Effect of polarization on exciton in a semiconductor quantum dot.pdf Введение Полупроводниковые квантовые точки (КТ) чрезвычайно востребованы в квантовой оптике и твердотельной электронике. Имеются реальные перспективы их широкого применения в качестве источников одиночных фотонов и функциональных структур микролазеров [1]. Хорошо известно, что оптические характеристики полупроводниковых КТ определяются, главным образом, экситонами Ванье - Мотта [2, 3]. Свойства этих экситонов существенно отличаются от свойств водородоподобных экситонов в объемных полупроводниках, что обусловлено пространственным ограничением или называемым конфайнментом электронов и дырок. Практическое внедрение структур с КТ сдерживается рядом трудностей. Основной негативный фактор, с которым приходится иметь дело - это быстрый распад экситонов при повышении температуры. В связи с этим в различных технологиях (эпитаксиальные и коллоидные структуры, графен и др.) наиболее актуальным остается поиск путей увеличения энергии экситонов и времени их жизни. В последнее время много внимания уделяется исследованиям так называемых «темных» экситонов, которые не испускают фотоны и обладают большими временами жизни и когерентности [4, 5]. Установлено, что первостепенную роль в образовании в КТ как «ярких», так и «темных» экситонов играют кулоновские эффекты. Для исследования физических свойств КТ часто применяются туннельная и емкостная спектроскопии. С помощью этих методов наблюдают за особенностями размерного квантования и кулоновского взаимодействия электронов и дырок в функциональных полупроводниковых структурах. Температурная зависимость измеряемых спектров может быть обусловлена не только изменением плотностей состояний электронов и дырок в соответствующих зонах, но и эффектами поляризации и экранирования кулоновского взаимодействия [6-8]. Различным вопросам теории экситонов в КТ посвящены, в частности, работы [9-21]. Большинство расчетов осуществляется в приближении эффективной массы и в рамках теории возмущений. В теории получается учесть свойства как прямозонных, так и непрямозонных полупроводниковых материалов. В качестве моделей КТ используются сферически-симметричные потенциальные ямы с конечной или бесконечной высотой. Внутри ямы рассматриваются электрон и дырка, между которыми действует кулоновская сила притяжения. В ряде случаев принимаются во внимание особенности структуры КТ и учитываются, например, поправки на поляризационное взаимодействие экситона с поверхностью или окружающей сплошной средой, а также силы электростатического изображения. Конфайнмент вызывает смещение уровней энергии и усиливает роль кулоновского притяжения между электронами и дырками. Большие значения энергии связи экситонов в достаточно массивных КТ означают, что наблюдаемая люминесценция КТ имеет экситонную природу вплоть до комнатной температуры. Время жизни экситонов сильно зависит от размеров КТ и может изменяться на несколько порядков. В структурах с КТ обнаруживается квантово-размерный эффект Штарка, который заключается в смещении спектров излучения или поглощения при приложении внешнего электрического поля. Поправка к спектру электронов и дырок в данном случае вычисляется во втором порядке теории возмущений. Движение экситона создает флуктуации плотности заряда и поляризацию кристаллической решетки, которые, в свою очередь, изменяют потенциальную энергию взаимодействия электрона и дырки [22]. В результате возникает эффект экранирования кулоновского взаимодействия. Если боровский радиус экситона намного превышает межатомное расстояние, то потенциал взаимодействия электрона и дырки можно определить с помощью формул [23, 24]: , (1) , (2) , (3) , где e - заряд электрона; - электрическая постоянная; r - расстояние между электроном и дыркой; и - поляронные радиусы и эффективные массы электрона и дырки; - частота продольных оптических фононов; и - относительные диэлектрические проницаемости при и соответственно. В качестве и принимаются низкочастотная и высокочастотная диэлектрические проницаемости материала. Потенциал электростатического взаимодействия электрона и дырки (1) учитывает изменение поляризации пространства между ними. Функции экранирования (2), (3) получены в различных приближениях, но описывают один и тот же эффект [23, 24]. Изменение поляризации полупроводника при сближении электрона и дырки происходит вследствие запаздывания отклика от валентных электронов. При малых r частота вращения электрона вокруг дырки высока и намного превышает , где - ширина запрещенной зоны, поэтому потенциал (1) в данном случае имеет