Investigation of number of persons insured in Russian Federation retirement fund in conditionof transitional incoming flow.pdf 15 декабря 2001 года был принят новый Федеральныйзакон «Об обязательном пенсионном страховании в Россий-ской Федерации» [1], который предполагает новую системуначисления и выплаты пенсии [2]. На каждого работника вПенсионном фонде открывается личный счёт, отчисленияна который осуществляет работодатель в размере 28 % отзаработной платы работника.Пенсия каждого застрахованного [3] состоит из трёхчастей: базовая, страховая и накопительная.Базовая часть - 14 % (из 28 %) от заработной платы.Выплачивается в обязательном порядке, независимо от то-го, сколько денег было перечислено на счёт застрахованно-го лица.Страховая часть составляет 8 % (из оставшихся 14 %) отзаработной платы.Накопительная часть составляет оставшиеся 6 %. День-ги из накопительной части вкладывают в ликвидные ценныебумаги, проценты по которым выше инфляции. Таким обра-зом, государство пытается сохранить реальную ценностьденег, составляющих накопительную часть. К сожалению,до пенсии в России доживают не все, поэтому если застра-хованное лицо не доживёт до пенсии, то денежные средстваиз накопительной части выплачиваются наследникам.После выхода на пенсию застрахованное лицо начинаетполучать денежные выплаты из Пенсионного фонда РФ -пенсию.Таким образом, можно выделить две фазы в отношенияхмежду застрахованным лицом и Пенсионным фондом: АК-ТИВНУЮ - выплата денег в Пенсионный фонд и ПАССИВ-НУЮ - получение пенсии.Основной целью данной работы является построениематематической модели Пенсионного фонда РоссийскойФедерации и исследование с помощью данной модели чис-ла лиц, находящихся на активной и пассивной фазах.За основу при построении модели берется теория массо-вого обслуживания [4 − 6]. Основными инструментами приисследовании модели являются теория случайных процес-сов [7, 8] и теория дифференциальных уравнений [9]. В ра-боте, после построения математических оценок, получен-ный результат проверяется на реальных статистических дан-ных [10, 11]. На основе этих данных находится ожидаемоечисло людей, за которых будут перечисляться деньги в пен-сионный фонд и которым нужно будет платить пенсию.Оценки строятся с прогнозом на 20 и 60 лет соответственно.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬВ качестве математической модели для исследованиячисла лиц, застрахованных в Пенсионном фонде Рос-сийской Федерации или его региональном органе, мож-но рассматривать бесконечно линейную двухфазнуюсистему массового обслуживания. На её вход поступаетнестационарный пуассоновский поток заявок с интен-сивностью ƒ(t). За единицу времени берем календарныйгод. Каждый застрахованный в Пенсионном фонде про-ходит две фазы: активную и пассивную. Первая фаза попродолжительности равна рабочему стажу перед выхо-дом на пенсию. Вторая, пассивная фаза, соответствуетпериоду получения пенсии застрахованным лицом.