Homomorphly stable abelian groups.pdf При изучении группы гомоморфизмов абелевыхгрупп и исследовании вполне характеристическихподгрупп интерес представляет следующий вопрос: вкаких случаях объединение (теоретико-множест-венное) гомоморфных образов абелевой группы A вабелевой группе B является подгруппой группы B.Введем следующее определение.Абелеву группу A назовем гомоморфно устойчи-вой относительно группы B , если объединение го-моморфных образов группы A в группе B являетсяподгруппой группы B, то есть еслиHom( , )ImၠΑB∪ ƒ -подгруппа группы B.Покажем, что класс гомоморфно устойчивыхгрупп замкнут относительно прямых сумм.Теорема 1. Пусть{ } i i I A  - семейство абелевыхгрупп, каждая из которых гомоморфно устойчива от-носительно группы B . Тогда группаi I Αi ⊕также го-моморфно устойчива относительно группы B .Доказательство. Пустьi I Α Αi= ⊕ , где i Α - гомо-морфно устойчива относительно группы B для лю-бого i  Ι . Надо доказать, что для группы B объеди-нение ∪ ƒm ƒ, где ƒ пробегает всю группуHom(Α,B), является подгруппой группы B . Рас-смотрим гомоморфизмы из группы Hom(Α,B). Лю-бой гомоморфизм из этой группы представляется ввиде: ƒ =(...,ƒi ,...), где ƒi - это ограничение гомо-морфизма ƒ на подгруппе Ai для всякого iI [1,теорема 43.1]. Для любого элемента a из группы A ,где a=ai1 ++aik ( ij ij a A ; j= 1,k), имеемi1 i1 ik ik ƒa= ƒa++ ƒa . Пусть элементы c,d принад-лежат множествуHom( )ImၠΑ, B∪ ƒ , тогда существуюттакие гомоморфизмы ƒ и ƒ из Hom(Α,B), чтоc= ƒa, d= ƒb, для некоторых элементов a,b изгруппы A . Представим элементы a и b в виде сум-мы своих координат (добавляя, если нужно, нулевыеэлементы; можно считать, что эти координаты берут-ся для a и b в одних и тех же группах Ai ):1i ik a=a +…+a , 1i ik b=b +…+b .Чтобы доказать, что множествоHom( )ImၠΑ,B∪ ƒ явля-ется подгруппой группы B, надо показать, что эле-мент c−d принадлежит этому множеству. Имеемi1 i1 ik ik c= ƒa= ƒa ++ ƒ a и i1 i1 ik ik d= ƒb= ƒb ++ ƒ b , изначит( ) ( ) c−d= ƒa−ƒb= ƒi1ai1 −ƒi1bi1 ++ ƒikaik −ƒikbik .Так как каждая группа i j A является гомоморфноустойчивой относительно группы B, то для всякогоj= 1,k разность ij ij ij ij ƒa − ƒb принадлежит объеди-нениюHom( )Imα  Ai j ,B∪ ƒ . Следовательно, для каждогоj= 1,k существуют элемент ij ij g  A и гомомор-физм Hom( , ) ij ij ƒ  Α B , такие, чтоij ij ij ij ij ij ƒ g = ƒa − ƒb. Следовательно, имеемi1 i1 ik ik c−d= ƒa− ƒb= ƒ g ++ ƒ g . Пусть ƒi - проек-ция прямого произведения Hom( )i IAi ,B ƒна группуHom( Ai ,B) . Выберем ƒ из ( )iHomIAi ,B ƒтак, чтоij ij ƒ ƒ = ƒ , если j= 1,k, а для всех остальных iƒiƒ = 0 . По теореме 43.1 [1. С. 213] элементу ƒ всилу изоморфизма Hom( ) Hom( )i Ii IΑi,B Αi,B⊕ ≅ƒ ,соответствует гомоморфизм из группы Hom( )i I Αi ,B ⊕,который отождествим с ƒ . Пусть 1i ik g =g+…+g.Имеем g  Α и c−d= ƒg. ƒg является элементоммножестваHom( )ImၠΑ, B∪ ƒ . Следовательно, группаΑ i I Ai= ⊕ является гомоморфно устойчивой относи-тельно группы B .Рассмотрим прямое произведение абелевых групп.Введем следующее определение.