Investigation of Russian Federation retirement fund insurance capital modification processmathematical model.pdf Проводимая с начала 2002 г. пенсионная реформа вне-сла кардинальные изменения в принципы работы пенсион-ной системы. В соответствии с реформой трудовые пенсиибудут складываться из трех составляющих: базовой, страхо-вой и накопительной. Базовая пенсия будет являться мини-мальным размером трудовой пенсии, неким гарантирован-ным минимумом и будет выплачиваться из федеральногобюджета за счет средств от уплаты единого социальногоналога (ЕСН). Страховая часть пенсий зависит от результа-тов работы конкретного работника и будет равна суммевзносов, которые будут перечисляться работодателем в егопользу. Все взносы, поступающие на индивидуальный счетзастрахованного, будут суммироваться и к достижению импенсионного возраста составят определенный страховой ка-питал. Таким образом, размер страховой части трудовойпенсии определяется исключительно величиной страховогокапитала, образуемого из взносов по обязательному пенси-онному страхованию, перечисленных за застрахованныхлиц. Данная часть пенсионных выплат будет осуществлять-ся из Пенсионного фондаƒ(t) = r 1−e−ƒ t−t +ƒ e−ƒ t−tƒ,1( 2( 0) )( )2 0 22ƒ(t) =12be−ƒ t−t −1r+ƒ ƒ +ƒ1 ( )1 0 02ra 12b r t t⎛ ⎞+⎜⎝ − ƒ ⎟⎠ − +ƒ, (3)где a1 , b1 - первые начальные моменты случайныхвеличин, определяемых функциями распределенияA(x) и B(x) ; ƒ(t0)=ƒ0, ƒ(t0)= ƒ0.Доказательство. Обозначим 1 = ƒƒи выполним в(2) замену jƒ =y, Sƒ =z, 21 P(j,S,t) = ƒ(y,z,t,ƒ)ƒ,тогда уравнение (2) примет вид2(y,z,t, ) (r ( 12)y) ( y, z,t, )tƒ ƒ+ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒ =0( , ,,) ()zr y z ut dAuƒ= ƒ  ƒ − ƒ − ƒ ƒ +012 y (y,z u,t, )dB(u)+ ƒ ƒ +ƒ ƒ ++ƒ2ƒ(y+ ƒ)ƒ(y+ ƒ,z,t,ƒ).Раскладывая функции ƒ(y ƒ,z ƒu,t,ƒ) в ряд поприращениям аргументов с точностью до o(ƒ) и вы-полнив элементарные преобразования, получим урав-нение{(r 2y)} {(ra112b1y)}t y zƒ  = − − ƒ ƒ − − ƒ  ,которое является вырожденным уравнением Фоккера- Планка для плотности ƒ(y,z,t) распределения ве-роятностей значений двумерного диффузионногопроцесса с коэффициентами переноса (r− ƒ2y) и(ra1−12b1y) и коэффициентами диффузии, равныминулю. Следовательно, рассматриваемый процесс яв-ляется детерминированным.В силу полученных результатов можно утвер-ждать, что процессы ƒ(t) и ƒ(t) удовлетворяют сис-теме обыкновенных дифференциальных уравнений{ 21 1( ) ( ),( ) 12 ( ),t r tt ra b tƒ = −ƒ ƒƒ = − ƒрешение которой имеет вид (3). Теорема доказана.Отметим, что в стационарном режиме2ƒ = rƒ, апервые начальные моменты связаны отношением21 12 1b aƒ= .Далее проведем исследование процесса отклоне-ния процессов 1 j(t)ƒи 1 S(t)ƒот найденных среднихƒ(t) и ƒ(t) . Для этого рассмотрим предельный, приƒ   , процесс для последовательности⎧ j(t) − ƒƒ(t) ,S(t) − ƒƒ(t)⎫⎨ ⎬⎩ ƒ ƒ ⎭. (4)Теорема 2. При ƒ   предельный процесс{y(t),z(t)} для последовательности (4) является дву-мерным гауссовским диффузионным процессом с ко-эффициентами переносаA1(y,z,t) = −ƒ2y; A2(y,z,t) = −12yb1 (5)и диффузииB11(t) =r+ ƒ2ƒ(t), B22(t) =ra2 +12ƒ(t)b2,B12 =ra1, (6)где a1 , b1; a2 , b2 - первые и вторые начальные мо-менты соответствующих случайных величин.Доказательство. Обозначим 1 = ƒ2ƒи выполнимв (2) заменуjƒ2 = ƒ(t) + ƒy, Sƒ2 = ƒ(t) + ƒz,21 P(j,S,t)=H(y,x,t,ƒ)ƒ.Получим уравнениеH(y,z,t, ) (t) H(y,z,t, ) (t) H(y,z,t, )t y z ƒ ƒ  ƒ ƒ  ƒ− − + ƒ  ƒ +(ƒr+ ƒ(ƒ2 +12)(ƒ(t) + y)H( y, z,t,ƒ) =2( )0( , ,, ) ()t zr Hy z ut dAuƒ +ƒƒ=ƒ  −ƒ − ƒ ƒ +012 ( (t) y) H(y,z u,t, )dB(u)+ ƒ ƒ + ƒ  + ƒ ƒ ++ƒ2ƒ(ƒ(t)+ ƒ(y+ ƒ))H(y+ ƒ,z,t,ƒ).