About a system of differential equations.pdf В доказательстве теоремы о коэффициентах голо-морфных однолистных в единичном кругеЕ = {z : ⏐z⏐ < 1} функцийf(z) = z + С2(f) z2 + … + Сn(f) zn + … ,выполненном Луи де Бранжем [1] и рассмотренном в[2], используются системы дифференциальных урав-ненийy1 = (n - 1)y1 , (1)1112 ( 1) ( ) ( )ss+ j+s j sjy n - j y n s y−= = ƒ − − −(s = 2, …, n - 1), удовлетворяющие начальным усло-виям ys,n(0) = sn−s, t  [0, +) (в ней n = 2, 3, … фик-сировано).Решение этой задачи Коши дается системой функ-цийYs,n(t) = ( )1( 1) 2 2 2 1 .s s rn r trn r n ren r s r r−− −=− ⎛ − ⎞⎛ − ⎞− ⎝⎜ − ⎠⎟⎝⎜ − ⎠⎟ ƒИх называют многочленами Бранжа. Эти много-члены являются монотонно убывающими до нуля наположительной части вещественной полуоси. Этотфакт и позволил Луи де Бранжу решить задачу о ко-эффициентах. Таким образом, решение системы прификсированном n (на самом деле, совокупности сис-тем, так как при фиксированном n = 2, 3, … возникаетконкретная система обыкновенных дифференциаль-ных уравнений с постоянными коэффициентами) прилюбых заданных начальных условиях и установлениенеобходимых и достаточных условий, которым долж-ны удовлетворять начальные значения, чтобы соот-ветствующие интегральные кривые системы были за-ведомо монотонными, заслуживают особого изученияв рамках геометрической теории аналитическихфункций средствами теории дифференциальных урав-нений и теории специальных функций.Найдем решение системы (1) с произвольными на-чальными условиями и укажем достаточные условия,которым должны удовлетворять эти константы, чтобыпроизводные соответствующих решений были отри-цательными при t  [0, +).Обозначим через Yn(t) = {Y1,n(t),..., Ys,n(t),...,Yn-1,n(t)}решение системы (1), удовлетворяющее начальномуусловию Yn(0) = {ƒ1, …, ƒs, …, ƒn-1}, где ƒs - произ-вольные числа. Функцию Ys,n(t) , являющуюся s-йкомпонентой решения Yn(t), представим в явной фор-ме. Для этого сначала найдем общее решение системы(1). Числовая матрица, составленная из коэффициен-тов при ys,n в правых частях уравнений системы, яв-ляется нижней левой треугольной матрицей. Ее ха-рактеристические значения ƒr легко находятся:ƒr = - (n - r) (r = 1, …, n - 1). Частное решение систе-мы (1), соответствующее каждому ƒr (r = 1, …, n - 1),будем искать в видеy(r)(t) = { 1, (), , 1, ()} ƒ re nrtƒn re nrt,где ƒs (s = 1, …, n - 1) - некоторые постоянные числа.Найдем их.Для этого построим систему линейных однород-ных алгебраических уравнений:(1- r) ƒ1,r = 0,211sj−= ƒ(-1)s+j+1(n - j) ƒj,r + (s - r) ƒs,r = 0(s = 2, …, n - 1).Решая эту систему, получим:если s < r, то ƒs,r = 0,если s = r, то, не умаляя общности, будем считатьƒr,r = 1,если r + 1 ≤s ≤ n - 1, тоƒs,r = (-1)s-r( )( ) ( )2 2 !! 2 !n rs r n s r−− − −= (-1)s-r2n 2rs r⎛ − ⎞⎜⎝ − ⎟⎠.Тогда частное решение системы (1), соответст-вующее ƒr = - (n - r), r = 1, …, n - 1, будет иметь вид:( ) { ( ) ( ) }r ( ) 1r, , r1n y t y y−= … , где( ) ( )( )0 при 1, , 1,( ) при ,( 1) 2 при 1, , 1.r nr tss r n r ts ry t e s rsn rre s r n− −− − −⎧⎪= −⎪= = ⎨⎪⎪⎩ − ⎛⎜⎝ −− ⎞⎟⎠ = + −……Обозначая через Хr,n произвольные постоянные,запишем общее решение системы (1):( ), ,1( ) ( 1) 2ssr nr ts n r nry t sn rr X e− − −== − ⎛⎜⎝ −− ⎞⎟⎠ ƒ(s = 1, …, n - 1). (2)Как обычно,( 1) ( 1) при 0,!1 при 0,0 при 0a a a m mma m mm− − + ⎧ > ⎪⎪⎛⎜ ⎞⎟=⎨ =⎝ ⎠ ⎪ < −⎪⎩…биномиальные коэффициенты, m - целое, а - ком-плексное число.