)' href='/uploads/import/790/files/280-055.pdf'>Generalized solution of differenteal equations y = f (x, y').pdf Обозначим через I промежуток [a, b]R1. Пустьмножество DR1 открыто и CD - произвольная по-стоянная.1. Уравнение Клероy = xy' + ƒ(y), x  I, (1)где ƒ - функция, определенная на D.Как известно, это уравнение решается в курсахдифференциальных уравнений методом введения па-раметра p = y(x). В таком случае приходится предпо-лагать существование производной p(x) на I (еслирешение ищется в явной форме: y=xp+ƒ[p(x)]) илисчитать, что вторая производная функции ƒ(p) не-прерывна на D (если ограничиться решением в пара-метрической форме: x = -ƒ(p), y=xp + ƒ(p)).Оба эти предположения выглядят, вообще говоря, из-лишними: например, существование второй произ-водной решения y(x) = p(x).В связи с этим мы введем следующее понятие«обобщенного решения».Определение. Обобщенным решением уравнения(1) назовем всякую функцию y(x) вида( ) ( ), [, ],xay=ptdt+aC+ƒC xI= a b (2)где p(x) - любое интегрируемое по Лебегу решениеинтегрального уравнения( ) ( ) ( ( ))- - ( )xa p t dt =xp x +ƒ p x aC ƒC п.в. на I , (3)удовлетворяющее условиям: p(a) = C, p(I)  D(п.в. - почти всюду).Легко видеть, что функция (2) почти всюду на Iудовлетворяет уравнению (1). Действительно, подста-новка ее в правую часть уравнения даетxp(x) + ƒ(p(x)) почти всюду, что, в силу (3), равно(2).В случае, когда ƒ Yu¼¸Легко видеть, что функция (5) почти всюду на Iудовлетворяет уравнению (4). Действительно, подста-новка ее в правую часть уравнения дает[ ( )] xϕ p x +ƒ[p(x)] почти всюду, что, в силу (6), равно(5). Очевидно, если C - корень уравнения p= ϕ(p),то функция p(x) C есть решение уравнения (6).2.1. Относительно существования решения инте-грального уравнения (6) заметим следующее.В случае, когда ϕ,ƒ C1(D) и p(x) имеет про-изводную почти всюду, дифференцирование равенст-ва (6) дает для п.в. x  I :p(x)= ϕ[p(x)]+ xϕp[p(x)]⋅ p(x)+ ƒp[p(x)]⋅ p(x), (7)то есть «классическое» уравнение для p(x) . Еслиp(x) удовлетворяет x  I уравнению (7) и условиюp(a) = С , причем p(x) существует всюду на I , ко-нечна и не меняет знак (например, неотрицательна),то p(x) является решением уравнения (6). Действи-тельно, p(x) монотонна на I . Значит p(x) сумми-руема на I [2. С. 187]. Поэтому функция[ ( )] p xd p x рdxƒ = ƒ ⋅  (8)существует всюду, конечна и суммируема. А тогда, всилу тождества (7), функция( [ ( )]) - p xd x p x p рdxϕ = ƒ ⋅  (9)существует всюду на I , конечна и суммируема. По-этому из (8) и (9) следует [2. С. 234], что[ ( )] - [ ( )] ( ) - [ ( )] [ ( )],xaƒp x ƒp a = p t dt xϕp x +aϕp aто есть p(x) - решение уравнения (6).2.2. Так же доказывается более общее утвержде-ние. Если ϕ'p , pƒ существуют всюду на D и ко-нечны, а p(x) всюду на I удовлетворяет уравнению(7) и условию p(a) = С , причем производная функ-ции ƒ[p(x)] существует всюду, конечна и суммируе-ма на I , то p(x) - решение уравнения (6).Данное понятие обобщенного решения заслужива-ет внимания еще и потому, что множество решенийуравнения (6) может быть шире множества решенийp(x) уравнения (7).2.3. Этот абзац имеет методическую цель. Чтобынайти решение уравнения (7), рассмотрим на Dуравнение[p- (p)] dx (p)x (p),dpϕ =ϕ + ƒ (10)предполагая, что ϕ(p) p на D . Как известно, длялюбого сегмента SD общее решение x(р, С) урав-нения (10) выписывается явно. И если в дальнейшемограничиться лишь такими решениями х(р) уравнения(10), что x(p)  0 всюду на D , то, согласно извест-ной теореме Дарбу [3. 224], производная p(x) со-храняет знак на D , то есть либо всюду положительна,либо всюду отрицательна. Обратная для x(p) функ-ция p(x) тогда строго монотонна и удовлетворяетуравнению (7). Ясно, что при этом мо записатьрешение уравнения Лагранжа в параметрическойформеx = x(p, C), y = pϕ(p) + ƒ(p). (11)Заметим еще, что для записи в параметрическойформе решения уравнения Клеро нужна еще непре-рывность ƒ(p). Это не требуется в (11).3. Уравнение y= f(x, y), xI.Пусть f (x, p) - функция, определенная наI  D, и CD - произвольная постоянная.Определение. Обобщенным решением уравненияy= f(x, y) назовем всякую функцию y(x) вида( ) ( , ),xay= ptdt + fa Cгде p(x) - любое определенное всюду на I интегри-руемое по Лебегу решение интегрального уравнения( ) ( , ( )) - ( , )xa p t dt = f x p x f a C п.в. на I, (12)удовлетворяющее условиям: p(a) = С , p(I)  D.Для того, чтобы существовало определенное всю-ду на I решение p(x) интегрального уравнения (12),необходимо, чтобы p(x) почти всюду удовлетворялообыкновенному дифференциальному уравнениюp(x) d [ f (x, p(x))],dx= (13)и достаточно, чтобы существовало суммируемое на Iрешение p(x) уравнения (13), определенное всюдуна I.4. ЗамечаниеК другому понятию обобщенного решения урав-нения Клеро приводят следующие соображения. Еслифункцию p(x) удалось подобрать так, что она еще идифференцируема почти всюду на I , непрерывна иx  -ƒp(p(x)), то функцияy=xp(x) + ƒ[p(x)] (14)удовлетворяет в точках существования p(x) уравне-нию Клеро: это проверяется просто подстановкой ее вуравнение (1). А это значит, что пару функцийx = -ƒ(p), y=xp + ƒ(p) (15)можно считать его «обобщенным решением в пара-метрической форме», если не требовать в (15) диффе-ренцируемость функции ƒ(p). Целесообразность та-кого понимания решения состоит в том, что при этомнет нужды выражать p через x. Однако отказ от тре-бования дифференцируемости функции x = -ƒ(p)не вполне естествен для понятия решения в парамет-рической форме дифференциального уравнения, [4.С. 97].Если же из уравнения x = -ƒ(p) удается явновыразить функцию p(x) , обладающую всюду на Iконечной производной, то решению (15) соответству-ет явная форма (14). При этом нельзя, видимо, дока-зать, что функция (14) является обобщенным решени-ем в смысле определения из пункта 1, например, еслиp(x) существует всюду и конечна на I , но не сум-мируема на I .

Скачать электронную версию публикации