Correlation detwin characteristics of trading session on stock echange (ti the «japanese candlestic» metod).pdf Развитие фондового и финансового рынка в России привело к необходимости использования математических методов технического анализа рынка для выяснения тенденций изменения цен на финансовые активы и валюту, прогнозирование этих цен. Математической основой этих методов является анализ временных рядов в сочетании с ма-темати-ческими моделями изменения цен на финансовые активы. Среди технических средств анализа фондового рынка имеется ряд эмпирических методов и приемов, еще не имевших своего теоретического обоснования. К числу таких методов можно отнести метод так называемых «японских свечек», который дает достаточно хорошие результаты на практике, но теория которого совершенно не разработана [1, 2]. В этом методе для анализа поведения цен используют следующие четыре характеристики: цена открытия, цена закрытия, минимальная и максимальная цены за время одной сессии. По этим четырем величинам и строятся так называемая «свечка», по которой и определяется характер рынка. Полная теория свечек еще ждет своего исследования. В данной работе делается попытка рассчитать характеристики такой свечки в случае рынка, находящемся в равновесии. Модель изменения цен финансовых активов При исследовании мы применим следующую модель изменения цены S на какую-то бумагу, основой которой является модель, изложенная в [3]. Пусть 0 -момент открытия сессии и Г - момент ее закрытия, так что мы рассматриваем сделки, совершенные на интервале [0,7]. Пусть t1, t2, ..., tN- моменты этих сделок, а S0 - цена актива в момент начала сессии (цена открытия). Мы будем предполагать, что цена актива меняется от сделки к сделке так, что в момент tn п-ой сделки Sn=S0exv(hl+h2+...+hn), (1) где hn - независимые одинаково распределенные случайные величины с плотностью вероятностей p(h). При конкретизации полученных результатов мы будем считать h нормальной случайной величиной с математическим ожиданием M{h}=| и дисперсией D{h}=CT2. Отличие этой модели от предложенной в [3] состоит в том, что в модели [3] считается, что цена на актив меняется в дискретные моменты времени, расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга. Мы же считаем, что цена актива меняется от сделке к сделке, т. е. ее изменение происходит в момент акта купли-продажи актива, а не само по себе. В этом случае цена закрытия SN=S0exp(h1+h2+...+hN), (2) где N- число сделок за сессию. Вторым предположением является то, что моменты сделок считаются пуассоновским потоком с постоянной интенсивностью X0. Это предположение достаточно адекватно описывает реальность в спокойные периоды финансовой жизни. В силу этого предположения число сделок N является случайной величиной, распределенной по закону Пуассона X р( N )=■ где X = X0T . Соотношение цен открытия и закрытия В силу (2) для нахождения соотношения величин SN и S0 надо найти плотность вероятностей величины (4) Н N=hl+h2+...+hN так как ln(S^S0 )=Hn . (5) Пусть p(h) есть плотность вероятностей величин hi, а gh(ra) есть характеристическая функция для p(h): gh (ю)= М ^ j=J p(h>toVh, -да т.е. gh(ro) - преобразование Фурье от p(h). Тогда характеристическая функция величины HN при фиксированном N равна [4] 8Hn (ю)=[?" (ю)Г. (6) Но число сделок N нас есть случайная величина, распределенная по закону (3). Поэтому, усредняя (6) по N и обозначая через H сумму h1+h2+...