On n-dimensionally orderer groups.pdf Различные обобщения понятия порядка в алгебраиче-ских системах для n-мерного случая рассматривались в ря-де работ, в том числе в [1, 2]. В настоящей заметке вводятсяопределения, рассматриваются примеры и свойства n-упо-рядоченных и n-циклически упорядоченных групп. Опре-деления 1-упорядоченной и 2-циклически упорядоченнойгруппы эквивалентны обычным определениям линейноупорядоченной и циклически упорядоченной группы соот-ветственно [3, 4].1. n-МЕРНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ И n-МЕРНОЦИКЛИЧЕСКИ УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ.ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫВсюду в этой статье через Xk обозначается мно-жество, состоящее из k элементов.Определение 1.1. n-упорядоченное множествоX , ƒ [5] называется n-циклически упорядоченным,если из того, что ƒ не обращается тождественно внуль на Xn+2  X , следует, что каждый элемент изXn+2 является внешним в Xn+2 , ƒ .Определение 1.2. Cистема < G,⋅,ƒ > называется n-упорядоченной (n-циклически упорядоченной) груп-пой, если есть n-упорядоченное (n-цикличес-ки упорядоченное) множество, < G,⋅> есть группа, ифункция порядка ƒ согласована с алгебраическойструктурой группы G , то есть для каждого множестваXn+1G,|Xn+1|=n+1 выполнено: ƒ(Xn+1)=ƒ(aXn+1b).Рассмотрим примеры n-упорядоченных и n-цикли-чески упорядоченных групп,1) Пусть C есть мультипликативная группа всехкомплексных чисел. Зададим на C ориентацию: еслиzk C,zk=a1k+ia2k, где 0≤ k ≤2, то положимblk =alk −a0k, (1)где 1≤k,l ≤2,ƒ(z1,z2,z3)=sgndet(blk).Поскольку для каждого aC при отображенииzaz ориентация плоскости остаётся неизменной,то порядок ƒ согласован с операцией умножения в C.Итак, < C, ƒ > есть двумерно упорядоченная мульти-пликативная группа.2) Пусть - циклически упорядо-ченная группа [3], где ƒ(x, y,z)есть функция порядка[6]. Тогда группа двумерно цикличе-ски упорядочена.3) Пусть < ℜn , + > - аддитивная группа с покоор-динатной операцией суммирования. Если ƒ(x, y,z) -ориентация в ℜn , заданная аналогично тому, как этосделано в примере 1) , то < ℜn ,ƒ > есть n-мерно упо-рядоченная группа.2. ОБ ОТДЕЛИМЫХ ЭЛЕМЕНТАХПусть есть n-упорядоченное множество,aG,YG. Элемент a называется точкой, отдели-мой от множества Y, если существует граньXn  G, такая, что для каждого y Y выполненоƒ(Xn,y)≤0 и ƒ(Xn,a)=1, или для каждого y Yвыполнено ƒ(Xn,y)≥0 и ƒ(Xn,a)= −1. ЕслиY=G\{a}, то будем говорить, что точка a отделимав [7].Лемма 2.1. Пусть есть n-упорядоченноемножество, aXn+2 G. Если a не является внеш-ней точкой в , то a не является и отдели-мой в .Доказательство. Если ƒ  0 на Xn+2 , то утвер-ждение очевидно. Пусть теперь множество Xn+2 яв-ляется невырожденным в < C, ƒ > . Тогда в существует, по крайней мере, две внеш-них грани G1,G2. Пусть a не является внешней точ-кой в . Отсюда |G1G2|=n−1. Не на-рушая общности, можно считать, чтоG1=(g1,…,gn−1,b), G2=(g1,…,gn−1,c). По опреде-лению внешней грани имеемƒ(G1,a)= ƒ(G1,c)0,ƒ(G2,a)= ƒ(G2,b)0. (2)Заметим, что из равенства ƒ(G1,a)= ƒ(G2,a) сле-довало бы, что a является внешней точкой в. Таким образом, ƒ(G1,a) ƒ(G2,a). По-ложим для определённостиƒ(G1,a)=1,ƒ(G2,a)= −1. (3)Предположим, что точка a отделима в ,то есть существует грань P, такая, чтоƒ(P,a) =1,ƒ(P,x)≤0 для каждого x Xn+2 \ {a} . Из(2) следует, что PG1, PG2. Возможны 2 случая:a) P получается из G1 заменой некоторого элементаgi элементом с, b) P получается из G2 заменой неко-торого элемента g j элементом b. Рассмотрим эти слу-чаи.a) Имеем( , ) ((gi) 1, )ƒ P a =ƒ c G a .Отсюда((gi ) 1, ) 1.ƒ a G c = −Согласно (3), ((gi ) 1, ) 1ƒa G gi= − , то есть a - внеш-няя точка в , что противоречит условию.b) По определению отделимой точки,( , ) ((g j) 2, ) 0ƒ P gi= ƒ b G gj≤ ,следовательно, ƒ(G2,b)≥0. Однако из (2) и (3) выте-кает, что ƒ(G2,b)= −1. Получили противоречие.Итак, элемент a не является отделимой точкой в , что и требовалось.