On refraction into a lossy metamaterial and Ketteler formulas.pdf Плодотворная концепция электромагнитных метаматериалов [1] стимулировала зарождение трансформационной оптики и других актуальных направлений электродинамики. С «дважды отрицательными» прозрачными средами, известными также как «среды Веселаго», связаны явления отрицательного преломления, плоской линзы, методы электромагнитной маскировки и оптических иллюзий [2, 3]. В приближении изотропной эффективной среды электромагнитные метаматериалы обычно характеризуются вещественными скалярами диэлектрической ( ) и магнитной ( ) проницаемостей, значения которых теоретически не имеют ограничений по знаку и по абсолютной величине. Однако реальные образцы метаматериалов неизбежно обладают потерями, вследствие чего проницаемости принимают комплексные значения, а распространение волн значительно усложняется, сопровождаясь ослаблением амплитуды (неоднородные волны). Изучение волновых процессов в поглощающих средах стимулируется также предсказанием эффектов волновой фокусировки [4]. В работе [5] было отмечено, что предложенный Веселаго критерий отрицательного преломления применительно к неоднородным волнам следует пересмотреть. Во второй половине XIX в. немецкий физик Эдуард Кеттелер постулировал, что распространяющаяся в поглощающей среде плоская волна характеризуется не только направлением распространения, но и направлением ослабления, которые являются соответственно нормалями к плоскости равных фаз и плоскости равных амплитуд [6, 7]. Он предложил систему двух соотношений, назвав их главными уравнениями теории поглощающих сред, согласно которым «в каждой поглощающей среде на любой длине волны заданный угол между нормалями экстинкции и распространения связан с определенным значением показателя ослабления и показателя преломления, и, следовательно, скорость распространения и сила ослабления также зависят от этого угла» [7, с. 126]. Эти соотношения в дальнейшем стали называться уравнениями Кеттелера [8, с. 197]. Цель настоящей работы - уточнить использование формул Кеттелера применительно к метаматериалам, приняв во внимание возможность распространения не только прямых нормальных волн (как, например, в оптике металлов [9]), но и обратных волн, с которыми связано явление отрицательного преломления. Для описания бегущей плоской монохроматической электромагнитной волны с круговой частотой воспользуемся показательной функцией , где - радиус-вектор, - время, - скорость света в пустоте, - вектор рефракции. Так как волна в поглощающей среде является неоднородной, вектор рефракции должен быть комплексным: , , , , , (1) где и - орты фазовой и амплитудной нормалей соответственно. Волна существует в области пространства, где справедливо неравенство . Вихревые уравнения Максвелла для плоской волны принимают вид [10] , , (2) где и - комплексные амплитуды электрического и магнитного полей; и - диэлектрическая и магнитная проницаемости, причем и . Умножим скалярно первое уравнение в (2) на , второе уравнение на и сложим их. В левую часть результирующего выражения войдет сомножитель, описывающий средний по времени вектор Пойнтинга : . (3) Формула (3) распадается на две части с вещественными величинами , (4) . (5) Из (5) непосредственно следует, что проекция мнимой части вектора рефракции на вектор Пойнтинга всегда положительная [5]. Перепишем (4), принимая во внимание связь комплексных амплитуд : . (6) Неравенство , которое следует из (6), если , соответствует прямой неоднородной волне (положительная скорость распространения волнового фронта вдоль направления луча ). Напротив, неравенство является признаком обратной неоднородной волны. Следовательно, как и в случае однородных волн в поглощающей среде, знаковая функция является идентификатором типа нормальной волны [11, 12]. Дисперсионное уравнение для нормальных волн в безграничной среде [10] в развернутом виде выглядит так: . (7) Разделяя действительные и мнимые части в (7), приходим к системе уравнений (8) Правые части (8) в развернутом виде таковы: , . Из второго уравнения в (8) следует , поэтому знак определяет, под каким углом пересекаются фазовая и амплитудная нормали. Если , то угол острый, что соответствует прямой волне. Напротив, обратной волне соответствует тупой угол в случае . Прямой угол отвечает прозрачной среде, для которой . Даже малые вносимые потери способны порождать в метаматериале неоднородные волны одного из этих типов. Угол означает, что фазовая и амплитудная нормали параллельны и одинаково направлены; в этом случае нормальные волны характеризуются комплексным показателем преломления, называются однородными и являются прямыми волнами. Угол