Application of interval methods in investment control.pdf Инвестиции в реальные или финансовые активы, коммерческие сделки, кредитные соглашения предусматривают, как правило, вложения и поступления распределенных во времени денежных сумм. Эффективность подобных финансовых операций зависит от многих параметров и условий, оговоренных в контрактах: размеров денежных сумм, процентной ставки, предполагаемых сроков выплат и поступлений, риска, связанного с вложениями и т.п. Основным объектом финансового анализа в данном случае являются потоки платежей - суммы распределенных во времени денежных расходов и поступлений, предполагаемых в результате финансовой операции. Анализ и расчет показателей эффективности таких операций основан на фундаментальном в финансовом анализе принципе дисконтирования потоков платежей [1-3]. При этом предполагается точное знание размеров инвестиционных расходов и будущих доходов, а также значения рыночной ставки процента (рыночной нормы доходности, ставки сравнения [1-3]) в будущем. На практике ни инвестиционные расходы, ни тем более будущие доходы и рыночная ставка процента, как правило, точно неизвестны. Можно только с достаточной степенью достоверностью задать интервалы, в которых они лежат. В этом случае адекватным математическим аппаратом для количественного анализа потоков платежей, связанных с финансовыми операциями, могут служить методы интервального анализа [4-7]. В настоящей работе предложено использовать интервальные методы для анализа и расчета обобщающих характеристик интервальных потоков платежей (под интервальными потоками будем понимать потоки платежей, параметры которых - члены потока и процентные ставки, заданы интервалами) и эффективности инвестиционных проектов (ИП). Результатами расчетов в этом случае также являются интервальные величины. Элементы интервального анализа [4-7] Пусть R - множество всех вещественных чисел. Под интервалом А=[аьа2], а10, при т=2 i+1, п=2к+1, (11) X т/" _ ("IX)' , при п=2к+1, т=2 i, к=0,1,...; /=0,1,... В следующих разделах изложенные понятия применяются при анализе потоков платежей и инвестиционных проектов. X" = х"п хп 2 n п х1 ,х 2 п х " ,х1 (9) (10) т/п т/п х 1 , х 2 ^„т/п ^„т/п Анализ переменных потоков платежей Для анализа потоков платежей необходимо уметь рассчитывать их основные обобщающие характеристики. Таких характеристик две: наращенная сумма и современная (приведенная) величина. Наращенной суммой потока платежей называют сумму платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты. Современной величиной потока платежей называют сумму всех платежей, дисконтированных на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока или упреждающий его. Наращенную сумму определяют, например, чтобы знать общую сумму задолженности на какой-либо момент времени, итоговый объем инвестиций, накопленный на момент оценки денежный резерв. Современная величина является важнейшим показателем при оценке эффективности реальных и финансовых инвестиций, коммерческих сделок и т.д. [1-3]. Рассмотрим задачи определения указанных харак-те-ристик для интервального потока платежей с переменными платежами. Вычислим наращенную сумму. Пусть начисление процентов производится по годовой процентной ставке I=[i i,i2], I>0, общее количество платежей равно ", интервал между платежами равен одному году, платежи приурочены к концу интервала. Сумма первого платежа R1 _ [r^, r12 J. Через год наращенная величина первого платежа будет R1+R1I. Так как 1i >0 для любого ieI, то по утверждению 1 выполняется закон дистрибутивности (5): R1+R1I= =R1(1+I). Еще через год наращенная величина первого платежа составит R1+R1I=R1(1+I). Так как закон дистрибутивности выполняется и в этом случае, то R1(1+I)+R1(1+I)I=R1(1+I)(1+I)=R1(1+I)2. Через к лет наращенная величина платежа составит R1(1+I)k. Первый член потока платежей будет приносить проценты в течение ("-1) лет, второй - в течение ("-2) лет, ., ("-1)-й член потока - в течение одного года, на "-й член проценты не начисляются. Получаем ряд платежей с начисленными на них процентами: R^I)"-1, R2(1+/T2,..., Rri-1(1+I), Rn. Наращенная сумма потока платежей S входит в интервал S (1 +1)"-'. (12) t=1 Преобразуя это выражение по правилам интервальной арифметики (2), (9), получим: S1 _Йrt1 ,rt2 J[( 1+i 1 )(1+i2 )J. t_1 Интервал S1 является естественным интервальным расширением для наращенной суммы данного нерегулярного потока. Этот интервал можно сузить различными способами [4-7]. Воспользуемся, например, свойством субдистрибутивности (2.6). Запишем формулу (3.1) во вложенной форме: S 2 =R „ +(1+/)(R , +(1+/ )

Скачать электронную версию публикации