кулоновскую форму. По мере возрастания r движение электрона замедляется и запаздывание постепенно исчезает. Таким образом происходит непрерывное изменение относительной диэлектрической проницаемости от до . Для большинства полупроводников выполняется очевидное неравенство [7, 22]. Графики функций для полупроводника CdSe, имеющего структуру вюрцита, представлены на рис. 1. Из этих графиков видно, что для КТ с радиусом менее 10 нм изменением поляризации пренебрегать уже нельзя. В [9, 14-16] различными приближенными методами исследовались поляронные эффекты для экситона, находящегося в полупроводниковой КТ в основном состоянии. Из полученных результатов в общем следует, что для очень малых КТ поляронные эффекты не играют заметную роль, с увеличением размеров КТ эти эффекты сначала усиливаются, а затем стабилизируются. Исходя из формул (1) - (3), это естественным образом объясняется изменениями диэлектрической проницаемости и энергии взаимодействия между электроном и дыркой. Анализ многочисленной литературы показывает, что влияние локальной поляризации среды на волновые функции и уровни энергии экситона в полупроводниковой КТ путем прямого решения уравнения Шредингера вне рамок теории возмущений и метода минимизации гамильтониана с помощью пробных волновых функций не изучалось. Решению этой задачи посвящена настоящая статья. Предлагается метод решения задачи, в рамках которого возможно рассматривать экситон в произвольном квантовом состоянии. Рис. 1. Зависимость диэлектрической функции от расстояния между электроном и дыркой: кр. 1 - формула (2); кр. 2 - формула (3) Теоретическая модель Будем рассматривать полупроводниковую КТ сферической формы радиусом R, внутри которой имеется одиночный экситон Ванье - Мотта. Считается, что боровский радиус экситона и радиус КТ могут иметь произвольные значения. Предлагается использовать модельный гамильтониан вида , (4) , , где и - векторы, определяющие положения электрона и дырки; - ограничивающий потенциал для центра масс экситона; - потенциальная энергия взаимодействия электрона и дырки, которая задается формулами (1) - (3). Зонная структура материала КТ, определяемая законами дисперсии для электрона и дырки, в гамильтониане (4) учитывается посредством эффективных масс . Уравнение Шредингера для экситона с учетом (4) имеет вид , (5) где E - собственные значения энергии экситона. Способ решения квантово-механической задачи заключается в следующем. Разделение движения центра масс экситона и относительного движения электрона и дырки возможно, если центральный потенциал зависит только от положения квазичастиц, т.е. является инвариантным относительно их перестановки [25]. В нашем случае это условие всегда выполняется. Ограничивающий потенциал зависит лишь от положения центра масс экситона, что также не препятствует разделению движения при любых соотношениях между боровским радиусом экситона и радиусом КТ. Конфайнмент задается соответствующими граничными условиями для двух уравнений после разделения переменных в (5), что и обеспечивает размерное квантование. В этих рамках предполагается, что центр масс экситона не выходит за некоторую границу, а расстояние между электроном и дыркой не превышает диаметр КТ. Это, по существу, означает, что экситон рассматривается внутри сферы с некоторым эффективным радиусом, который всегда меньше геометрического радиуса КТ. Погрешность метода, очевидно, возрастает с уменьшением размера КТ, однако этот недостаток компенсируется имеющейся возможностью изучить в общих чертах влияние поляризации среды на свойства экситона. Из (5) получаются два уравнения , (6) , (7) где - масса экситона; - приведенная масса экситона. Искомые волновая функция и собственные значения энергии есть , . (8) Рассмотрим поочередно уравнения (6), (7). В обоих случаях используется сферическая система координат и одинаковые (для простоты записи) обозначения переменных . Общее решение уравнения (6) имеет вид , (9) , где - функции Бесселя; - сферические функции; A и B - константы. Чтобы выполнялось условие нормировки, из решения требуется исключить часть, имеющую сингулярность при . Поэтому в (9) должно быть B = 0. Для непроницаемой сферы радиусом R волновая функция (9) подчиняется граничному условию . Отсюда возникает трансцендентное уравнение . (10) Уравнение (10) имеет бесконечное число нулей. В качестве аппроксимации его решения можно применить формулу ( , ). (11) Формула (11) хорошо работает, если выполняется условие (см. таблицу). При формула (11) является точной. Для собственных значений энергии в итоге получаем , . (12) Перейдем теперь к уравнению (7). Общее решение этого уравнения с центральным потенциалом имеет вид , (13) где функция удовлетворяет уравнению . (14) Собственные значения kn,l в решении (9) n l Численное решение уравнения (10) Формула (11) Погрешность формулы (11), % 1 0 3.142 3.142 0 1 1 4.493 4.712 4.9 1 2 5.763 6.283 9.0 1 3 6.988 7.854 12.4 2 0 6.283 6.283 0 2 1 7.725 7.854 1.7 2 2 9.095 9.425 3.6 2 3 10.417 10.996 5.6 3 0 9.425 9.425 0 3 1 10.904 10.996 0.8 3 2 12.323 12.566 2.0 3 3 13.698 14.137 3.2 Далее, чтобы исследовать эффект поляризации, введем безразмерную радиальную переменную , где . Считая, что взаимодействие между электроном и дыркой описывается формулами (1) - (3), приходим к уравнению , (15) ( , ), (16) где функция определяется формулами (2), (3) и содержит уже безразмерные (отнесенные к ) поляронные радиусы . Для уравнения (15) воспользуемся граничными условиями Дирихле , (17) где R - безразмерный радиус КТ; - числовой параметр. Наиболее ожидаемые значения параметра находятся в интервале между 1 и 2. Например, для неподвижной дырки в центре КТ и легкого электрона . Если эффективные массы электрона и дырки соизмеримы, то не для очень малой КТ можно принять . В (17) первое условие в нуле является естественным, поскольку при потенциальная энергия имеет кулоновскую асимптотику, . Второе условие отражает невозможность отдаления электрона от дырки вследствие конфайнмента на расстояние больше . Средний радиус экситона должен зависеть от квантового состояния и радиуса КТ: . (18) Совместное решение уравнений (15) - (18) с учетом формул (1) - (3) позволяет исследовать влияние поляризации на свойства экситона в КТ. Существование нетривиальных решений краевой задачи (15), (17) следует из общих свойств уравнения Шредингера [26]. В предельных случаях при и имеем водородоподобные экситоны, для которых решение уравнения (14) выражается через вырожденную гипергеометрическую функцию или полиномы Лагерра. Рассматриваемая здесь модель и известная модель сферической потенциальной ямы с бесконечно высокими потенциальными стенками для электрона и дырки (см., в частности, [2]) должны, очевидно, давать сопоставимые результаты, если выполняется условие . Уместно, кроме того, заметить, что средний радиус экситона в режиме сильного конфайнмента всегда меньше его боровского радиуса. Если перейти к размерным величинам, то для режима слабого конфайнмента с учетом (12) и (16) получается спектр известного вида (см., например, [27, 28] и формулу (2.1) из [29]): , где - постоянная Ридберга экситона. В общем случае задача (15), (17) не может быть решена в явном аналитическом виде, поэтому для ее решения требуются приближенные или численные методы. Расчеты проводились согласно следующей схеме. Уравнение (15) представлялось в виде системы из двух дифференциальных уравнений первого порядка. Данная система вместе с условиями (16) решалась методом стрельбы [30]. Суть этого метода заключается в сведении краевой задачи к эквивалентной начальной задаче для той же системы уравнений и дальнейшем ее численном решении с «пристрелкой» по собственному значению. Численное решение начальной задачи находилось методом Рунге - Кутты четвертого порядка с фиксированным шагом. Интегралы в (18) вычислялись простым методом прямоугольников. Количество разбиений промежутка интегрирования увеличивалось до . Таким образом, для всех решений обеспечивалась точность вплоть до третьего знака после запятой. Численные расчеты проводились для КТ из CdSe. Параметры в формулах (2), (3) имели следующие значения [31, 32]: ; ; ; ; нм; нм. Константа в формуле (16) равна нм, в (17) эмпирический параметр . Вычислительный эксперимент показывает, что применение формул (2), (3) к расчету функций и собственных значений дает достаточно близкие результаты даже для основного состояния. Так, при R = 0.5 разница между собственными значениями в основном состоянии составляет . С ростом радиуса R и квантовых чисел и эта разница быстро стремится к нулю. Спектр энергий, относящийся к внутриэкситонному вкладу, является непрерывной функцией радиуса КТ для обеих рассмотренных моделей экранированного кулоновского потенциала. Ниже описываются результаты, полученные с использованием формул (1), (3). На рис. 2 показаны примеры расчета для основного состояния экситона. Как и следовало ожидать, поляризация среды и увеличение радиуса КТ влекут за собой уменьшение квазиимпульса электрон-дырочной пары. Увеличение центробежной энергии экситона, т.