Будем полагать, что продолжительность пребыва-ния застрахованного лица на каждой фазе случайнаявеличина и имеет экспоненциальное распределение спараметрами ƒ1 и ƒ2 соответственно.После пребывания на первой фазе застрахованноелицо переходит на вторую с вероятностью (r < 1), а свероятностью (1 − r) покидает систему. Смысл r дос-таточно очевиден - это вероятность того, что человек,начав работать, доживёт до пенсии.Состояние рассматриваемой системы обозначим(i(t), j(t)), где i(t) - число активных клиентов, j(t) - чи-сло пассивных клиентов, (i(t), j(t)) − двумерный мар-ковский случайный процесс. Обозначим P(i, j, t) егораспределение вероятностей, т.е. P(i, j, t) = P(i(t) = i,j(t) = j).Рассмотрим два момента времени: t и t + ƒt. Запро-межуток ƒt в системе может произойти одно из-менение, либо не произойти вовсе. Вероятность того,что в системе за ƒt произойдет два события, имеетпорядок малости выше первого.Пусть в момент t + ƒt система находится в состоя-нии (i, j). Рассмотрим состояния, в которых системамогла быть в момент t:1) (i, j) - за ƒt в системе не произошло никаких из-менений;2) (i − 1, j) - на первой фазе за ƒt появился новыйклиент, т.е. работодатель начал осуществлять отчис-ления в Пенсионный фонд ещё за одного человека;3) (i, j + 1) - за ƒt систему со второй фазы покинулодин застрахованный человек, говоря попросту, умеродин пенсионер;4) (i + 1, j) - за ƒt на первой фазе стало на одногочеловека меньше, т.е. умер работающий человек, недожив до пенсии;5) (i + 1, j − 1) - за ƒt застрахованное лицо пере-шло с первой фазы на вторую, значит, один из рабо-тающих людей благополучно стал пенсионером;Применяя ƒt-метод можно записать равенство( )( ) ( ) ( ) ( )( )1 221 1( , , ) (1 )(1 )(1 ), , 1, , ( 1) , 1,( 1)(1 ) 1, , ( 1) ( 1, , ) ,P i j t t t t i t j tP i j t t P i j t t j P i j t ti r Pi jt t i r Pi jt t+ ƒ = − ƒ ƒ − ƒ ƒ − ƒ ƒ  + ƒ − ƒ + + ƒ + ƒ ++ + − ƒ + ƒ + + ƒ + ƒиз которого после несложныхЧтобы решить данную систему дифференциаль-ных уравнений, воспользуемся методом производя-щих функций. Определим производящую функцию:( ) ( )0 0, , , i j , .i jG x y t x y P i j t = == ƒ ƒ (2)Начальное условие:0 0 00 0( , , ) ( , , ) i j (, , )i jG x y t g x y t x y P i j t = == = ƒ ƒ .Помножим уравнение (1) на xiy j и просуммируемпо i и j. В итоге получим дифференциальное уравне-ние с частными производными первого порядка:G 1(x 1 r(y 1))Gt x + ƒ − − − + 2(y 1) G (t)(x 1)G.y+ƒ − = ƒ −(3)Система характеристических уравнений имеет вид1( 1 ( 1))dt d xx ry= =ƒ − − −2.