Построим частные решения системы (1) ( ), kys n (t)(k = 1, …,n - 1, s = r + 1, …, n - 1), удовлетворяющиеначальным условиямy n (0) = 0, …, ( ), kyk n (0) = 1,( )1,kyk+ n(0) = 0, …, ( )1,kyn− n(0) = 0.Из совокупности систем линейных неоднородныхалгебраических уравнений( ) ( ), ,1(0) ( 1) 2sk sr ksn rnry sn rrX−== − ⎛⎜⎝ −− ⎞⎟⎠ ƒ (3)(k = 1, …,n - 1, s = r + 1, …, n - 1),последовательно решая каждую, получим, что прификсированном k = 1, …,n - 1 решение ( )1,kX n , …, ( ),kXr nсоответствующей системы будет иметь вид:при k = 1 (r = 2, …, n - 1)(1)X1,n = 1, (1)Xr,n = (2 2)(2 1)!( 1)!(2 1)(2 2 )!n n rr n r n r− − −=− − − −=22 212 11,n n rn r r− ⎛ − − ⎞− − ⎜⎝ − ⎟⎠при k = 2 (r = 3, …, n - 1)(2) (2)1, 2,(2),0, 1,(2 4) (2 ( 2))!( 2)! (2 ( 2))(2 2 )!22 422 22,n nr nX XX n n rr n r n rn n rn r r= =− − += =− − + −= −−− ⎛⎜⎝ −− − ⎞⎟⎠при k = 3 (r = 4, …, n - 1)(3) (3) (3)1, 2, 3,(3),0, 0, 1,(2 6) (2 ( 3))!( 3)! (2 ( 3))(2 2 )!22 632 33,n n nr nX X XX n n rr n r n rn n rn r r= = =− − += =− − + −= −−− ⎝⎛⎜ −− − ⎠⎞⎟Нетрудно заметить, что первые (k - 1) решенияуравнений каждой системы (3) равны нулю. Предпо-ложим, что при любом k (k = 4, …, n - 1 ) решениесистемы (3) имеет вид:если r < k, то ( ),kXr n = 0,если r = k, то ( ), kXk n = 1,если k + 1 ≤ r ≤ n - 1, то( ),2 2 22kr nX nn r kk nr rk k= −− − ⎛⎜⎝ −− − ⎞⎟⎠.Тогда частные решения системы (1), соответст-вующие начальным условиям ( )1,ky n (0) = 0, …,( ), kyk n (0) = 1, ( )1,kyk+ n(0) = 0, …, ( )1,kyn− n(0) = 0, будутиметь вид( ) ( ),1( ) ( 1) 2sk sr n r ts nry t sn rr e− − −== − ⎛⎜⎝ −− ⎞⎟⎠ ƒ(2nrk,rk) (s = 1, …, n - 1). (4)Линейная комбинацияХr,n = ( ),1 12 2 22r rkk rn kk k= X = nn r kk nr rk kƒ = ƒ −− − ⎛⎜⎝ −− − ⎞⎟⎠ ƒ ƒ(r=1,…,n−1),где ƒs - произвольные числа, будет являться решени-ем алгебраической системы (2) с начальными усло-виями уs,n(0) = ƒs, тогда s-я компонента Ys,n(t) решенияYn(t) t  [0; +) дифференциальной системы (1) с на-чальными условиями Ys,n(0) = ƒs будет иметь видYs,n =1 1( 1) 2 2 2 2 22s rs rr kn r n k n r ks r n r k r k−= =− ⎛⎜⎝ −− ⎞⎟⎠ −− − ⎛⎜⎝ −−− ⎞⎟⎠ ƒƒ ..ƒk e-(n-r)t (s = 1, …, n - 1). (5)Распишем систему (5) и сгруппируем коэффици-енты при ƒr, получимYs,n = ƒ11( 1) 2 2 22 212 11ss lln l n n ls l n l l−=− ⎛⎜⎝ −− ⎞⎟⎠ −−− ⎛⎜⎝ −−−= =+ − −− −= − + − −+ −= −ƒ…При t = 0 имеет место формула (см. [3. С. 489])2 1( )( , ; ;1) (Re( ) , , )( )nnF n b c c b c b n c bc−− = − >− C . (6)Воспользуемся ею, учитывая обозначения s - 1 = k,n - k = m, получим(1),(2 2 )(1 ) (2 2 )(1 )(0) .!(2 2) ( )!(2 )k srs nP n r k n r s rk m k s r m s r− − − − + −= =+ − − − −При s = 1 (1)Ps,n (0)=1, при s = 2, …, n - 1 (1)Ps,n (0)=0.Рассмотрим ( ),rPs n , коэффициент при ƒr,( ) ( ),( 1) 2 2 2 2 2 .2sr sl n l ts nl rP ns ll nn l rr nl lr re− −−== − ⎛⎜⎝ −− ⎞⎟⎠ −− − ⎛⎜⎝ −−− ⎞⎟⎠ ƒЗаменим здесь индекс l на j, полагая s - l = j, ипусть s - r = k (k = 0, …, n - r -1), m = n - k - (r - 1).Учитывая, что(2 )! (2 2 1) ,( )!(2 2)! ( )!n l r n l l rl r n l l r− − − + −=− − −получим( ),( )(2 2 )(2 2 1) (2 1)( 1)( )!( )!(2 )rs nssl l r s lnl tl rP n rn l n l s el r s l n l r− − −−−== − − + − − + − =− − − − ƒ( 1)2 1(2 1) (2 2 ) ( ,2 2;2 1; )!(2 2)(1, , , 0, , 1).m k n rem tF k mk m etk m kr sk nr− − − − −= − + − −+ −=

Скачать электронную версию публикации