The numeric method of conformal mapping of the half-hlane into self with the hydrodynamics normalization.pdf Конформные отображения широко используются прирешении разнообразых задач естествознания (электростати-ки, гидравлики, гидро- и аэродинамики, теории упругости идр.).Особое место в теории и практике конформных отобра-жений занимают отображения с «гидродинамической» нор-мировкой, при которой нормировочные условия предписы-вают отображению в окрестности бесконечно удалённойточки быть близким к тождественному отображению. Так, взадачах теории упругости, гидро- и аэродинамики естест-венным требованием к комплексному потенциалу z= ϕ(w)в неограниченной области течения, во внешности обтекае-мого профиля, является условие(ϕ(w)−w)0 при w   ,выражающее тот факт, что на бесконечном удалении от об-текаемого профиля поток остаётся неискажённым.Данная работа посвящена разработке нового численногометода построения конформного отображения неограни-ченной односвязной области, принадлежащей верхней по-луплоскости, на верхнюю полуплоскость с гидродинамиче-ской нормировкой.На основе предлагаемого метода созданы две програм-мы (HalfPlan.pas, HPChrGauss.pas). Первая программа по-зволяет находить конформный образ данной неограничен-ной односвязной области, расположенной в верхней полу-плоскости, на верхнюю полуплоскость. Результатом работыэтой программы служат, в частности, значения параметров вформуле Шварца - Кристоффеля, используемых второйпрограммой для нахождения гидродинамически нормиро-ванного обратного отображения - полуплоскости на даннуюобласть в полуплоскости. Опробование программ расчётамиразличных моделей областей свидетельствует об эффектив-ности метода.1. ПОСТРОЕНИЕ ПРЯМОГООТОБРАЖЕНИЯ B → Пz1.1. Пусть B - неограниченная односвязная об-ласть, принадлежащая верхней полуплоскостиƒw ={w:Imw>0} и получающаяся удалением изƒw ограниченного замкнутого множества (см. рис.1).Будем считать, что всякая ограниченная часть грани-цы ƒ области B представляет собой кусочно-гладкую жорданову кривую без точек возврата.B w0w ƒƒ0Рис. 1. Исходная область В в верхней полуплоскостиПусть w= f(z) - аналитическая в полуплоскостиƒ z ={z:Imz>0} функция, осуществляющая (одно-листное) конформное отображение ƒ z на область Bс гидродинамической нормировкой( ),Im 0lim ( ) 0z zf z z >− = . (1)Пусть z= ϕ(w) - аналитическая в области Bфункция, обратная к w= f(z) , нормированная соот-ветственно условию (1).1.2. Отображение ϕ : B  ƒz получим как резуль-тат следующих последовательно осуществлённыхотображений:- области B на область Bƒ внутри единичногокруга Eƒ ={ƒ: ƒ 0 сусловиями ƒ(0)=0, ƒ(0)=1. Действительно, со-вершив преобразование подобия ƒ1 ƒ1/ R и пово-рота плоскости вокруг начала на угол arg ƒ(1) , полу-чим функцию ƒ(ƒ) =e−i argƒ(1)ƒ(ƒ)/R, отображаю-щую Bƒ на круг E1 с условиями ƒ(1) =1, ƒ(1) > 0 .Для построения нормированного указанными вы-ше условиями отображения ƒ:BƒER применяетсяитерационный алгоритм, аналогичный [2,3], основан-ный (см.[4]) на минимизации функционалаI( n) n( )dsƒƒƒ =  ƒ ƒ , выражающего длину образаграницы области Bƒ при отображении функциейƒ1 = ƒn(ƒ) вида20n( ) Fn(t)dt, ƒ ƒ ƒ =  (3)где1( ) 1 ( )ƒnkn k kkF i=ƒ = + ƒ ƒ + ƒ , (4)с достаточно большим номером n .Решая задачу на экстремум 2 Fn( )ds minƒƒ ƒ  ,приходим к следующей системе линейных алгебраи-ческих уравнений относительно действительных ко-эффициентов ƒk,ƒk(k=1, 2,...,n) :0101( ) ,( )nk km k km mknk km k km mkg g gg g g∗=∗ ∗=⎫ƒ +ƒ =− ⎪⎪⎬⎪ƒ −ƒ =−⎪⎭ƒƒ(m= 1,...,n). (5)Здесь обозначено:m k cos( ) ,gkm r mkdsƒ+ƒ=

Скачать электронную версию публикации