( 1) ( ) ( 1)d y d Gy t x G= =ƒ − ƒ −(4)1) Для нахождения первого интеграла рассмотримуравнение 2 1dt dyyƒ =−, из которого получим ln (y − 1) == ƒ2(t − t0) + ln C1. Первый интеграл равен2( 0)C1= (y − 1) e−ƒ t −t .2) Чтобы найти второй интеграл, рассмотримуравнение2 0 1 ( )1.1 t tdt d xx rCeƒ − ƒ =− −Неодно-родное дифференциальное уравнение имеет вид2( 0)dx 1(x 1) r1C1e t tdt= ƒ − − ƒ ƒ − .Решим однородное дифференциальное уравнение:dx 1(x 1)dt= ƒ − , 1( 0)x−1=C2(t)eƒ t−t ,2 1( 0) 2( 0)1 1dC (t)e t t r C e t tdtƒ − = − ƒ ƒ − ,2 (2 2)( 0)1 1dC (t) r Ce t tdt= − ƒ ƒ −ƒ − ,(2 2)( 0)2 11 22 1C (t) = − r ƒC(eƒ −ƒ t−t −1) +Cƒ −ƒ,из чего следует2 2 0 1 01 0( )( ) ( )1 12 1( )21 ( ).t t t tt tx r Ce eC eƒ −ƒ − ƒ −ƒ −− = − ƒ − +ƒ −ƒ+Второй интеграл равен1 1 2( 0) 1( 0) 1( 0)22 1C [x 1 rƒC (eƒ t−t eƒ t−t )]e−ƒ t−t= − + −ƒ −ƒ.3) Для нахождения третьего интеграла рассмотримуравнение( )( 1)dt dGt x G=ƒ −, для которого нетруднопоказать:2 001 0 1 00 01 1 ( )32 1( ) ( )2exp[ ( ( )( ) ) ( ) ].ts ttt ts t s tt tC G r C se dsse C se dsƒ −ƒ − ƒ −ƒ= ƒ −ƒ −ƒ− ƒ − ƒ Пусть ϕ - произвольная функция, тогда общее ре-шение уравнения (2) можно записать следующим об-разом: C3 = ϕ (C1, C2), где C1 и C2 получены ранее. Вявном виде это выглядит так:2 0 2 001 001 2 0 1 0 1 0021 ( ) ( )2 1( ) 12 1( )( ) ( ) ( )(exp [ ( 1) ( ( )( ) ) ( 1 ( 1)(1 )) ( ) ](( 1)tt t s ttts tttt t t t s tttG r y e s e dss e ds x r ye e s e dsy e− ƒ − ƒ −ƒ −ƒ − ƒ − − ƒ − ƒ −− ƒ −ƒ −ƒ −ƒ − ƒƒ −− ƒ − − + ƒ − ƒ − ƒ == ϕ −01 2 0 1 0)1 ( )( ) ( )2 1;( 1 ( 1)(1 )) ) .tx rƒ y− eƒ − ƒ t −t e−ƒ t−t− + −ƒ − ƒПоложим t = t0. Тогда G (x, y, t0) = g (x, y), откуданаходим ϕ: ϕ(x,y)=g(y+1,x+1) . Следовательно:2 0 2 001 0 1 002 0 2 001 021 ( ) ( )2 11 ( ) ( )2 1( ) ( )1 ( ) 12 1 2 1(( , , )exp[ ( 1) ( )( 1 ( 1)) ( )( 1) ( ) ](( 1 ( 1)) ( 1))ts t s tttt t s ttts t s ttt ttG x y tr y e se dsx r y e se dsx e se dsg x r y e r ye−ƒ − ƒ −−ƒ − ƒ −−ƒ − ƒ −−ƒ −−ƒ=ƒ −= − ƒ +ƒ −ƒƒ −+ − + ƒ +ƒ −ƒ+ − ƒ ƒ − ƒ − − + − ƒ −ƒ ƒ −ƒ−t0)+1;(y−1)e−ƒ2(t−t0 )+1;t).(5)При t0 − по формуле полной вероятности полу-чим (1,1,0) ( , ,0) 1i jg=g t =ƒƒPi j t = . Сгруппировавслагаемые, получаемG(x,y,t)=exa1(t)eya2(t), (5')где 1( ) 1 ( ) 1.ta t e−ƒt s eƒsds−= ƒ  (6)( ) 1 ( ) 1( ) 2( )2 12 .ta t r s e−ƒ t−s e−ƒ t−s ds−=ƒ ƒ−ƒ ƒ ⎡⎣ − ⎤⎦  (7)С другой стороны,0 0( , , ) i j ( , , )i jG x y t x y P i j t = == ƒ ƒ .Разложив exp в формуле (5) в ряд Тейлора и срав-нив с равенством (4), получим( ) 1( ) 1( ) 2( ) 2( ), , .! !i ja t a t a t a tP i j t e ei j= − − (8)В итоге получили, что распределение вероятно-стей числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде,является произведением двух пуассоновских распре-делений с параметрами a1(t) и a2(t) − среднее числолиц, находящихся на первой и второй фазах соответ-ственно. В любой момент времени число лиц, застра-хованных на первой и второй фазах, стохастическинезависимо.