On the variational and parametrical methods in the theory of univalent functions.pdf Метод внутренних вариаций Шиффера - Голузина и ме-тод параметрических представлений Левнера играют значи-тельную роль в геометрической теории функций комплекс-ного переменного. Они занимают видное место в литерату-ре [1 - 6] и составляют содержание многочисленных статейс исследованием и решением экстремальных задач теорииоднолистных отображений. Были предложены различныеварианты объединения этих методов, существенно обога-тившие практику решения экстремальных задач.Данная работа касается взаимосвязей рассматриваемыхметодов с подходом к затрагиваемым вопросам по возмож-ности с наиболее простых позиций. Известные теоремы по-лучают новые варианты доказательств, а известные форму-лы - новые выводы. Вниманию читателя предоставляютсяна этом фоне отдельные оригинальные факты как научного,так и научно-методического характера. Используемая сис-тема обозначений позволяет воспринимать весь материалкак единое целое, хотя и не всегда повторяет обозначенияоригинальных источников.В §1 приведена теорема Г.М. Голузина с доказательст-вом К. Поммеренке fW[7]. §Kак следствие, представлена вариа-ционная формула Шиффера - Голузина в классе S голо-морфных однолистных в круге E={z: |z| < 1} функций f (z),f (0) = 0, f (0) = 1, дан новый вывод вариационной формулыв подклассе S* класса S звездообразных функций f (z) (т.е.таких, что f (E) является областью, звездообразной относи-тельно нуля), а также получена одна вариационная формулав классе S.В §2 представлено уравнение Левнера - Куфарева, дока-зана теорема о существовании и свойствах его решения.В §3 приведены различные случаи интегрирования урав-нения Левнера - Куфарева: как классические (формула Ба-зилевича [8], интегральное представление класса S*), так иоригинальные (при некоторых частных видах уравненияЛевнера - Куфарева).В §4 посредством уравнения Левнера - Куфарева полу-чены вариационные формулы в плотном подклассе класса Sфункций, предельных для решений этого уравнения.В §5 приведены варианты объединения рассматривае-мых методов, предложенные Н.А. Лебедевым [9] иП.П. Куфаревым [10], а также одна вариационная формулаМ. Шиффера [11].§1. ВАРИАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ В КЛАССЕ SМетод внутренних вариаций был предложенМ. Шиффером в 1943 году. Позднее Г.М. Голузинпредставил свой вариант этого метода, получив ва-риационные формулы при меньших предположенияхоб отображениях. Представленная ниже вариационнаяформула является основной в методе Г.М. Голузина.К. Поммеренке упростил доказательство теоремы 1.Пусть D 

Скачать электронную версию публикации