отвечает обратным однородным нормальным волнам, у которых направления движения волнового фронта и потока энергии антипараллельны. Таким образом, при параллельной ориентации волновой и амплитудной нормалей идентификатором типа волны оказывается знаковая функция , как и было ранее показано [11, 12]. Перепишем уравнения (8) в обозначениях Кеттелера [6]: (9) где - показатель преломления; - показатель затухания (коэффициент экстинкции). Величины и называются инвариантами Кеттелера [13, с. 119], они являются характеристиками среды и инвариантны по отношению к углу между нормалями, поэтому левые части уравнений (9) могут быть записаны и для угла (если волна является прямой), а также для угла (если волна является обратной). Числа и получили название главных показателей преломления и затухания [6, с. 120]. Как следует из (9), главные показатели вычисляются по формулам , (10) . (11) В свою очередь, квадраты показателей преломления и затухания, зависящих от угла , представляются формулами [7, с. 126] , (12) . (13) Из формул (10) - (13) следует, что все четыре показателя инвариантны относительно типа волны, так как содержат только квадратичную зависимость от и . Пусть полупространство метаматериала имеет плоскую гладкую границу с вакуумом, откуда под углом относительно нормали к поверхности раздела , направленной из вакуума в среду, падает однородная плоская волна с действительным вектором рефракции . Помимо зеркально отраженной однородной волны с вектором рефракции , возникает преломленная неоднородная волна с комплексным вектором рефракции . Граничное условие требует равенства касательных составляющих векторов рефракции [10], откуда следует, что амплитудная нормаль преломленной волны должна быть параллельна нормали . Более того, в силу принципа предельного поглощения она должна совпадать по направлению с ортом . Фазовая нормаль наклонена относительно нее на угол в случае прямой преломленной волны или на угол в случае обратной преломленной волны. Поток энергии обратной волны направлен в противоположную сторону ( ), что соответствует отклонению его от нормали на угол (отрицательное преломление луча обратной волны). Действительно, закон Снеллиуса для вещественных векторов рефракции переводится в скалярную форму двояким образом. Для прямых волн он имеет вид , (14) где , , а угол отражения . Для обратных волн он гласит , (15) где теперь вектор рефракции преломленной волны направлен в сторону вакуума в соответствии с общим правилом: «концы векторов рефракции всех волн лежат на прямой, проведенной из конца вектора рефракции падающей волны нормально к поверхности раздела» [10]. Уравнения Кеттелера (9) с использованием формул (14) и (15) допускают в явном виде решения, которые содержат угол падения : , (16) . (17) Формула (16) присутствует уже в работах Вернике [14] и [15] (в исправленном виде). Из вида этой формулы усматривается возможность прохождения прямой преломленной волны через границу вакуума и метаматериала без отклонения, для чего следует принять . Эта возможность реализуется для такого угла падения , что . (18) Угол принимает вещественные значения при условии, что материальные параметры метаматериала подчиняются неравенствам . (19) В том случае, когда в результате рефракции волна изменяет свой тип, т.е. в метаматериале она становится обратной волной, происходит отрицательное преломление луча под углом относительно нормали . Главные показатели и можно объединить, создавая обобщенный комплексный показатель преломления , (20) который непосредственного физического смысла не имеет, но применяется для описания однородных плоских волн в среде с потерями. Знаковая функция добавлена в (20) для того, чтобы охватить оба типа нормальных волн в метаматериалах, имея в виду, что по определению . Для одной и той же пары главных показателей комплексные показатели преломления прямых и обратных волн соотносятся как комплексно-сопряженные числа и . Закон Снеллиуса можно формально записать и с комплексным показателем преломления , (21) однако угол преломления оказывается комплексным. Опираясь на формулы (9), (14), (15) и (20), можно прийти к полезным соотношениям. После возведения (20) в квадрат находим . Вводя теперь - показатель преломления в направлении оси ослабления, получим формулу (22) с комплексным показателем преломления в направлении оси ослабления в левой части, которая обобщает известный результат [7, 16]. Отмеченные особенности явления рефракции применительно к метаматериалам могут быть полезны для измерения главных эффективных феноменологических параметров и метаматериалов по отражению и по прохождению волн.

Скачать электронную версию публикации