Dynamic managing investment portfolio under jumping changes in prices of financial assets.pdf Одной из основных задач финансового менеджмента яв-ляется проблема выбора инвестиционного портфеля (ИП)[1 - 8]. Основой существующей классической теории опти-мального управления портфелем является однопериодный«mean-variance» подход, предложенный Марковицем [3] имодель ИП Мертона [4] в непрерывном времени.В настоящее время существует множество моделей иподходов к решению задачи управления ИП, но большинст-во из них являются усложнениями и расширениями подходаМарковица и Мертона на различные варианты стохастиче-ских моделей цен рисковых и безрисковых ценных бумаг ифункций полезности. В своей основе они также либо мини-мизируют риск портфеля (обычно дисперсию портфеля илисвязанные с ней меры риска) при заданном среднем конеч-ном доходе [2, 4 - 7], либо достаточно условно выбираемуюинтегральную функцию полезности [4].В работах [8, 9] предложена динамическая сетевая мо-дель управления инвестиционным портфелем. Задачауправления портфелем формулируется как динамическаязадача слежения по квадратичному критерию за капиталомнекоторого гипотетического эталонного портфеля, имеюще-го заданную желаемую доходность. Состояние портфеляописывается вектором, компоненты которого равны объе-мам инвестиций в рисковые и безрисковый активы, а управ-лениями являются суммы перераспределяемого капитала,переводимого с банковского счета в рисковые вложения инаоборот. В [8-9] эволюция цен рисковых активов описыва-ется классической моделью геометрического (экономиче-ского) броуновского движения Блэка - Шоулса [4]. Обоб-щение сетевой модели на случай учета скачкобразных из-менений цен рисковых активов рассматривается в [10].В отличие от [8, 9] в работах [11 - 13] динамика инве-стиционного портфеля описывается в агрегированном виде.Состояние портфеля определяется суммарным капиталомвсех вкладов в рисковые и безрисковый активы, а управле-ниями являются объемы этих вкладов. Данная формулиров-ка упрощает анализ и численную реализацию полученныхрешений.В данной работе, аналогично [10], предполагается, чтоцены рисковых активов описываются стохастическимиуравнениями, содержащими также и импульсные пуассо-новские возмущения, описывающие скачкообразные изме-нения цен вследствие воздействия редких экстремальныхсобытий или ожиданий (модель Мертона). Получены урав-нения, определяющие оптимальную стратегию управления(формирования) портфеля по квадратичному критерию внепрерывном и дискретном времени. Приводятся результа-ты численного моделирования.Результаты данной работы являются развитием и обоб-щением [12, 13] на случай учета скачкообразных измененийцен рисковых активов.1. ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИНВЕСТИЦИ-ОННОГО ПОРТФЕЛЯВ НЕПРЕРЫВНОМ ВРЕМЕНИРассмотрим ИП, состоящий из n видов рисковыхвложений (под рисковыми будем понимать инвести-ции, доходность которых - случайная величина) ибезрискового вклада с неслучайной доходностью. Ка-питал, помещенный в i-й рисковый актив в моментвремени t, равен ui(t) , i= 1, 2, …,n; в безрисковый- u0(t). Тогда общий объем вложений (портфель) вмомент времени t будет равен01( ) ( ) ( )niiV t u t u t==ƒ + . (1)Динамика портфеля определяется уравнением01( ) ( ) ( ) ( ) ( )ni iidV t d t u t r t u t dt==ƒ ƒ + , (2)где ƒi(t) - ставка доходности i-го рискового вложе-ния на промежутке [t; t+dt], случайная величина, r(t) -неслучайная доходность безрисковых вложений. Приu0(t) < 0 происходит заем капитала по безрисковойставке r(t) на сумму u0(t) , а при ui(t) < 0 - продажабез покрытия i-й ценной бумаги на сумму ui(t) (такназываемая операция "short-sale")[1, 4].