ОЦЕНКА ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВС ПОМОЩЬЮ РЕАЛЬНЫХ СТАТИСТИЧЕ-СКИХ ДАННЫХНахождение интенсивности нестационарноговходящего потока ƒ(t) заявок в Пенсионный фондРоссийской ФедерацииДля нахождения интенсивности нестационарноговходящего потока одними из главных критериев яв-ляются уровень рождаемости и смертности в Россий-ской Федерации. Рассмотрим рождаемость в Россииначиная с 1940 г.Для построения входящего потока необходимоучесть несколько важных факторов:1) Одними из главных критериев при построениивходящего потока являются уровни рождаемости исмертности в Российской Федерации.2) Мужчины в России рождаются с вероятностью0,52, соответственно женщины рождаются с вероят-ностью 0,48.3) Предполагаем, что средний возраст выхода наработу составляет 20 лет.4) По статистическим данным в наши дни лишь 95 %мужчин и 96 % женщин доживают до 20 лет.5) Уровень смертности в 1940−1960 гг. был гораз-до выше настоящего.Таким образом, ƒ(t) - интенсивность входящегопотока числа лиц, застрахованных в Пенсионномфонде, строится отдельно для мужчин и для женщин.Данные интенсивности с учётом рождаемости исмертности можно построить с прогнозом до 2020 г.На рис. 1 приведён график интенсивности входя-щего потока (кривая 1 соответствует интенсивностивходящего потока мужчин, застрахованных в Пенси-онном фонде Российской Федерации, а кривая 2 -ин-тенсивности входящего потока женщин).0,50,70,91,11,31960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 ГодыЧисленность,млн чел.12Рис. 1Нахождение среднего числа застрахованных лиц,находящихся на первой a1(t) и второй фазах a2(t)Напомним выражения для a1(t) и a2(t) :1( ) 1 ( ) 1ta t e−ƒt s eƒsds−= ƒ  ,( ) 1 ( ) 1( ) 2( )2 12ta t r s e−ƒ t−s e−ƒ t−s ds−=ƒ ƒ−ƒ ƒ ⎡⎣ − ⎤⎦  .Чтобы найти конкретные значения, необходимоучесть следующие положения:1) Продолжительность пребывания застрахованно-го лица на каждой фазе - случайная величина и имеетэкспоненциальное распределение с параметрами ƒ1 иƒ2 соответственно.1.1. Мужчины: продолжительность пребывания напервой фазе равна 40 годам, т.е. ƒ1 =1/ 40 .Исходя из статистических данных, в среднем муж-чины на пенсии находятся 15 лет, то есть ƒ2 =1/15 .1.2. Женщины: продолжительность пребывания напервой фазе равна 35 годам, т.е. ƒ1 =1/ 35 .Исходя из статистических данных, в среднем жен-щины на пенсии находятся 22 года, т.е. ƒ2 =1/ 22 .2) 2.1. Вероятность того, что мужчина, начав рабо-тать, доживёт до пенсии, равна 0,69, т.е. r = 0,69.2.2. Вероятность того, что женщина, начав рабо-тать, доживёт до пенсии, равна 0,91, т.е. r = 0,91.Используя прикладные программы можно вычис-лить конкретные значения a1(t) и a2(t).На рис. 2 представлен график, на котором показанообщее ожидаемое число «активных» клиентов (чис-ленность трудоспособного населения) Пенсионногофонда Российской Федерации с прогнозом на 20 лет.74767880828486881960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 ГодыЧисленность,млн.