About equicontinuity property of mappings with (s, ?)-bounded characteristic.pdf Пусть Rn - евклидово n-мерное пространство,n = 3, 4, 5, … , n х R  , ( ) 1 2 , , ... ,n x = x x x ,( )12 2 22x = x1+x2+...+xn , Вn − шар x < 1 . ЕслиDRn − область, то через D и D обозначим со-ответственно границу и замыкание области D в Rn .Пусть Sr (y)={xD: x−y = r}. Через( ),, sup () ()x y Ef E f x f yƒ = − обозначим колебаниеотображения f :DRn на множестве Е  D .Определение 1. Будем говорить, что отображение: n f D R  принадлежит классу ( ) , sКf Qƒ D , если1 ( )f Wn,locD- непрерывное, открытое, изолиро-ванное отображение, якобиан отображенияJ(x,f )>0почти всюду в D;существует постоянная К > 0 , такая, что при фик-сированных s , ƒ , 1 ,1s Rn< <  ƒ −, интеграл( ) ( ) ( )( )1,2, , ,1sss nDI f D x f r x D dx Kxƒƒ⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ƒ  ⎟ ≤⎜⎜ + ⎟⎟⎝ ⎠ ,где ( ) ( ) ,,f nx fJ x fƒ = , r(x, D) - евклидово расстоя-ние от точки х до границы D области D.Назовем отображение f :DRn отображениемс (s, ƒ)-усредненной характеристикой ( f Qs,ƒ (D) ),если ( ) , sKf Qƒ D при каком-либо конечном К > 1Известно [1], что Qs,ƒ ⊄BLp,ƒ приp n , s pn p< 1, такая, что при фик-сированных s , ƒ , 1< s < ,ƒR , интеграл( )( ) ( ) ( )( ),12, ,, ,1sssnDI fkDx f r x D k x y dx Kxƒƒ=⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ƒ  − ⎟≤⎜⎜ + ⎟⎟⎝ ⎠для всех yD, где ядро k(t) удовлетворяет условию( ( )) 1 11 10nk t s ts dt +ƒ− + + = + , {, 0.0, 0.ƒ = ƒ ƒ ≥ƒ − ⎝⎜ + ƒ⎠⎟, 0< ƒ − ⎝⎜ + ƒ⎠⎟, 0< ƒ 0 существует r[r1,ƒ] , такое, что( )( ) ( ) ( )( )11 1 1,, nsnss nxBrs n sx xC fr xBkxxdf Sk tt dt+ƒƒ+ +ƒ− −− ⎛ ⎞⎜ +ƒ   −  ƒ⎟⎜ ⎟ƒ ≤⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎟⎝ ⎠. (1)Отсюда, в силу монотонности f и неравенства(1), получаем( ) ( ) ( ( ( ))) ( ( ))( )( ) ( ) ( )( )11 1 1,,, , nn nr rsnss nxBrs n sx xf x f x d f B x f B xC fr xBkxxdf Sk tt dt+ƒƒ+ +ƒ− −− −  ≤  =ƒ  ≤⎛ ⎞⎜ +ƒ   −  ƒ⎟⎜ ⎟≤ƒ ≤⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎟⎝ ⎠так как ƒ > 0 произвольно, то утверждение теоремыдоказано.Следствие 2. Если в условиях и обозначенияхтеоремы 2 положить( ) ( )1s 1 nk t =ks + t =tƒ− , 0< ƒ < s − ƒ,ƒ ≥ 0 ,то для любых точек x,xF, таких, что1 ( , )2x−x < rFBn , выполняется неравенство( ) ( )( ) ( ) 11 1 , ,nss n x ns sn s s nsBf x f xf x r x B dС x xx x+ƒ ⎛⎜ − ƒ+ƒ⎞⎟ +− ⎝ ⎠ −  ≤⎛ ƒ  ƒ⎞≤⎜ ⎟ −⎜⎝  − ⎟⎠Следствие 3. Если в условиях и обозначенияхтеоремы 2 положить ( ) ( )11 1nss sk t ks t t−ƒ+ += −ƒ = , то длялюбых точек x,x F, таких, что1 ( , )2x−x < rFBn , выполняется неравенство( ) ( )( ) ( ) 2, , ln 1 1 .nss n ns sx nsn sBf x f xf x r x B dСx x x x+ƒ +−− −  ≤⎛ ƒ  ƒ⎞≤⎜ ⎟⎜⎝  − ⎟⎠  − Из следствия 3 получаем следующий результат опорядке равностепенной непрерывности семействаотображений класса s, ( , n)f QК ƒ k B ƒ .Теорема 3. Пусть F= {f} − семейство моно-тонных отображений,s, ( , n )f QК ƒ k B ƒ ,s (n 1) 1 , 0 , 0 1⎛ ƒ⎞> − ⎜⎝ + ƒ⎟⎠ ƒ ≥ < ƒ − ⎜⎝ + ƒ⎟⎠ ƒ ≥ < ƒ − ⎜⎝ + ƒ⎟⎠ ƒ ≥ < ƒ

Скачать электронную версию публикации