+hn при случайном числе слагаемых N, получим N klN X gH M=lg (co)]NN--X=e-X+WM), (7) n=0 N! и кумулянтная функция уН(ю) величины Несть у Н (ro)=lngH (ro)=X[gh (ю)-1] . (8) Найдем вероятностные характеристики величин H. Имеем уН (ю) = X g'h (ю), так что [4] М Н ЙуН (0)=xig h (0) . i i Но, по свойствам характеристической функции, 1 gh (0)=М {h}=|, (10) (11) так что (9) М {H }=X|. Далее, yh (ю) = X g"h (ю), так что [4] D{H }=-y""(0)=-Xgh(0). Но - g'" (0) = М {h2} = |2 + ст2, так что D{H }=X(| 2 +ст2). Перейдем теперь от величины H к величине ^ _Н-М{Н}_ H_Хц +ст2) ^/x(|i2 +ст2)' т.е. мы центрируем Ни нормируем ее дисперсию на 1, так что м|я|=0, £>|я|=1. Тогда по свойствам ку-мулянтных функций Г N (3) л Хц V ° ГП-' тн -74 / Найдем асимптотику v|/ „ (со) при X-т.е. в случае, н когда число сделок за сессию достаточно велико. Для этого разложим gh (ю) в ряд Тейлора gh Iю (ю)=1+/'ю ц--( ц2 +СТ2 )+0(ю3). Тогда уН (ю)=Х/юц--( ц2 +ст2 )+Хо(ю3) и для (ю) 2 н получаем v|/ „ (со )=- i , ^ +;1.|1ю д/х( ц2 +ш2 ) Д/х( Ц2 +ш2 ) -Хю2 (,Ц2+СТ2\+Х0 f1=-^+0 f| . (12) 2 Х( ц2 +ю2 ) U3/2 ) 2 {Л} У ' 2 Поэтому при Х^-да у (ю) ^--откуда следует, что я 2 при Х ^ да величина Н сходится по распределению к нормальной случайной величине N (0,1). Обозначая Нт величину Н, соответствующую последней сделке, можно считать, что при Х0Т>>1 величина Н является приближенно нормальной с М {Н }=Хц, D{H }=х( ц2 +ст2). (13) Цена закрытия ST , определяется соотношением lnST =lnS0 +Н, (14) и имеет при Х0Т>>1 логарифмически нормальное распределение Р ( ST /S0 )= ( ю F+V ( (lnST -lnS0 -Хц) ехр ST у] 2 яХ( ц2 +ст2 ) 1 (15) 2Х( ц2 +ст2 ) что и определяет соотношение между ценой открытия S0 и ценой закрытия ST. В частности, ( \ Хц (16) Vx( ц2 +ш2), p{st > S0 }=Р{Н >0}=Ф Пусть, как и выше, ht являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с плотностью вероятностей ph(h), функцией распределения Fh(h), математическим ожиданием М{h}=ц и дисперсией D{h}=a2. Для упрощения выкладок перейдем к величинам x,=(h-ц)/ш, так что M{x,}=0, D{x,}=1 и будем искать плотность вероятностей величин хм =max(x[ ,х2,.. jcN), хт =min(x, ,х2,. ,.,xN). (19) Очевидно, что Рх (x)= Ph (ц+шх) , Fx (x)= Fh (ц+ш-) , (20) и НМ=хМст+ц, Нт=хтш+ц, так что, зная характеристики величин хМ и хт можно найти характеристики величин Нми Нт, и далее Sm и Sm. Выведем сначала асимптотическую плотность вероятностей величины хМ при Х=Х0Т^да. Пусть число сделок N фиксировано. Тогда функция распределения FMx) величины хМ имеет вид [5] Fm (х)=Fx (x)N. Усредняя по N, получим да xN FM (x)=Z Fx (x)N^-x=exp(XFx (х)-Х) , (21) N=0 N! так что плотность вероятностей pM(x) величины хМ есть Рм (х)=FM (х)=Х Рх (x)exp(XFx (х)-Х) . (22) Найдем точку хХ, в которой плотность вероятностей рм(х) принимает свое максимальное значение. Логарифмируя (22), получим: пм (x)=lnрм (x)=lnX+ln рх (x)+XFx (х)-Х. (23) Для нахождения хХ приравняем к нулю %'м (х); тогда получим уравнение Р'х Ы, (24) Х Рх (хХ)=0 , Рх (хХ) которое и определяет точку хХ максимума Рм(х). Разложим пм(х) в ряд Тейлора около точки хХ и получим: (25) 2D{xxf (хх) (26) х (хх) х (хХ)' (х-хХ )2 (27) лм (х)=лм (xx )^Г7^»(х-хх )2 +• • где 2 '"(хх) =2 D{xx} Возвращаясь к РМ(х), получим, что при Х>>1 1 Рм (х)= где Ф( ) - функция Лапласа. Распределение максимальной цены Другим набором параметров, характеризирующим японскую свечу, является максимальная и минимальная цены сделок за период торговой сессии, т. е. величины Sm =max(Sj, S2,..., Sn ) , Sm =min(Sj, S2,..., Sn ) . (17) При этом следует иметь в виду, что число сделок N является случайной величиной. Для нахождения плотностей вероятностей величин SM и Sm достаточно найти плотность вероятностей величин Нм =тах(/г1 ,h2,.. JiN), Нт =min (hx ,h2 ,..JiN). (18) т.е. минимальное значение хм распределено асимптотически нормально с математическим ожиданием хХ и дисперсией D{x%}. Отсюда следует, что при Х>>1 величина hM также распределена асимптотически нор-ма-льно с М^М}=ц+стхХ и дисперсией ст^{хХ}, а SM имеет логарифмически нормальное распределение. Конкретизируем полученные формулы для случая, когда h являются нормальными случайными величинами, как это принято в стандартной модели [3]. Тогда , Fx (х)=ф(х) (28) 2 и уравнение (24) для хХ принимает вид () 1 f хЛ ' (х Vl^ хР ( Jl\ X (29) 2 или, после логарифмирования, 2 (30) 2 Из вида графиков функций, стоящих в уравнении (29) очевидно, что оно имеет единственный корень и xx монотонно возрастает с ростом X. Уравнение (26) дает лььдХт, (3» что и определяет асимптотическую дисперсию хм. D{xx} монотонно убытает с ростом X, т.е. с увеличением X флуктуации хм становятся все меньше и меньше. Совместное распределение максимальной и минимальной цены Найдем теперь совместную плотность вероятностей величин хт и хм в асимптотическом случае Х»Х. Если число сделок N фиксировано, то согласно [5] р{хт ,хм N )=N (N-Х)рх (хм Рх (хм )-Fx (хт )]N-2. (32) Усредняя по N, получим: Р(хт , хМ )= =Х2Рх (хт )Рх (хм >Хр[Х(Рх (хм УРх (хт )-l)] . (33) Найдем точку хтЛ, хш в которой р{хт, хи принимает свое минимальное значение. Логарифмируя Ахт ,хм )=1ПР(хт ,хм )= . x 'X exp (ххл/2п)= In! lnX . =21nX+1nРх (хт )+1nРх (хм y-XFx (хм \-XFx (хт )-Х (34) и приравнивая нулю производные от п(хт, хм) по хт и хм, получим систему уравнений Р(хмх) Р(хмх) Р(хтХ) Р(хтх) Х Р(хмх )=0, Первое уравнение этой системы совпадает с уравнением (24), второе отличается от него лишь знаком перед вторыш слагаемым. Разложим п(хт, хм) в ряд Тейлора около точки хт-к, xMX. В выфажении (34) нет «перекрестных» членов, т.е. членов, содержащих и хт, и хм. Поэтому это разложение имеет вид Х п(хт ,хм ~)=%(хт\ ,XMX Х (хм хм>) 2D{2мx} (Хт-Хш?У+--- 2D{Xтx} где D{xMX} и D{x„ix} имеют однотипные представления ^x) D{xx}=2 (36) Р(xx) 2 Р'(xx) Р(xx). в которое надо подставить либо xMX, либо хт%. Это выражение совпадает с (26). Таким образом, асимптотически при X»l _exp (хм хм>) pnD^x} I 2D{xmX} Х X (37) X Р(хт ,хМ )=" Л _exp (хт xx) V^Q I 2D{xmX} т.е. при X»l хт и хм асимптотически нормальны и независимы. Заметим, что в случае нормального распределения величин х хт^-х^, что вполне естественно. Возвращаясь к минимальной 8т и максимальной Sm ценам за период сессии легко получить, что они имеют логарифмически нормальное распределение, явный вид которого можно выписать. Полученные в данной работе соотношения можно использовать для анализа тенденций фондового и финансового рынков.

Скачать электронную версию публикации