чел.Рис. 2На рис. 3 показано среднее число пенсионеров вРоссийской Федерации с прогнозом до 2055 г.323334351995 2005 2015 2025 2035 2045 2055 2065 ГодыЧисленность,млн.чел.Рис. 3Краткий анализ полученных результатовПроанализировав полученные данные, приходитсяпризнать, что построенная марковская модель не со-всем адекватна реальной жизни. Необходимо услож-нять полученную модель.АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕТак как суммарная для мужчин и женщин интен-сивность ƒ(t) по нашим оценкам от 1 до 2,5 млн, тофункцию ƒ(t) представим в виде ƒ(t) = ƒƒ(t), гдеƒ = 106. Определим положительный малый параметр:ƒ = 1/ƒ. Выполним замены:ƒ = ƒi , ƒ = ƒj , 21 P(i, j,t) = ƒ(ƒ,ƒ,t,ƒ)ƒ. (9)Здесь функция ƒ(ƒ,ƒ,t,ƒ) удовлетворяет условиюнормировки20 0 ,( , , , ) 1 ( i, j, ) i j 1,i jt d d Px y t ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ = ƒƒ ƒƒ =ƒ   ƒесли полагать xi = i, yj = j, ƒƒi = ƒƒj = ƒ, и имеет смысласимптотической двумерной плотности распределе-ния вероятностей асимптотических значений вектора{ƒi(t),ƒj(t)}.Выполнив замены (9) в системе (1), получим ра-венство( )1 2211 1( , , , ) ( ( ) ) ( , , , )( , ,,) ( ) ( , ,,)(1 ) ( ) ( , , , )( ) ( , ,,). (10)t t ttt t tr tr tƒ ƒ ƒ ƒ= −ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ++ƒƒ ƒ ƒ − ƒ ƒ ƒ + ƒƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ ƒ + ƒ ƒ ++ − ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ ++ ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ + ƒ ƒ − ƒ ƒРазложив функции в правой части по приращени-ям аргументов с точностью до o(ƒ), выполнив не-сложные преобразования, обозначивƒ(ƒ,ƒ,t,ƒ) = ƒ(ƒ,ƒ,t) ,получим уравнение1( , ,t) { (t) ) ( , ,t)}tƒ ƒ ƒ = − ƒ − ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ − ƒ{(1r 2) ( , ,t)}.− ƒ ƒ−ƒ ƒƒ ƒƒƒ(11)которое совпадает с вырожденным уравнением Фокке-ра - Планка. Общий вид уравнения Фоккера - Планка22( , ) { ( , ) ( , )}1 { ( , ) ( , )}.2t a t ttb t tƒ ƒ = − ƒ ƒ ƒ + ƒ+ ƒ ƒ ƒƒ(12)Для нашего уравнения коэффициенты диффузиинулевые:b(ƒ,t) =0 и b(ƒ,t) =0,а коэффициенты переноса имеют видa(ƒ,t) =ƒ(t)−ƒ1ƒ,a(ƒ,t) =ƒ1rƒ−ƒ2ƒ ,которые определяют двумерную функцию (ƒ(t),ƒ(t))следующей неоднородной системой двух линейныхдифференциальных уравнений:11 2( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ).d t t tdtd t r t tdtƒ ⎧ = ƒ − ƒ ƒ ⎪⎨⎪ ƒ = ƒ ƒ − ƒ ƒ⎩(13)1. Решим первое уравнение:1d (t) (t) (t),dtƒ= ƒ − ƒ ƒ1d (t) (t),dtƒ= −ƒ ƒ1d dtƒ= −ƒƒ,ƒ = Ce−ƒ1t ,dC = ƒ(t)eƒ1t dt ,( ) 1tC seƒ sds−=  ƒ ;( ) 1 ( ) 1tt e−ƒt seƒsds−ƒ =  ƒ . (14)Получили ƒ(t) - асимптотически среднее числоработающих, т.