Абелеву группу A назовем гомоморфно связаннойс семейством групп { i }i I B  , если для любого семей-ства гомоморфизмов { i }iI ƒ , где ƒiHom(A,Bi), илюбого семейства { i }i I g  элементов группы A суще-ствуют такие элемент g  A и семейство гомомор-физмов { i }iI ƒ ( ƒiHom( A, Bi) ), что ƒigi =ƒig длявсякого iI.Заметим, что всякая циклическая группа гомо-морфно связана с любым семейством абелевых групп.Теорема 2. Пусть A - абелева группа, гомоморф-но связанная с семейством групп { } i i I B  . Группа Aгомоморфно устойчива относительно группы ii IB ƒ,если A гомоморфно устойчива относительно каждойгруппы семейства { i }i I B  .Доказательство. Пусть A - абелева группа, гомо-морфно связанная с семейством групп {Bi}iI , и A го-моморфно устойчива относительно каждой группы Bi.Рассмотрим гомоморфизмы из группыHom ii IA, B⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ƒ .Пусть Hom ii IA, B⎛ ⎞ƒ  ⎜ ⎟⎝ ⎠ƒ . Обозначим через ƒii-ю координатную проекцию i ii IB Bƒ  . Тогда, всилу изоморфизма Hom , i Hom( ,i)i I i IA B AB ⎛ ⎞⎜ ⎟ ≅⎝ ⎠ƒ ƒ[1, теорема 43.2], гомоморфизм ƒ можно отождест-вить с элементом (..., ƒi ,...) группы Hom( , i )i IA B ƒ,где ƒi= ƒiƒ ( ƒiHom(A,Bi)). Для всякого элемен-та aA имеем ƒi(ƒ a)=ƒia, то естьƒa=(...,ƒia,...).Пусть элементы a,b принадлежат множествуHom ,Imα A Bii I⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜⎝  ⎟⎠ƒ∪ ƒ , тогда существуют такие гомомор-физмы ƒ и ƒ из Hom ii IA, B⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ƒ , что a= ƒc, b= ƒdдля некоторых элементов c,d из группы A .Чтобы доказать, что множествоHom ,Imα A Bii I⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜⎝  ⎟⎠ƒ∪ ƒявляется подгруппой группы ii IB ƒ, надо показать,что элемент a−b принадлежит этому множеству.Имеем ƒc=(...,ƒic,...), ƒd=(..,ƒid,...), гдеƒi= ƒiƒ , ƒi= ƒiƒ .Значит a−b= ƒc− ƒd=(…, ƒic− ƒid, …). Таккак A является гомоморфно устойчивой относитель-но каждой группы Bi , тоHom( , )Imα A Biic idƒ − ƒ  ∪ ƒ .Следовательно, для любого индекса iI существуютгомоморфизм ƒiHom(A,Bi) и элемент gi  A , та-кие, что ƒic− ƒid= ƒigi.Учитывая, что группа A гомоморфно связана ссемейством групп { } i i I B  , получаем, что существуюттакие элемент g  A и семейство гомоморфизмов{ i}iI ƒ ( ƒiHom(A, Bi)), для которых ƒigi =ƒig .Рассмотрим гомоморфизм ƒ из группыHom ii IA, B⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ƒ , такой, что ƒiƒ = ƒi. Тогдаa−b=(...,ƒic− ƒid,...)= (...,ƒigi,...) = (...,ƒig,...) = ƒg.Так как Hom ii IA, B⎛ ⎞ƒ  ⎜ ⎟⎝ ⎠ƒ , g  A , тоHom ,Imα A Bii Ig⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜⎝  ⎟⎠ƒƒ  ∪ ƒ . Следовательно,Hom ,Imα A Bii I⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜⎝  ⎟⎠ƒ∪ ƒ -подгруппа группы ii IB ƒ. Значит группа A являетсягомоморфно устойчивой относительно группы ii IB ƒ.В [2] известное понятие вполне разложимой груп-пы распространено с абелевых групп без кручения напроизвольные абелевы группы.Абелеву группу назовем обобщенно вполне раз-ложимой, если она является прямой суммой группранга 1, то есть групп, каждая из которых изоморфналибо ненулевой подгруппе квазициклической группыZ ( p ) для некоторого простого числа p , либо не-нулевой подгруппе группы Q всех рациональных чи-сел.