Используя (1), уравнение (2) преобразуем к видуdV(t) = r(t)V(t)dt + b(t)u(t) ,где ( ) [1( ), 2( ), , ( )]Tu t = u t u t un t ,b(t) =[dƒ1(t)−r(t)dt, dƒ2(t)−r(t)dt,,dƒn(t)−r(t)dt] ,T - знак транспонирования; капитал, вкладываемый вбезрисковый актив,01( ) ( ) ( )niiu t V t u t== −ƒ .Стратегия управления портфелем путем перерас-пределения капитала между различными видами ин-вестиций определяется таким образом, чтобы капиталреального портфеля с минимально возможными от-клонениями (с минимально возможным риском) сле-довал капиталу V0(t) некоторого определяемого ин-вестором эталонного портфеля с доходностьюƒ0(t) >r(t) , эволюция которого описывается уравне-нием0 0 0dV (t) = ƒ0(t)V (t)dt, V (0) = V(0) .В качестве меры риска выберем квадратичныйфункционал( )}0 200 2M [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] ,TJ V t V t uT t R t u t dtV T V T⎧⎪= − + + ⎨⎪⎩+ − (3)где R(t) - симметричная положительно определеннаяматрица весовых коэффициентов. Второе слагаемоепод интегралом в функционале (3) учитывает ограни-чения, связанные с управлением портфелем.Для описания эволюции цен рисковых активов ис-пользуем модель11( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ,ni i i ij jjnij jjdS t S t t dt t dw tt d t==⎡= ƒ + ƒ + ⎢⎢⎣⎤+ ƒ ƒ ⎥⎥⎦ƒƒ(4)где Si(t) - цена i-го рискового вложения в моментвремени t; ƒi(t)>0 - ожидаемая доходность i-говложения, которая характеризует среднюю нормувозврата за период [t; t+dt]; ƒij(t) - элементы матри-цы волатильности ƒ(t) , ƒ(t)ƒT (t) ≥ 0, ƒij(t) - эле-менты матрицы ƒ(t) , определяющие влияния скачковцены j-го рискового вложения на цену i-го,( ) [ 1( ), 2( ), , ( )]Tw t = w t w t wn t - стандартный винеров-ский процесс размерности n; ƒ j(t) - независимыемежду собой пуассоновские процессы с функциямиинтенсивности ƒj(t)>0 и непрерывными функциямираспределения скачков Fj (t,dzj ) ,( , ) 0jzjFj t dzjƒ = , 2 ( , ) ( )jzjFj t dzj j tƒ = ƒ ,M{dwi(t)dƒj(t)}=0, i,j=1,2,,n.При отсутствии импульсной составляющей урав-нения (4) представляют собой геометрическое (эко-номическое) броуновское движение, модели которогообычно используются в финансовой математике [4,14]. За счет дополнительных слагаемых с импульс-ными пуассоновскими возмущениями учитываютсярезкие скачкообразные изменения цен, связанные средкими экстремально отрицательными или положи-тельными событиями на рынке ценных бумаг, подоб-ные модели цен рассматривались в [4].Определим вектор-столбец ( ) ( ), 0( )Txt =⎡⎣Vt V t⎤⎦ , ис учетом (4) представим уравнения динамики управ-ляемого и эталонного портфелей в виде01 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),n nj j j jj jdx t A t x t dt B t u t dtB t u t dw t D t u t d t= == + ++ƒ +ƒ ƒ (5)где0( ) (0) 0()A t r t t=⎡⎢⎣ ƒ ⎤⎥⎦,1( ) 2( ) ( )( )0 0 0j j njjt t tB t=⎡⎢⎣ƒ ƒ ƒ ⎤⎥⎦……,1( ) 2( ) ( )( )0 0 0j j njjt t tD t=⎡⎢⎣ƒ ƒ ƒ ⎤⎥⎦……,1 20( ) ( )0 ( ) ( )0 ( ) ( 0) ( )B t t rt t rt n t rt =⎡⎢⎣ƒ − ƒ − ƒ − ⎤⎥⎦…….Функционал (3) запишем следующим образом:0M [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]( ) ( ) ,TT T TT TJ x t h hx t u t Rt u t dtx T h hxT⎧⎪= + + ⎨⎪⎩⎫⎪+ ⎬⎪⎭(6)где h = [1, −1] .Система (5) содержит мультипликативные гаус-совские и пуассоновские возмущения. Закон управле-ния с обратной связью определим в классе линейных0u(t)=K1(t)V(t)+K2(t)V (t) = K(t)x(t), (7)где K(t) = [K1(t),K2(t)] - матрица коэффициентов об-ратной связи, выбирается из условия минимумафункционала (6).Функционал (6) можно записать в виде0tr [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]( ) ,TT TTJ h hP t R t K t P t K th hP T⎧⎪= + + ⎨⎪⎩⎫⎪+ ⎬⎪⎭(8)где матрица вторых моментов P(t) =M[x(t)xT (t)] сучетом (7) удовлетворяет уравнению0011( ) [ ( ) ( ) ( )] ( )( )[ ( ) ( ) ( )]( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).TnT Tj jjnT Tj j j jjP t A t B t K t P tP t A t B t K tB t K t P t K t B tt tD tKtPtK tD t=== + ++ + ++ ++ ƒ ƒƒƒ

Скачать электронную версию публикации