Computer visualisation of algebraic structures.pdf В последнее время все большее распространение находит компьютерная визуализация абстрактных математических понятий. Так, например, в [1] компьютерная визуализация теоретико-числовых понятий позволила выйти на новые подходы к решению классических проблем теории чисел. Другие примеры компьютерной визуализации математических понятий можно найти в [2-5]. В то же время для наиболее абстрактных математических понятий, например, из абстрактной алгебры, до настоящего времени не было известно об их компьютерной визуализации. В данной работе излагаются идеи, положенные в основу компьютерной программы «Visal» (visual algebra), а также различные направления ее применения. 1. Идеи и структуры программы Для произвольной алгебраической операции реализованы два алгоритма визуализации. В первом алгоритме трехмерная визуализация алгебраической операции реализуется посредством дискретной функции двух аргументов и трехмерных преобразований машинной графики. Во втором алгоритме двумерная визуализация операции реализуется дискретной функцией цвета от двух аргументов. Компьютерная программа «Visal» включает следующие разделы: 1) группы подстановок; 2) абстрактные группы; 3) аддитивные группы классов вычетов; 4) кольца классов вычетов; 5) абстрактные кольца; 6) произвольные операции. Рассмотрим, например, раздел «произвольные операции». Здесь можно различными способами задавать алгебраические операции и находить, какие из их свойств выполняются, а какие нет. Сравнивая трехмерные и двумерные визуальные образы различных операций, можно визуально определять наличие или отсутствие тех или иных свойств алгебраической операции. В разделе «аддитивные группы классов вычетов» можно, меняя порядок группы как параметр, наблюдать, как меняется визуальный образ группы, в частности, как при вращении его появляются параллельные плоскости, причем их число достаточно сложным образом зависит от параметра. 2. Применения «Visal» Наиболее разработан для применений в настоящее время раздел «группы подстановок». Здесь реализован алгоритм вычисления систем образующих групп подстановок, их подгрупп, а также реализован алгоритм совместной визуализации группы и подгруппы. Эти средства предназначены для обогащения и развития опыта работы с группой подстановок. Вначале выбирается симметрическая группа Sn для небольших n (как показывает опыт работы с «Visal», возможности современных компьютеров допускают эффективную работу при n

Скачать электронную версию публикации