Лемма 2.2. Пусть < C, ƒ > есть n-упорядоченноемножество, Xn+2 - его невырожденное подмножест-во, aXn+2 . Если a не является отделимой точкой в, то a не является отделимой и в < C, ƒ > .Доказательство. Пусть a является отделимойточкой в < C, ƒ > . Покажем, что a отделима в каждомневырожденном подмножестве Xn+2  G , таком, чтоaXn+2 . Согласно условию, существует граньPG, для которой ƒ(P,a)=1, ƒ(P,y)≤0 для всехy G\{a} . В силу невырожденности Xn+2 сущест-вует множество YnXn+2 , для которого ƒ(Yn,a)0.Так как P отделяет точку a от множестваXn+2 \{a} ,то существует грань P Xn+2 , котораяотделяет a в (3). Лемма доказана.Следствие 2.3. Пусть < G, ƒ > есть n-упорядо-ченное множество, Xn+2 - его невырожденное под-множество, aXn+2 . Если a является отделимой точ-кой в < G, ƒ > , то a является внешней точкой в Xn+2 .Предложение 2.4. В каждом конечном невырож-денном n-упорядоченном множестве < C, ƒ > сущест-вует хотя бы одна отделимая точка.Доказательство будем вести индукцией по раз-мерности n. При n=1 справедливость утверждениявытекает из существования во всяком конечном ли-нейно упорядоченном множестве наибольшего и наи-меньшего элементов. Пусть для (n - 1)-упорядочен-ных множеств предложение доказано. Покажем, чтооно верно и для n-упорядоченных конечных мно-жеств. Пусть < S, ƒ > есть конечное невырожденноеn-упорядоченное множество, тогда в < S, ƒ > сущест-вует нестрого внешняя грань G, то есть такая грань,что для всех x  S имеем ƒ(G,x)≥0. Обозначим че-рез H гиперплоскость, порождаемую гранью G,H={xS|ƒ(G,x)=0}.Так как G - грань в < S, ƒ > , то для каждогоAH,|A|=n+1, имеем ƒ(A)=0. Применяя теоремуо проекции n-упорядоченного множества [5], полу-чим: функция ƒa , определяемая равенствомƒa(x1,…,xn)= ƒ(x1,…,xn,a), является функцией(n - 1)-мерного нетривиального порядка в H. Попредположению индукции, в < H, ƒa > существуетотделимая точка b. Пусть грань K в < H, ƒa > отделя-ет точку b, то есть ƒa(K,b)=1, ƒa(K,x)≤0 для каж-дого x H\ {b} .Во множестве S\Hвведём отношениеx≺y ƒ(K,x,y)≤0. Нетрудно показать, используяаксиомы n-порядка [5], что заданное отношение явля-ется предпорядком на множестве S\H. Поэтомунайдётся такой элемент cS\H, что для всякогоx S\Hимеем x ≺ c , то естьƒ(K,x,c)≤0. (4)Пусть теперь x  H . Так как ƒ(G,a)= ƒ(G,c), тоƒa= ƒc [5]. Следовательно,ƒ(K,x,c)= ƒc(K,x)= ƒa(K,x).Отсюдаƒ(K,b,c)=1,ƒ(K,x,c)≤0 при x H\ {b} . (5)Из (4) и (5) получаем ƒ(K,с,b)= −1,ƒ(K,с,x)≥0для каждого x S\ {b} . Таким образом, элемент b яв-ляется отделимой точкой в S, ƒ . Предложение дока-зано.Следствие 2.5. В конечной n-упорядоченнойгруппе с нетривиальным порядком все элементы яв-ляются отделимыми.Справедливость утверждения вытекает непосред-ственно из леммы 2.2 и согласованности функции по-рядка с алгебраической операцией группы.Теорема 2.6. Каждая конечная n-упорядоченнаягруппа с невырожденным порядком является n-цикли-чески упорядоченной.Доказательство. Пусть G, ƒ - конечная n-упо-рядоченная группа с невырожденным порядком. По-кажем, что она является n-циклически упорядочен-ной. Согласно следствию 2.5, все элементы группы Gявляются отделимыми в G. По следствию 2.3, каждыйэлемент G является внешней точкой во всяком невы-рожденном подмножестве Xn+2  G . Теперь, по оп-ределениям 1.1 и 1.2, группа {G, ƒ} является n-ци-клически упорядоченной.Приведем без доказательства следующую теорему.Теорема 2.7. Каждая двумерно упорядочиваемаягруппа G с невырожденным порядком тогда и толькотогда вкладывается с сохранением порядка в группу Cвсех корней из единицы, когда она локально-конечна.Следствие 2.8. Группа С всех корней из единицыесть максимальная локально-конечная двумерно упо-рядочиваемая группа с невырожденным порядком.Следствие 2.9. Каждая локально-конечная дву-мерно упорядочиваемая группа с невырожденным по-рядком является локально-циклической.

Скачать электронную версию публикации