Н-groups and full transitivity.pdf При изучении вполне характеристических подгрупп абелевых групп А интерес представляют группы, в которых каждая вполне характеристическая подгруппа S имеет вид S={aеА|Н(a)>М}, где М - некоторая матрица размера юхю, каждая строка которой представляет из себя возрастающую последовательность порядковых чисел и символов ж (Н(а) - высотная матрица элемента а). Такие группы будем называть Н-группами. В случае групп без кручения вместо высотной матрицы элемента а можно рассматривать его характеристику %(а), а вместо матрицы М - последовательность v=(v(1),v(2),...,v(n),...), состоящую из целых неотрицательных чисел и символов ж. Таким образом, приходим к понятию %-группы, т.е. такой абеле-вой группы без кручения А, в которой каждая вполне характеристическая подгруппа S имеет вид S={aеА | %(а)>у}. Систематическое изучение %-групп проводилось в [1-3]. В [1] показано, что при изучении строения вполне характеристических подгрупп абелевых групп можно ограничиться редуцированными группами. Поэтому далее в этой статье слово «группа» означает редуцированную абелеву группу. Аналогично [1, С. 63] можно показать, что всякая Н-группа является вполне транзитивной группой, т.е. группой, в которой для любых двух элементов х и у таких, что Н(х)М}. А(М) - вполне характеристическая подгруппа группы А. Определение 6. Назовем группу А Н-группой, если всякая ее вполне характеристическая подгруппа S имеет вид S=А(М), где МеЗ. Заметим, что группа без кручения является Н-груп-пой тогда и только тогда, когда она - %-группа, и ргруппа является Н-группой тогда и только тогда, когда она - Н-группа (р-группа А называется Н-группой, если всякая ее вполне характеристическая подгруппа S имеет вид S={a^^ \ Н(а)>а}, где Н(а) - индикатор элемента а, a -возрастающая последовательность, состоящая из ординальных чисел и символов да). Проводя рассуждения, аналогичные доказательству необходимости в теореме 3.9 из [1], получим Лемма 1. Всякое прямое слагаемое Н-группы является Н-группой. Покажем, что для периодических групп класс вполне транзитивных групп совпадает с классом Н-групп. Предложение 2. Периодическая группа А является Н-группой тогда и только тогда, когда А - вполне транзитивная группа. Доказательство. Необходимость вытекает из того, что всякая Н-группа вполне транзитивна. Докажем достаточность. Пусть А - периодическая вполне транзитивная группа, S - вполне характеристическая подгруппа группы А . Рассмотрим разложение группы А в прямую сумму примарных компонент А = © Ар. Иметивная группа, как прямое слагаемое вполне транзитивной группы А . Поэтому для любого простого числа р существует такая ^/-последовательность а(р), что Sf]Ap=Ap(a(p) [10. С. 61]. Если 5ГИР=0, то последовательность ар,) состоит только из символов да. Рассмотрим матрицу М, у которой для каждого простого числа р, строка, соответствующая этому простому числу, совпадает с а^. Получаем S=А(М), и, значит, А - Н-группа. Учитывая, что периодическая часть любой группы является изотипной вполне характеристической подгруппой этой группы, получаем Следствие 7. Периодическая часть любой вполне транзитивной группы является Н-группой. Для смешанной группы А обозначим через Р'(А) множество всех тех простых чисел р, для которых Тр(А) - неограниченная группа (Тр(А) - р-компонента периодической части Т(А) группы А). Имеет место следующая лемма. Лемма 2. Если в смешанной группе А существует элемент бесконечного порядка, имеющий бесконечную q-высоту (обобщенную) для простого числа q, не принадлежащего Р'(А), то А не является Н-группой. Доказательство. Пусть аеА, о(а)=да и h'(a) = да для всякого простого числа q такого, что qgP'(4). Предположим, что А является Н-группой. Рассмотрим следующую вполне характеристическую подгруппу S группы А: S = © Тр (А). реР'(А) р Пусть М1 - матрица из З, у которой строки, соответствующие простым числамреР'(А) следующие: (0, 1, 2,...), а остальные строки состоят только из символов да. М1 - наибольшая из матриц МеЗ, для которых S=А(М). Так как М - периодическая группа, то а^. С другой стороны Н(а)>М и поэтому аеА(М1). Противоречие. Выясним, в каком случае К-прямая сумма периодических групп является Н-группой. Теорема 7. Пусть А=©КА(iel), где Аi - периодические группы. Группа А является Н-группой тогда и только тогда, когда А - периодическая вполне транзитивная группа. Доказательство. а) Необходимость. Имеем А1 =©Ар (Ар - р-компонента группы А). Для фиксированного простого числа р обозначим через 1р следующее множество: Ip={(i р) \ eI}. Существует идеал К1 булевой