е., сколько у Пенсионного фонда ак-тивных клиентов в любой момент времени.2. Решим второе уравнение с учётом найденногоƒ(t) :1 11 2( ) ( ) ( )td t re t s e sds tdt−ƒ ƒ−ƒ=ƒ ƒ −ƒƒ ,2d (t) (t)dtƒ= −ƒ ƒ ,ƒ(t) =Ce−ƒ2t ,(2 1) 11( ) ( )tdC t re t s e sdsdtƒ −ƒ ƒ−= ƒ  ƒ ,(2 1) 1( ) ( 1 ( ) )tdC t re ƒ −ƒt s eƒsds dt−= ƒ  ƒ ,(2 1) 1( ) 1 { ( ) }t kC t r e ƒ −ƒk s eƒsds dk− −= ƒ  ƒ ,2 (2 1) 1( ) 1 { ( ) } .t kt re−ƒt e ƒ −ƒk s eƒ sds dk− −ƒ =ƒ  ƒ (15)Получившееся значение ƒ(t) является асимптоти-чески средним числом пенсионеров.ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕРассмотрим систему дифференциальных уравне-ний (1)( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 22 11( , , )( ) , , 1, ,( 1) , 1, ( 1)(1 ) 1, ,( 1) ( 1, 1, ),P i j ttt i j P i jt t P i jtj Pij t i r Pi jti r Pi j t== − ƒ + ƒ + ƒ + ƒ − ++ + ƒ + + + − ƒ + ++ + ƒ + −где i[0,);j[0,) .Введём новые обозначения:ƒ(t) = ƒƒ(t) , 1 = ƒ2ƒ,iƒ2 = ƒ(t) + ƒx,jƒ2 = ƒ(t) + ƒy, (16)где ƒ = 10−6 , а ƒ(t) и ƒ(t) получены ранее.Введём функцию H(x,y,t,ƒ):P(i, j,t) =ƒ2H(x, y,t,ƒ) .После ряда преобразований в системе (1), учиты-вая замены (16), устремив ƒ  0 , получаем1 12 12 122 122 2 121( , , ) {[ ( ( ) ( )( )) ( )] ( , , )}{[ ( ( ) ( ) ( ))( ) ( )] ( , , )}{( ( ) ( )) ( , , )}{( ( ) ( )) ( , , )}{ () (, ,H x y t d t tt x dtt xtHxytd t t r ty dty t x t H x y tt tHxytxt r t Hxytyr t H x ytx y  ƒ= ƒ −ƒ + +ƒ ƒ + ƒ + ƒ+ ƒ +ƒƒ +ƒ ƒ ++ƒ − ƒ ++ ƒ +ƒƒ ++ ƒ ƒ +ƒ ƒ −− ƒ ƒ )}.Учитывая систему (13), получаем уравнение Фок-кера - Планка:12 122 122 2 121( , , ) ( , , ){ ()}( , , ){ () ()}( , , ){ ( ) ( )}( , , ){ () ()}( , , ){ ()}.H x y t H x y t x tt xH x y t y t x tyH x y t t txH x y t t r tyH x y t r tx y = − −ƒ − − −ƒ + ƒ ++ ƒ + ƒ ƒ ++ ƒƒ + ƒ ƒ −− ƒ ƒ (17)Для данного уравнения можно записать следую-щую систему стохастических дифференциальныхуравнений:1 11 1 12 21 2 21 122 2( ) ( ) ( ) ( ),( ) ( ( ) ( )) ( )( ),dx t x t dt dW t dW tdy t x t y t dt dW tdW t= −ƒ + ƒ + ƒ ⎧⎪= ƒ − ƒ + ƒ + ⎨⎪⎩+ƒ(18)где W1(t) и W2(t) - винеровские случайные процессы.Математическое ожидание процессов x(t) иy(t) равняется 0, то есть M{x(t)}=0иM{y(t)}=0.Можно записать выражения для приращений дан-ных процессов:{ 11 1 12 221 1 22 2( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ).xt Wt Wty t W t W tƒ =ƒ ƒ +ƒ ƒƒ =ƒ ƒ +ƒ ƒНахождение коэффициентовДля нахождения коэффициентов ƒ11(t),ƒ12(t),ƒ21(t),ƒ22(t), используя условное математическоеожидание, запишем следующую систему:2 2 211 1212 2 221 222 111 21 12 2211 {[ ( )] / ( ) ( )}( ) ( ),1 {[ ( )] / ( ) ( )}( ) ( ),1 { ( ) ( )/ ( ) ( )}( ).M xt xt yttt tM yt xt yttt r tM xt yt xt yttr t⎧ ƒ =ƒ + ƒ = ⎪ ƒ ⎪= ƒ + ƒ ƒ ⎪⎪⎪ƒ =ƒ + ƒ =⎨ ƒ⎪= ƒ ƒ + ƒ ƒ⎪⎪ƒ ƒ =ƒ ƒ +ƒ ƒ =⎪ ƒ= ƒ ƒ ⎪⎩Имеем три уравнения для определения четырёхнеизвестных. Одну неизвестную задаём сами. Пустьƒ21 = 0.