и гиперболическом изменении температуры со временем (1.22) уравнение (1.22) имеет формальное решение . (1.23) 2) Для обратной температуры с произвольной временной зависимостью от времени получаем , (1.24) тогда уравнение (1.21) необходимо решать, используя новое уравнение теплопроводности для тепловых волн в твердых телах, где время релаксации - конечное время установления термодинамического равновесия между градиентом температуры и тепловым потоком вследствие передачи теплового (или механического) импульса от частицы к частице твердого тела [11, с. 141]. 3) При постоянной скорости изменения температуры получаем линейный закон изменения температуры , соответствующий . Такой температурный режим широко применяется в методе термического анализа [12]. Уравнение Блоха (1.21) получает тогда дополнительное нелинейное слагаемое в правой части . (1.25) После подстановки уравнение (1.25) принимает вид . (1.26) Его решение следующее: . (1.27) Формальное решение уравнения (1.25) . (1.28) Окончательно решение уравнения (1.25) принимает вид . (1.29) Первая экспонента описывает известный равновесный процесс, а вторая экспонента - это затухание, обусловленное диссипативными операторами, которые обеспечивают канал для процесса перетекания энергии от квантовой системы в термостат. Это другая температурная динамика. Она свидетельствует о неравновесном процессе. Он проявился только в температурном режиме благодаря постоянной скорости изменения температуры. Видно, что при охлаждении с постоянной скоростью неравновесный процесс будет другой, не симметричный нагреву с . В случае термоциклирования, чередования линейного нагрева с линейным охлаждением, при прохождении фазового перехода можно наблюдать явление температурного гистерезиса, например в методе термического анализа [12]. Решение (1.29) уравнения (1.26) для модели квантового гармонического осциллятора с линейной диссипацией требует отдельного рассмотрения. Далее рассмотрим простые, но важные случаи решения уравнений (1.19) и (1.21) и вычисление энтропии для той же модели. Временное уравнение для плотности энтропии квантовой системы Уравнение Линблада для квантового гармонического осциллятора с линейной диссипацией имеет вид [6] . (2.1) Здесь диссипативные операторы взяты в виде операторов импульса и координаты : - гамильтониан , (2.2) - оператор «энергии диссипации» , (2.3) - коммутатор и антикоммутатор . (2.4) Пусть оператор плотности энтропии [8] и его среднее значение . (2.5) Здесь постоянная Больцмана . Возьмем частную производную по времени от выражения (2.5). Считая, что она коммутирует с операцией шпура и шпур коммутаторов в уравнении (2.1) равен нулю, получаем уравнение для плотности энтропии квантовой системы в виде . (2.6) Уравнение энтропии квантового гармонического осциллятора становится следующим: . (2.7) Полагая и вычитая , получаем уравнение , (2.8) и окончательно квантовая энтропия одномерного осциллятора принимает вид , (2.9) где . Таким образом, квантовая энтропия (2.9) гармонического осциллятора с линейной диссипацией возрастает со временем по экспоненте исключительно за счет вклада диссипативных операторов. Диссипация энергии приводит к генерации энтропии. Для гармонического осциллятора, который описывается уравнением Неймана , с , энтропия постоянна . Энтропия для квантового гармонического осциллятора с линейной диссипацией в квантовой статистической механике В статистической механике, используя уравнение Блоха, можно получить аналог уравнения Линблада методом многомерного феймановского интеграла по траекториям с модифицированным весовым функционалом Менского [9] . (2.10) Здесь диссипатор отличается от аналогичного оператора (1.13) отсутствием двойных коммутаторов. Уравнение (2.10) принимает вид , (2.11) где - «тепловое время». Гамильтониан и диссипативные операторы определены ранее в (2.2) и (2.1). Уравнение (2.11) с гамильтонианом (2.2) и операторами (2.1) становится следующим: , (2.12) где , , , . Уравнение (2.12) содержит первую производную статистического оператора от координаты, которая отсутствует в известном уравнении для гармонического осциллятора без диссипации [10, 13]. Применяя подстановку (2.13) к уравнению (2.12), вводим новые переменные , , , и получаем уравнение . (2.14) Формально уравнение (2.14) совпадает с уравнением, полученным Фейманом для линейного осциллятора [13] . (2.15) Повторяя уточненный расчет [9, 10] в наших обозначениях, получаем решение . (2.16) Формула (2.16) отличается от решения уравнения (2.15) последней экспонентой и новыми переменными. При решение (2.16) становится следующим: , (2.17) где коэффициенты , , , . (2.18) Используя формулу для статистической суммы , (2.19) находим свободную энергию F . (2.20) Полная энергия U осциллятора равна двум потенциальным энергиям . (2.21) По формуле , остающейся справедливой для квазиравновесного процесса, вычисляем термодинамическую энтропию S: . (2.22) Таким образом, в статистической механике энтропия линейного одномерного квантового осциллятора с диссипацией с размерностью постоянной Больцмана равна , (2.23) где , - гиперболический тангенс. (2.24) В случае, когда квантовый осциллятор без диссипации (b = 0), получаем из формулы (2.23) известную формулу для энтропии одномерного квантового осциллятора [13] . (2.25) Таким образом, зависимость энтропии от времени и температуры для квантового линейного осциллятора c линейной диссипацией с учетом (2.9) можно представить в виде . (2.26) Для квантового линейного осциллятора c линейной диссипацией функциональная зависимость термодинамической энтропии от температуры сохранилась как для осциллятора без затухания, но с другими коэффициентами, а зависимость от времени демонстрирует экспоненциальный рост. Заключение Используя длину тепловой волны де Бройля, получены новые, зависимые от температуры и скорости, квазикинетические уравнения Шредингера для волновой функции и Неймана и Линблада для статистического оператора, которые могут описывать неизотермические процессы, когда температура системы может меняться от времени по известному закону. Показано, что в случае изменения температуры системы со временем по линейному закону в статистическом операторе появляется дополнительный сомножитель, зависимый от температуры в первой степени, что означает появление затухания в системе за счет диссипации энергии из квантовой системы в термостат. Эти уравнения могут использоваться в квантовой термодинамике для вычисления энтропии и других термодинамических потенциалов. Вычислены также экспоненциальная зависимость энтропии от времени и сложная зависимость от температуры для модели квантового гармонического осциллятора с линейной диссипацией в рамках квантовой статистической механики.

Скачать электронную версию публикации