алгебры всех подмножеств множества всех простых чисел П и идеалы Кр булевых алгебр Р(1р), где реП, что А = ©К1 Gp, где Gp = ©Kj; Aip . Пусть рр и 7гр - координатное вложение группы Gj, в А и проекция группы А на группу GF соответственно. Предположим, что для некоторого простого числа р группа G не является периодической. Пусть Тр- ркомпонента периодической части группы А. Тогда Тр cppGp и Тр ^ ppGp . Так как в группе Gp есть Pj I pj pj pj I pj pj pj элементы бесконечного порядка, то для всякого натурального числа k существует такая группа Арр. и элемент для всякого простого числа q, отличного от р-. Тогда по лемме 2 А не является Н-группой. Противоречие. см ,S' = ©(,ST1. I„). Каждая группа Ар - вполне транзи- at 6 • чт0 ) ^ р) ■ Значит, Тр. - неограниченная группа. Пусть а - ненулевой элемент бесконечного порядка группы Gp и b = рр а . Имеем ЬеА, о(й)=да и h*(b) = да Итак, А = ©Ki Gp, где Gp - р-группы. Предположив, что группа А не является периодической и рассмотрев в ней периодическую часть Т(А), которая совпадает с группой ®рpGp , получим, что Т(А) нельр зя представить в виде А(М). Значит, А - периодическая группа. Так как А - Н-группа, то А - вполне транзитивная группа. б) Достаточность вытекает из предложения 2. Для расщепляющихся смешанных групп получена Теорема 8. Пусть А=Т®G, где Т - периодическая группа, G - группа без кручения. Группа А является Н-группой тогда и только тогда, когда G - ^-группа и выполняется условие: для всякого простого числа р, для которого группа Тр - неограничена, G является р-делимой группой, а Тр -вполне транзитивной группой. Учитывая результаты о %-группах из [1], получаем Следствие 8. Расширение ограниченной группы при помощи однородной сепарабельной группы является Н-группой. Следствие 9. Расширение ограниченной группы при помощи группы без кручения, на которой можно задать структуру унитарного Qp - модуля для некоторого простого числа р (в частности, при помощи группы без кручения, полной в р-адической топологии) является Н-группой. Рассмотрим K-прямые суммы групп, смешанные компоненты которых расщепляются. Теорема 9. Пусть А=©кА1 (iel) - смешанная группа, причем если для некоторого iel А)■ - смешанная группа, то она расщепляется. Группа А является Н-группой тогда и только тогда, когда А - расщепляющаяся группа и выполняются следующие условия: 1) факторгруппа группы А по ее периодической части является %-группой; 2) для всякого простого числа р, для которого периодическая часть группы А имеет неограниченную р-компоненту, эта р-компонента является вполне транзитивной группой, а факторгруппа группы А по ее периодической части р-делима. Доказательство. а) Необходимость. Запишем каждую из групп А)- (iel) в виде А,. = А.® А", где А,' - периодическая группа, А" - группа без кручения (одна из групп А' или А'' может быть нулевой). ИмеемА=А'©А'', гдеА'= =© к А', А" = ©K А,". Так как А - Н-группа, то по лемме 1 А' - Н-группа и А" - Н-группа. Применяя теорему 7, получаем, что А' - периодическая вполне транзитивная группа. Понятно, что А"" - группа без кручения. Итак, А - расщепляющаяся смешанная группа. Применяя теорему 8, получаем выполнение условий 1)-2). б) Достаточность вытекает непосредственно из теоремы 8. В связи с теоремой 9 получен следующий критерий расщепляемости K-прямых сумм групп. Теорема 10. Пусть G=©KGi (iel) - смешанная группа. Группа G расщепляется тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: 1)если G- (jeI) - смешанная группа, то G- расщепляется; 2) периодическая часть группы G совпадает с K-прямой суммой периодических частей групп G - (iel). Применяя теорему 10 и следствие 6, получаем Следствие 10. Пусть ®KАi (iel) - смешанная группа, где каждая группа А- является либо группой без кручения, либо периодической группой, любая при-марная компонента которой принадлежит хотя бы одному из следующих классов групп: 1) классу тотально проективных групп; 2) классу сепарабельных групп; 3) классу Сд-групп длины А, для любого порядкового числа X конфинального со; 4) классу счетных групп; 5) классу групп Прюфера произвольной длины; 6) классу -Т-групп. Группа А является Н-группой тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: 1) факторгруппа группы А по ее периодической части является %-группой; 2) периодическая часть группы А совпадает с K-прямой суммой периодических частей групп А- (iel); 3) для всякого простого числа р, для которого периодическая часть группы А имеет неограниченную Р-компоненту, факторгруппа группы А по ее периодической части р-делима.

Скачать электронную версию публикации