Теорема 3. Всякая обобщенно вполне разложимаягруппа гомоморфно устойчива относительно любойабелевой группы.Доказательство. По теореме 1 нам достаточнодоказать, что всякая группа ранга 1 является гомо-морфно устойчивой относительно любой абелевойгруппы.Пусть Α - циклическая p-группа, B - произволь-ная группа,( )1 2Hom ,, Imα A Ba a ∪ ƒ . Тогда существуюттакие гомоморфизмы ƒ,ƒ Hom(A,B), что 1 1 a= ƒb и2 2 a = ƒb для некоторых элементов 1 2 b,b  Α . Так какэлементы 1 2 b,b принадлежат группе Α , то их можнопредставить в виде: 1b =ka, 2b =ma, где a - образу-ющий элемент группы A. Рассмотрим разность 1 2 a a − .Имеем 1 2 1 2 a −a =ƒb− ƒb =ƒ(ka)− ƒ(ma)=(kƒ−mƒ)(a).ƒ,ƒ Hom( A,B) , поэтому разность (kƒ −mƒ) такжепринадлежит группе Hom(A,B). Обозначим эту раз-ность через ƒ . Тогда имеем 1 2 a −a =ƒa. Значит( )1 2Hom ,Imα A Ba a−  ∪ ƒ, поэтому Α является гомо-морфно устойчивой относительно любой абелевойгруппы.Если A ≅Z(p ) , то, учитывая локальную цик-личность группы Α и проводя рассуждения, анало-гичные вышеприведенным, получим, что Α - гомо-морфно устойчива относительно любой абелевойгруппы.Пусть Α - группа без кручения ранга 1; B - про-извольная группа;( )1 2Hom ,, Imα A Ba a ∪ ƒ . Тогда сущест-вуют такие гомоморфизмы ƒ и ƒ из Hom( Α,B) , что1 1 a= ƒb, 2 2 a = ƒb, для некоторых элементов 1 2 b,b изгруппы Α . Пусть b - некоторый ненулевой элементгруппы A . Так как Α - группа ранга 1, то существу-ют такие взаимно простые целые числа m и n , что1 mb = nb , и существуют такие взаимно простые це-лые числа k и l , что 2 kb = lb . Элемент b делится начисла n и l , то есть уравнения nx = b и lx = b раз-решимы в группе Α . Итак, 1bn b m = ; 2bl b k = . Неумаляя общности, можно считать, что числа n и l -натуральные. Пусть наименьшее общее кратное чиселn и l равно r и 1rn = n ; 1rl = l ( 1 1 n ,l N). Так какэлемент b делится на n и на l, то элемент b делится наr. Пусть br c = . Тогда 1 1 b =mnc, 2 1 b =klc. Имеем1 2 1 2 1 2 1 1 a −a =ƒ(b)−ƒ(b )=ƒ(mn c)−ƒ(kl c)=(mnƒ−kl ƒ)(c).Так как гомоморфизмы ƒ и ƒ принадлежат группеHom(A,B), то разность 1 1 mn ƒ−kl ƒ также принадле-жит этой группе. Значит( )1 2HomImα A,Ba a−  ∪ ƒ. Следо-вательно, группа Α является гомоморфно устойчивойотносительно любой абелевой группы.Рассмотрим теперь сепарабельные группы [3. С.7],то есть группы, в которых каждое конечное подмно-жество элементов содержится в некотором обобщен-но вполне разложимом прямом слагаемом. С помо-щью теоремы 3 получаем такой результат.Теорема 4. Всякая сепарабельная группа гомо-морфно устойчива относительно любой абелевойгруппы.Доказательство. Пусть A - сепарабельная груп-па, B - произвольная группа иHom( , ), Imα A Bc d ∪ ƒ.Существуют такие гомоморфизмы ƒ,ƒ Hom( A,B) иэлементы 1 2 a,a A, что 1 c= ƒa, 2 d= ƒa. Вкладываемэлементы 1 a и 2 a в обобщенно вполне разложимоепрямое слагаемое 1 A группы A ( 1 2 A=A⊕A). Пустьƒ - ограничение гомоморфизма ƒ на 1 A , а ƒ - ог-раничение гомоморфизма ƒ на 1 A . Имеем 1 c= ƒa,2 d= ƒa, ( ) 1 ƒ,ƒ'79

Скачать электронную версию публикации