The construction and properties of generalized matrix rings of n order (n ? 2).pdf В теории колец важную роль играют различныекольца матриц. Среди них выделяются кольца обоб-щенных матриц произвольного порядка n. Работ, вкоторых бы специально изучались кольца обобщен-ных матриц порядка n, большего двух, по-видимому,нет. Однако кольца обобщенных матриц порядка 2можно встретить в ряде изданий научной литературы[1,2]. Это подтверждает несомненную пользу изуче-ния таких колец. Они появляются в самых разнооб-разных ситуациях. Кольца обобщенных матриц по-рядка 2 появляются при рассмотрении морита-контекстов или ситуаций предэквивалентности [3,4].Эти кольца получили также интересные примененияпри исследовании абелевых групп как модулей надкольцами эндоморфизмов [5].В настоящей статье дано построение колец обоб-щенных матриц произвольного порядка n (n ≥ 2), ус-тановлены связи этих колец с кольцами эндоморфиз-мов модулей и с абстрактными кольцами. Также по-казано, что кольцо обобщенных матриц порядка n(n>2) изоморфно некоторому кольцу обобщенныхматриц порядка k для всякого k, где 2 ≤ k ≤ n - 1.Все рассматриваемые в работе кольца - ассоциа-тивные с единицей, модули - унитарные. Введем сле-дующие обозначения. Пусть A и B - R-модули. ТогдаEndR (A) - кольцо эндоморфизмов R-модуля A,HomR(A,B) - группа гомоморфизмов из A в B. Прямуюсумму и тензорное произведение модулей обозначаемсимволами ⊕ и ⊗ соответственно. Наконец, Z(R) -центр кольца R.Перейдем к основному содержанию работы. Длялюбого натурального числа n (n≥2) определим кольцоопределенных матриц порядка n. Назовем его коль-цом обобщенных матриц (порядка n). Пусть R1,R2,…,Rn - кольца, Mij - Ri-Rj-бимодуль (i, j =1,…,n),причем Mii=Ri для i=1,…,n. Обозначим через K мно-жество матриц (aij ) порядка n, где aijMij (i, j=1,…,n).Относительно обычного сложения матриц K образуетабелеву группу. Определим операцию умноженияматриц. Предположим, что для любых i,k,j=1,…,nимеется отображение : ikj ik kj ij M M M ϕ  .Считаем,что ϕiij и ϕikk совпадают с модульными умножениямиRiMijMij и Mik  Rk  Mi k соответственно (на-помним, что Ri=Mii при всех i). Пишем ϕikj(a,b)=ab длялюбых aMik , bMkj. Теперь для (aij ),(bij )K полагаем(aij)(bij)=(сij), где1nij ik kjkc ab==ƒ (aikMik, bkjMkj).Лемма 1. Множество K является кольцом отно-сительно введенных операций сложения и умноженияматриц тогда и только тогда , когда для каждых i,k, j (i,k,j= 1,…,n) отображения ϕikj билинейны и «ас-социативны» в следующем смысле: a(bc)=(ab)c длялюбых a Mik, b Mkj, c Mjl.Доказательство. Как уже отмечалось, 〈К, + 〉 -абелева группа. Непосредственными вычислениямипроверяется, что ассоциативность умножения в K эк-вивалентна ассоциативности всех отображений ϕikj , азаконы дистрибутивности эквивалентны билинейно-сти всех ϕikj . Билинейность ϕikj подразумевает спра-ведливость равенствϕikj (a, b+c )= ϕikj (a, b) + ϕikj (a, c)и ϕikj (a+b, c )= ϕikj (a, с) + ϕikj (b, c)для всех элементов a, b, c соответствующих бимоду-лей. Лемма доказана.Напомним, что отображение ϕikj :Mik  Mkj  Mijназывается сбалансированным (над Rk), если онобилинейно и ϕikj (ar, b)= ϕikj (a,rb) для всех aMik ,bMkj ,r Rk .Хорошо известно, что сбалансированное отобра-жение ϕikj индуцирует гомоморфизм абелевых групп: ϕikj Mik⊗RkMkjMij , такой, что ϕikj (a⊗ b)=ϕikj (a,b)для всех aMik , bMkj [3]. Наоборот, имея такой го-моморфизм ϕikj , с помощью записанного равенстваможно получить сбалансированное отображение ϕikj .