On some characteristics of mappings class with bounded in average distortion.pdf 1. Пусть Rn - евклидово п- мерное пространство, n=3,4,..., D область в R" и f:D^Rn - отображение с s-ограниченным в среднем искажением [1]. Через B обозначим множество точек ветвления отображения f Если f:D^R" - произвольное открытое изолированное отображение, то множество Bf нигде не плотно, размерность dimfi/0 семейства кривых Г обозначим через М(Г). Через Bn(x0,r) обозначим п-мерный шар {xeRn | | x-x01 0. Из свойств отображений с ограниченным в среднем искажением имеем [7] BfcDXE и m=(DE)= =m(f(D\E))=0. Пусть B^>f(D\E) - борелевское множество меры нуль. Можно полагать, что для каждой кривой реГ' выполнены следующие утверждения: (a) р - локально спрямляема; (b) если а кривая в D такая, что /аср, тогда f локально абсолютно пренепрерывно на а; (c) |рК в ds = 0. Пусть функция р допустима для семейства кривых Г. Определим борелевскую функцию ct:D^[0,o>] так: ст( x) =[р( x)/ l( f '(x)), если x е D \ f - B, СТ(x) [0, если x е f -1B и функцию p'Rn^[0,a>] как р'(у) = - К D sup У ст(x), т С xeC где С пробегает все множество прообразов fl(y) такое, что cardC-yA,« и \p'ds = \p"o$\t)dt> т j=1 р 1 т с 1 т >- У \h (t)dt = - У \ а о a*, dml >1. т j=1 0 т J=1 Ij Таким образом, функция р допустима для семейства Г . Пусть, как выше, у0 е fDt \ f (D) n Bt и V - связная окрестность точки у0 такая, что существуют к квазиконформных в среднем отображений g^V--G^, |а=1,...,к, обладающих свойствами: fog=id и D nf-1V = и{Д nG| : 1 v. Тогда для уе V имеем т р; (у)=-i (g i (у)). т »еЬу При LcP борелевские множества VL={je V:Ly=L} не пересекаются. Учитывая квазиконформность в среднем отображений f\ G^ и применяя неравенство Гёльдера, получим J р["dm < - £ J (ст,. о )" dm = v. т lebVr f Jp*1 dm \f~1vL \ (*-1)/ * - ^I lo-Jfdm < ieL g V Суммируя по всем LcP, получим / N (*-1)/ * jp'"dm < т С (D)К* Jp "/(*-1) dm Krlv Множество fDi \ f (Dt n Bf) может быть покрыто счетным числом непересекающихся множеств V, как описано выше, и, учитывая тот факт, что m(fBf)=0, име- JP;"dm < m При i - го, получаем M (Г') < ем n(*-1)/ * С (D)K* Jp " /(*-1) dm \R" У R ,ч ,, С(D)K* M (*-1)/ * (Г) ; M n*/(*-1) (i ). Теорема доказана. Предложение 1. Пусть f :D - Rn - непрерывное открытое изолированное отображение, р : [a,b\-Rn к - кривая, х^.-.леАР^)) и m -Ii(Xj, f). Тогда j-1 существуют максимальные f-поднятия aba2,...,am, начинающиеся в точках x^i-Xfc такие что card{j:aj(a)=Xi}, 10, то f продолжается непрерывно на U. Доказательство. Предположим, что это не так. Пусть xeI и последовательности x^x, x't ^ x, а q( f (xt), f (x)) > a > 0, где q(x,y) - сферическое расстояние. Так как dimI 5 > 0. С другой стороны, поднятие у кривой у, e r(F, у () выходит либо на dU, либо на I. Во втором случае кривая у, e Г, и модуль порядка a таких кривых нуль, а модуль кривых, которые выходят на dU, как следует из [1], стремится к нулю. Таким образом, пришли к противоречию. Теорема доказана. первом случае Мт /(,+1)(Г,( А,1„)) = 0, а во втором

Скачать электронную версию публикации