Раскладывая функции H(y ƒ,z ƒu,t,ƒ) в ряд поприращениям аргументов с точностью до o(ƒ2) и вы-полнив элементарные преобразования, получим приƒ  0 :H { 2yH} { 12b1yH}t y z  =− −ƒ − − +  { } { }2 22 2 2 2 21 ( ) 1 12 ( )2 2r t H ra b t Hy z + + ƒ ƒ + − ƒ + 2ra1 H .y z+ Данное уравнение является уравнением Фоккера -Планка для плотности H(y,z,t) распределения веро-ятностей значений двумерного диффузионного про-цесса {y(t), z(t)} с коэффициентами переноса (5) идиффузии (6).В силу того, что коэффициенты диффузии не зави-сят от пространственных переменных y и z , а коэф-фициенты переноса зависят от них линейно, диффу-зионный процесс {y(t), z(t)} является гауссовским.Покажем это.Двумерный диффузионный процесс {y(t), z(t)}определяется системой двух стохастических диффе-ренциальных уравнений{ 1 11 1 12 22 21 1 22 2( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ),dy t A dt dw t dw tdz t A dt dw t dw t= +ƒ +ƒ= +ƒ +ƒ (7)где w1(t) и w2(t) - независимые стандартные вине-ровские процессы.Исходя из полученных значений коэффициентовдиффузии (6), определим параметры ƒij системы (7).Пусть ƒ21 = 0 , тогда1222 22 1222( ) ( ), ( ) ( ) ,( )t B t t B tB tƒ = ƒ =21211 1122(t) B B .Bƒ = − (8)В этом случае система (7) принимает вид{ 2 11 1 12 21 22 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ),( ) 12 ( ) ( ),dy t ydt t dw t t dw tdz t b ydt t dw t= −ƒ + ƒ + ƒ= − + ƒ (9)где коэффициенты ƒij определяются равенствами (8)и не зависят от значений процесса {y(t), z(t)}. Тео-рема доказана.Используя формулу Ито, найдем решение системы(7) при нулевых начальных условиях в виде:2 2 20 00 011 1 12 21 22 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,( ) 12 ( ) ( ) ( ) (10)t tt s st tt tt ty t e s e dw s s e dw sz t b y s ds s dw s−ƒ ƒ ƒ⎧ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ = ƒ + ƒ ⎨ ⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎭ ⎩ ⎨⎪=− + ƒ ⎪⎪⎩  Таким образом, мы получили явное выражениепроцесса {y(t), z(t)}, являющегося двумерным гаус-совским процессом.Найдем корреляционную функцию процесса z(t){ } 1 2 1 2 ( , ) ( ), ( ) z R t t =M z t z t . Используя формулы (10) исвойства стандартных винеровских процессов, полу-чим( 2 1 2 0 2 1 2 021 (max( , ) ) (min( , ) )1 22( , ) t t t t t tzR t t = a r e−ƒ − −e−ƒ − −ƒ2 1 2 ) 2 ( )2 12 02e t t 1 ra 12b r min(t ,t ) t −ƒ − ⎛ ⎞− + +⎜⎝ − ƒ ⎟⎠ −. (11)В силу замены (4) процесс S(t) изменения страхо-вого капитала Пенсионного фонда Российской Феде-рации (процесс изменения) имеет видS(t) = ƒƒ(t) + ƒz(t), (12)где детерминированная функция ƒ(t) определяетсяформулой (3), а z(t) - гауссовский случайный про-цесс, определяемый системой (9) стохастическихдифференциальных уравнений, решение которой за-писано в виде (10). Очевидно, что математическоеожидание процесса S(t) составляет ƒƒ(t) , а его кова-риационная функция определяется равенством (11).Так как изменение гауссовского процесса полностьюопределяется его математическим ожиданием и кова-риационной функцией, то для процесса изменения ве-личины страхового капитала S(t) проведено его пол-ное исследование, из которого достаточно просто по-лучаются все его характеристики.Таким образом, в работе показано, что процессизменения страхового капитала Пенсионного фондаможно аппроксимировать гауссовским процессом (12)с математическим ожиданием ƒƒ(t) и ковариацион-ной функцией ƒRz(t1,t2), где Rz(t1,t2) - корреляци-онная функция процесса z(t) , определяемая равенст-вом (11).

Скачать электронную версию публикации