Удобнее иметь дело с гомоморфизмами ϕikj , а не сотображениями ϕikj, поэтому переформулируемлемму 1 в других терминах. Допустим, что для любыхi, k, j=1,…,n, таких, что i k и k j, дан гомоморфизм: ϕikj Mik⊗RkMkjMij абелевых групп. Для i = k иk = j считаем, что ϕiij и ϕijj - это соответствующиеканонические изоморфизмы Ri⊗RiMijMij иMij ⊗RjRj Mij . Полагая ϕikj(a,b)= ϕikj (a⊗b) (aMik,bMkj ) , получаем сбалансированное отображение Mik Mkj  Mij для всех i, k, j. Пишем ϕikj (a,b)=ab. С по-мощью ϕikj , как и выше, определяем умножение в K.Лемма 2. Множество K является кольцом отно-сительно введенных операций сложения и умножениятогда и только тогда , когда для каждых i, k, j, l (i, k,j, l=1,…,n; i k, k j, j l) гомоморфизм ϕikj являетсяRi-Rj-бимодульным и a(bc)=(ab)c для любых a Mik ,b Mkj и cMjl.Доказательство. Уточним, что ϕikj (a ⊗ b) =ϕikj (a,b) = ab для всех aMik, bMkj (i, k, j=1,…,n).Необходимость. Пусть K - кольцо. По лемме 1имеем a(bc) = (ab)c (aMik, bMkj, cMjl, i, k, j,l = 1,…,n). Ri-Rj-бимодульность гомоморфизма ϕikjозначает, что ϕikj (r(a⊗b))=r ϕikj (a⊗b) и ϕikj ((a⊗b)s)== ϕikj (a⊗ b)s для всех aMik, bMkj, rRi, sRj.Но ϕikj (r(a⊗b)) = ϕikj (ra⊗b) = ϕikj(ra,b) = (ra)b == r(ab) = rϕikj(a,b) = r ϕikj (a⊗b). Аналогично доказыва-ется равенство ϕikj ((a⊗b)s)= ϕikj (a⊗b)s.Достаточность. Для всех i, k, j, l=1,…,n, таких,что i k , k j и j l, получаем, что отображения ϕikjбилинейны и a(bc)=(ab)c для любых aMik, bMkj,cMjl. При i=k или k=j билинейность ϕikj следуетиз того, что Mij - Ri-Rj-бимодуль. Действительно, приi=k имеем модульное умножение ϕiij :RiMijMij .Так как r(m1+m2)=rm1+rm2 и (r1+r2)m=r1m+r2m длялюбых r,r1,r2Ri и m,m1,m2Mij , то ϕiij билинейно.Если k = j, то имеем модульное умножениеϕikk :MikRkMik и билинейность ϕikk получаетсяввиду того, что Mik - Ri-Rk-бимодуль.Почему a(bc)=(ab)c, если i=k, или k=j, или j=l?Прежде заметим, что при i=k или k=j гомоморфизмыϕikj являются Ri-Rj-бимодульными. Если i=k, то нуж-но убедиться, что r(bc)=(rb)c, где r Ri ,b Mij, c Mjl .Имеем r(bc)=rϕijl(b⊗c)=ϕijl(rb⊗c)=(rb)c , посколькуϕijl - гомоморфизм Ri-бимодулей. Аналогично для j=l.Пусть k=j. Убедимся, что a(rc)=(ar)c, где a Mik,rRk, cMkl. Можно записать a(rc)=ϕikl(a⊗rc)==ϕikl(ar⊗c)=(ar)c по свойству тензорного произве-дения.Все условия леммы 1 выполняются. Следователь-но, K - кольцо. Лемма доказана.Построенное кольцо K будем называть кольцомобобщенных или формальных матриц порядка n илипросто кольцом матриц порядка n. Гомоморфизмыϕikj будем обозначать как ϕikj . Отметим одно важноеобстоятельство, касающееся определения кольца K.Вполне очевидно, что, беря другой набор гомомор-физмов ϕikj из леммы 2, мы получим другое кольцо K.Таким образом, возникает проблема классификацииколец обобщенных матриц, то есть проблема нахож-дения условий изоморфизма двух колец обобщенныхматриц, построенных по разным наборам гомомор-физмов ϕikj .Всегда есть «тривиальное» кольцо, соответствую-щее случаю, когда ϕikj=0 для всех i, k, j, таких, чтоi  k и k j. Представляют интерес различные кольцатреугольных матриц. А именно, если Mij=0 для всехi>j, то получаем кольцо всех верхних треугольныхматриц. При Mij=0 для всех i2, изоморфно некоторому кольцуобобщенных матриц порядка k для всякого k=2,…,n-1.Доказательство. Пусть K - произвольное кольцообобщенных матриц порядка n (n>2).Возьмем k=2. Применяя предложение 1, получаемEnd K ≅ K (A) , где1niiA A==⊕ - некоторый правый K-модуль, причем Ai 0 для всех i. Обозначим через Bпрямую сумму A2⊕…⊕An . Тогда A=A1⊕B и попредложению 1 1 12121 2EndK ( )K A B MR MR≅ ⊕ =⎛⎜ ⎞⎟⎝ ⎠, гдеR1=EndK(A1), R2=EndK(B), M12=HomK(B,A1),M21=HomK(A1,B). Таким образом, матричное кольцо Kизоморфно кольцу матриц порядка 2.Данное утверждение можно доказать и непосред-ственно. Введем следующие обозначения. ПоложимM1=(M12, … ,M1n),212n1MMM⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Скачать электронную версию публикации