The optimum estimation of states of the half-synchronous event flow in conditions of its partial observability.pdf Рассматривается дважды стохастический поток событий, интенсивность которого представляет собой кусочно-постоянный марковский процесс X{t) с двумя состояниями А.1 и %2, причем Xi>X.2. Будем говорить, что если Х(0 = A.J, то имеет место первое состояние процесса, если к(/) = Я.2, то - второе состояние. Если имеет место первое состояние процесса Ц /), то в те­ чение временного интервала, когда Х(0 = Х], генериру­ ется пуассоновский поток событий с интенсивностью Я,]. Если же имеет место второе состояние процесса Я,(0, то в течение временного интервала, когда Я.(/) = Хг, ге­ нерируется пуассоновский поток событий с интен­ сивностью Х.2. Особенностью рассматриваемого потока является то, что в момент наступления события процесс Х(/) может сменить первое состояние на второе с вероятно­ стью р либо остаться в первом состоянии с вероятнос­ тью 1 - р. Что касается второго состояния процесса Xit\ то длительность пребывания в нем является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному за­ кону F{i) = 1 - ехр(- рО, где р - интенсивность смены второго состояния на первое. Такой поток также назы­ вают полусинхронным МС-потоком событий [1]. Будем рассматривать описанный МС-поток собы­ тий в условиях его частичной наблюдаемости. Это оз­ начает, что момент наступления события инициирует время длительности Т, в течение которого исходный поток событий не доступен наблюдению. Этот период ненаблюдаемости называют мертвым временем. Бу­ дем считать, что события, наступившие в течение мертвого времени, не вызывают его продления. Дли­ тельность мертвого времени Т является детерминиро­ ванной величиной. По окончании периода ненаблю­ даемости исходный поток событий вновь доступен наблюдению. Таким образом, наблюдаемый поток событий - это поток, в котором отсутствуют события, наступившие в течение мертвого времени Т. Необходимо по наблюдениям за потоком событий на временном интервале (О, /] оценить состояние про­ цесса, имеющее место в момент времени t. Для реше­ ния данной задачи применяется подход, основанный на результатах теории условных марковских процес­ сов. Данный подход позволяет получить дифференци­ альные уравнения, определяющие распределение апо­ стериорных вероятностей для значений ненаблюдае­ мых компонент процесса Х.(0 при условии известных наблюдений. Результатом наблюдений являются моменты време­ ни ti, наступления событий в наблюдаемом потоке на интервале (О, /]. Необходимо найти условные (апо­ стериорные) вероятности либо X(l) = Х2 при условии, что известна реализация tj, ..., („ потока на интервале (О, /]. Решение о том, какое состояние про­ цесса Х(0 имеет место в момент времени t, выносится по методу максимума апостериорной вероятности [2] на основании сравнения вероятностей ....... /„) и выносить="" основании="" априорных="" вероятностей="" со­ стояний,="" а="" i="" 7",="" 1]="" апо­ стериорных="" состояний.зависит от числа событий , наступивших на предыдущем интервале времени ((к - значение процесса X(i) в момент времени kAt не зависит от числа событий г* +1 на интервале ((к - 2 )At, (к - 1)). Тогда имеют место следующие соотношения для вероятностей, входящих в выражение (2): Учитывая исходные предпосылки, с точностью до членов порядка о(А/) малости находим Таким образом, вероятность P(X^*^\ r^/X^•^ i), заданнгщ выражением (2), полностью определяется вероятностями (3). Обозначиv где г„ - последовательность наблюдений за время от О до mAt (го = 0); X*"* - последовательность нена­ блюдаемых (т.е. неизвестных) значений процесса X(kAt)(X{0) = X^^°^=X„i= 1,2). Пусть , X*" * ) - совместная вероятность от-мер- ных случайных величин г„и X*"*. Процесс (г*(А/), А.(АА/)) марковский, и совместная вероятность представ­ ляется в виде произведения вероятностей перехода: Рассмотрим условную вероятность ) значений процесса при условии, что наблюда­ лась реализация г„: (6) Подставляя в (6) выражение (4), затем (5), находим соответственно Найдем апостериорное распределение вероятностей процесса X(t) в момент времени t = mAt, т.е. в момент окончания наблюдений. Обозначим это рас­ пределение как w[x^^"4r„, ) или H - ( x ( " ) = x , / r J , н-(х=;сДг„). Зная совместное распределение вероятностей /п-мер- ной случайной величины находим с учетом (7) распределение вероятностей случайной координаты X^^”^ путем суммирования ) по переменным Используя (5), (6), запишем следующее соотноше­ ние, устанавливающее связь между ) и ) Проделав несложные выкладки, окончательно по­ лучаем рекуррентное соотношение для апостериор­ ных вероятностей в следующем виде: Получим дифференциальное уравнение для веро­ ятностей w( x*'”VF„, ) при А/->0, и когда момент вре­ мени mAt соответствует. Шаг 3: по формуле (11) вычисляется значение w{kilt\ + 0) = 9, т.е. начальное значение для вероят­ ности Я](/, /|) на интервале мертвого времени (/[, /] + 7]. Шаг 4: по формуле (1) вычисляется Я)(г, /О в любой момент времени t на интервале (ti, t\ + 7]. По этой же формуле вычисляется Я1(/1 + Г, t{), т.е. начальное зна­ чение для w(Xi/0 на отрезке (/j + Г, /2I. где /2 -мом ент наступления второго события. Шаг 5: по формулам (12) или (13) вычисляется ве­ роятность w(Xi/0 и wQ^ilt) на отрезке (Г] + Т, /2] и т.д. Проведены статистические испытания на ЭВМ пред­ ложенного алгоритма оценивания. Графики рис. 1 и 2 показывают поведение апостериорной вероятности для некоторых наборов параметров.

Скачать электронную версию публикации