Тогда легко найти и другие коэффициенты:2122 2 11122 12111 12 10,( ) ( ),( ) ,( ) ( )( ) ( ) ( ()) .( ) ( )t r tr tt r tt t r tt r tƒ = ⎧⎪⎪ƒ = ƒ ƒ +ƒ ƒƒ ƒ ⎪⎪ƒ = ⎨ ƒ ƒ + ƒ ƒ ⎪⎪ƒ ƒ⎪ƒ = ƒ +ƒ ƒ −⎪⎩ ƒ ƒ + ƒ ƒ(19)Решение системы (18)1. Запишем первое уравнение:dx(t) = −ƒ1x(t)dt + ƒ11dW1(t) + ƒ12dW2(t).Это стохастическое дифференциальное уравнениеописывает диффузионный процесс авторегрессии.Воспользуемся формулой дифференцирования Ито:Рассмотрим случайный процесс ƒ(t) :ƒ(t) =f(x(t),t) .Зададим функцию f (x(t),t) следующим образом:f (x(t),t) = e−ƒ1tx(t),тогдаƒ(t) =e−ƒ1tx(t) .Продифференцируем данное равенство по t:1111 11 1 12 2( ) ( )( ( ) ( ) ( )).ttd t xt e dte xt dt dWt dW t−ƒ−ƒƒ = − ƒ ++ ƒ + ƒ + ƒСократив одинаковые слагаемые, получаем1 1dƒ(t) = ƒ11e−ƒtdW1(t)+ƒ12e−ƒtdW2(t) .Проинтегрируем данное дифференциальное урав-нение в пределах от t0 до t :1 10 0( ) 0( ) 11 1( ) 12 2( )t ts st tƒt= ƒ t+ƒe−ƒdWs+ƒe−ƒdWs.Запишем x(t):x(t) =eƒ1t ƒ(t) ,11 10 0011 1 12 2( ) ( ( )( ) ( )).tt ts st tx t e te dW s e dW sƒ−ƒ −ƒ= ƒ ++ƒ +ƒ (20)Начальные условия:1 0x(t0)=eƒ t ƒ0(t),1 0ƒ0(t)=e−ƒ t x(t0) .Таким образом,1 01 1 1 10 0( )011 1 12 2( ) ( )( ) ( ).t tt tt s t st tx t e x te e dWs e e dWsƒ −ƒ −ƒ ƒ −ƒ= ++ ƒ + ƒПоложим начальный момент времени t0 = 0 :xt e x e e dW se e dWsƒ ƒ −ƒƒ −ƒ= + ƒ ++ ƒ(21)M{x(t)}= 0 .Здесь x(t) - гауссовский случайный процесс, кото-рый определяет случайное отклонение числа «актив-ных» клиентов Пенсионного фонда России в любоймомент времени от асимптотического среднего.2. Решим второе уравнение, считая x(t) найден-ным:dy(t) = (ƒ1x(t) −ƒ2y(t))dt + ƒ22dW2(t) .Воспользуемся формулами дифференцированияИто.Рассмотрим случайный процесс ƒ(t) :ƒ(t) =g(y(t),t) .Зададим функцию g(x(t),t) следующим образом:g(x(t),t) = eƒ2t y(t),тогда ƒ(t) =eƒ2ty(t) .Продифференцируем данное равенство по t:2222 1 22 2( ) ( )( () () ()).ttd t y t e dte yt dt xtdt dW tƒƒƒ = ƒ ++ − ƒ +ƒ +ƒСократив одинаковые слагаемые, получаем2 2dƒ(t) =eƒtƒ1x(t)dt+ƒ22eƒtdW2(t) .Проинтегрируем данное дифференциальное урав-нение в пределах от t0 до t :2 20 0( ) 0( ) 1( ) 22 2( )t ts st tƒt= ƒ t+eƒ ƒxsds+ƒeƒdWs.Запишем y(t):y(t)=e−ƒ2tƒ(t) ,22 20 001 22 2( ) ( ( )( ) ( )).tt ts st ty t e te xsds e dW s−ƒƒ ƒ= ƒ ++ ƒ +ƒ (22)Начальные условия:2 0y(t0)=e−ƒ tl ƒ0(t),2 0ƒ0(t)=eƒ t y(t0) .Таким образом,2 02 2 2 20 0( )01 22 2( ) ( )( ) ( )).t tt tt s t st ty t e y te e xsds e e dW s−ƒ −−ƒ ƒ −ƒ ƒ= ++  ƒ + ƒПоложим начальный момент времени t0 = 0 :2 2 22 21022 20( ) (0) ( )( )),tt t stt sy t e y e e x s dse e dWs−ƒ −ƒ ƒ−ƒ ƒ= + ƒ ++ ƒ(23)M{y(t)} = 0.Здесь y(t) - гауссовский случайный процесс, которыйопределяет случайное отклонение числа пенсионеровв Российской Федерации в любой момент времени отасимптотического среднего.ВЫВОДНа основе марковской теории построена модельПенсионного

Скачать электронную версию публикации