е. орбитального квантового числа при фиксированном радиальном квантовом числе , сводит к нулю влияние поляризации и эффект экранирования кулоновского взаимодействия. Поляризация и экранирование в целом уменьшают средний радиус экситона. В основном состоянии орбитальный радиус изменяется незначительно и оказывается намного меньше среднего радиуса экситона. Как выясняется, сильный конфайнмент экситона критически сказывается на его энергетическом спектре. Самым интересным проявлением здесь является смена знака в зависимости от радиуса КТ. Для CdSe изменение знака энергии основного состояния с отрицательного на положительный происходит при для обеих рассмотренных моделей экранированного кулоновского потенциала. Расчеты, проведенные в настоящей работе, согласуются с результатами работ [14, 15], которые были получены более сложным способом. Так, из рис. 1b в [14] следует, что для CdSe знак энергии изменяется при значении радиуса КТ ~ 0.75 нм. На основе численного решения краевой задачи (15), (17) с формулами (1), (3) получается значение 0.8 нм, которое практически точно совпадает со значением из [15] (см. рис. 1 из [15]). Указанное явление интерпретируется как утрата связанного состояния электрон-дырочной пары вследствие возрастания кинетической энергии электрона и дырки. Граничный радиус КТ, при котором изменяется знак Er, зависит от диэлектрических свойств материала, причем учет поляризации сдвигает этот радиус в область меньших значений. Рис. 2. Результаты расчета характеристик экситона в 1s-состоянии в условиях сильного конфайнмента: а - радиальные составляющие волновой функции; б и в - собственные значения и средние радиусы экситона в зависимости от радиуса КТ. Кр. 1, 2 соответствуют расчетам с потенциалом (1), (3) и кулоновским неэкранированным потенциалом (1) при Изменение знака спектра энергий можно продемонстрировать без учета поляризации на примере атома водорода. В этом случае в (15) нужно принять , а в качестве и в (16) взять боровский радиус и массу электрона. Рассмотрим мысленный эксперимент, в котором атом водорода зажат внутри непроницаемой сферы радиусом R. Считается, что с уменьшением R происходит изменение волновых функций и уровней энергии электрона так, что атом всегда остается в основном стационарном состоянии. Правое граничное условие в (17) задается при = 1. Численное решение задачи на собственные значения для атома водорода, находящегося в условиях конфайнмента, представлено на рис. 3. При условии получаются положительные значения энергии электрона, . Если же , то и (16) точно дает энергию связи электрона в атоме водорода в основном состоянии. Энергия связи электрона и протона равна нулю, когда . По отношению к экситону это явление означает, что при малых размерах пространства связанные экситонные состояния отсутствуют, и экситоны в КТ, по-видимому, превращаются в вырожденную электрон-дырочную плазму. Рис. 3. Влияние конфайнмента на 1s-состояние электрона в атоме водорода Заключение Итак, модельный гамильтониан (4) дает возможность изучить влияние поляризации полупроводника на свойства экситона. Основное допущение заключается в том, что рассматривается движение центра масс экситона при переходе к сильному размерному квантованию. Физически центр масс экситона всегда находится внутри КТ, что и позволяет воспользоваться для него отдельным граничным условием. Наиболее распространенная модель экситона в КТ (см., например, [2]), в которой ограничиваются электрон и дырка по отдельности, в определенной степени эквивалентна рассмотренной модели с ограничивающим потенциалом в (4), (5) и условиями (10) и (17). Для случая обе модели идентичны, что несложно показать аналитически. В данной работе выяснено, что учет поляризации среды и экранирования кулоновского взаимодействия для экситона особенно целесообразен в условиях сильного конфайнмента, когда радиус КТ по порядку величины сопоставим с боровским радиусом экситона и поляронными радиусами электрона и дырки. Для рассмотренного примера с CdSe это нм. Количественно указанный критерий зависит как от диэлектрических свойств полупроводника, так и от эффективных масс электрона и дырки. В условиях сильного конфайнмента обнаруживается изменение знака внутриэкситонной части энергии, что объясняется принципом неопределенности. Это явление может служить причиной разнообразных изменений ридбергоподобных состояний и связанных с ними спектров поглощения и излучения при малых радиусах КТ. Не исключается также и то, что квантовые состояния с малыми отрицательными значениями , которые имеют место в КТ при определенных размерах, могут играть роль при возникновении «темных» экситонов. Согласно рассмотренной модели, для таких экситонов .

Скачать электронную версию публикации