Dynamic managing investment portfolio in state space using market model.pdf Проблема управления ИП является одной из основных вуправлении финансами и представляет как теоретический,так и практический интерес. Можно выделить два основныхподхода к ее решению. Классический подход, предложен-ный в [1,2], и последующие его модификации исходят изпредположения о том, что при формировании своего порт-феля инвестор, с одной стороны, хотел бы минимизироватьриск портфеля (обычно дисперсию портфеля или связанныес ней меры риска), с другой стороны - получать желаемуюдоходность (либо в двойственной постановке - максимизи-ровать доходность при ограниченном риске). При этом за-дача оптимизации структуры портфеля (определения опти-мальных долей вложений в различные виды активов) реша-ется в статической постановке (однопериодные модели) и взависимости от выбора функции риска и способов учета не-определенности сводится к решению задач квадратичного,стохастического или линейного программирования [1 - 5].Возможно распространение этого подхода на многопериод-ный случай, однако это приводит к значительным вычисли-тельным затратам [6].Второй подходмомент времени k, vi (k +1) , r(k+1) - ставки доходно-стей соответственно рисковых и безрискового вло-жений на интервале [k, k+1]; vi (k +1) - случайная ве-личина. Если ui (k) > 0 , то - покупку акций вида i - насумму ui (k) , снятую с банковского счета, а еслиui (k) < 0 , то это означает продажу акций вида i насумму ui (k) и помещение этой суммы на банков-ский счет. В векторно-матричной форме уравнения(1), (2) имеют видx(k +1) = A(k +1)[x(k) + Bu(k)], (3)где матрицыА(k+1)==diag{1+v1(k+1),1+v2(k+1),...,1+vn−1(k+1),1+r(k+1)},⎥⎦⎤⎢⎣⎡= − −EB I n 1 , E = [1,1,...,1],I n−1 - единичная матрица размера (n - 1). Необходи-мо определить стратегию управления ИП путем пере-распределения капитала между различными инвести-циями так, чтобы капитал реального портфеля с наи-меньшими отклонениями (с минимально возможнымриском) следовал капиталу некоторого определяемогоинвестором эталонного портфеля, эволюция которогоописывается уравнениемV0(k+1)=[1+ƒ0(k+1)]V0(k), (4)где ƒ0 (k) > r(t) - заданная желаемая доходностьпортфеля.В качестве меры риска выберем квадратичныйфункционал вида( )⎩ ⎨ ⎧+ + − = ƒ−=10[ ( ) 0 ( )]2 ( ) ( ) ( )TkY M V k V k uT k R k u k+ [V(T) −V 0 (T)]2 }, (5)где общий капитал портфеля V(k) = Cx(k), С = [E, 1],матрица R(k) > 0, начальный капитал V (0) = V 0 (0).Второе слагаемое в функционале (5) накладывает ог-раничения на "мощность" управляющих воздействий.Отрицательное значение переменной xn (k) означаетзаем капитала в размере xn (k) , отрицательное значе-ние какой-либо из переменных xi , i = 1,2,...,n −1, оз-начает рекомендацию участвовать в операции «shotsale» (продажа без покрытия) [14].Для описания эволюции доходностей рисковыхфинансовых активов используем однофакторную ры-ночную модель [14]vi (k) i i Rm (k) i i (k) = ƒ + ƒ + ƒ ƒ , (6)где i (k) ƒ - последовательность некоррелированныхслучайных величин с нулевым средним и единичнойдисперсией; i ƒ - коэффициент смещения; i ƒ - коэф-фициент наклона (в рыночной модели он носит назва-ние «коэффициент "бета" ценной бумаги вида j»),ƒ > 0 i - волатильность (изменчивость) ценной бума-ги; Rm - эффективность рынка (доходность рыночно-го индекса). Для описания динамики изменения до-ходности рыночного индекса используем модель ви-да [10]Rm (k) m m m (k) = ƒ + ƒ ƒ , (7)где m ƒ - ожидаемая доходность; ƒ > 0 m - волатиль-ность рыночного индекса; m (k) ƒ - последователь-ность некоррелированных случайных величин с нуле-вым средним и единичной дисперсией. Последова-тельности ƒi (k), i = 1,2,..., n −1, и m (k) ƒ некоррели-рованы между собой.С учетом (7) уравнение (6) примет видvi (k) i i m i m m (k) i i (k) = ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ + ƒ ƒ . (8)ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙСТРАТЕГИИ УПРАВЛЕНИЯИспользуя модель доходностей рисковых активов(8), уравнение портфеля (3) преобразуем к виду0 01111( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( )( 1) ( 1) ( )( 1) ( 1) ( )( 1) ( ) ( 1) ( ),ni iini iim mxk Ak xk Bk ukA k k x kB k k u kS k xk L k uk−=−=+ = + + + +⎡ ⎤+⎢ + ƒ + ⎥ +⎣ ⎦⎡ ⎤+⎢ + ƒ + ⎥ +⎣ ⎦+ ƒ + + ƒ +ƒƒ(9)где A0= diag{1+ ƒ1+ ƒ1ƒm, 1+ ƒ2 + ƒ2ƒm, ... ,} 1 1 ..., 1 , 1 n n m r +ƒ − +ƒ −ƒ + ;Ai= diag{0,...,0,ƒi,0,...,0} ;1 12 201 11 0 ... 0,0 1 0,..... .................... ..0 0 ... 1 ,(1 ) (1 ) ... (1 )mmn n mBr r r− −⎡ +ƒ +ƒ ƒ ⎤⎢ +ƒ +ƒ ƒ ⎥=⎢⎢ ⎥⎥⎢ +ƒ +ƒ ƒ ⎥⎢⎣ − + − + − + ⎥⎦⎥⎦⎤⎢⎣= ⎡0n−1iiB b ,bi= diag{0,...,0, ƒi,0,...,0} ,⎥ ⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢ ⎢⎣⎡ƒ ƒƒ ƒ=−0 ... 0 00 ... 0... ... ... ...... 0 011n mmS ;⎥ ⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢ ⎢⎣⎡ƒ ƒƒ ƒ=−0 ... 00 ...... ... ...... 011n mmL .Введем расширенный вектор-столбецz(k) = [xT (k),V 0 (k)]Tи, объединяя уравнения (9) и (4), запишем0 011( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( )( 1) ( 1) ( )ni iiz k A k z k B k u kA k k z k−=+ = + + + +⎡ ⎤+⎢ + ƒ + ⎥ +⎣ ⎦ƒ (10)11( 1) ( 1) ( )( 1) ( ) ( 1) ( ),где ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ ƒ= 000 0 10nTn A A ; ⎥⎦⎤⎢⎣= ⎡0 00nTi niA A ;⎥⎦⎤⎢⎣= ⎡−100 0nB B ; ⎥⎦⎤⎢⎣= ⎡0n−1iiB B ; ⎥⎦⎤⎢⎣= ⎡0 00nTn S S ; ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=0n−1L L .Система (10) относится к классу систем с мульти-пликативными шумами. Определим оптимальнуюстратегию управления с обратной связью видаu(k) = K(k) z(k) ,где K(k) - матрица коэффициентов обратной связи,выбирается из условия минимума функционала (5).Функционал (5) можно записать в видеtr ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T 1T Tл 0Y C CP k K k R k K k P k−=⎧⎪= ⎨⎪⎩ ⎣⎡ + ⎦⎤+ƒ+CTCP(T)}, (11)где tr{} - след матрицы; C = [C, −1];P(k) = M{z(k) zT (k)}- матрица вторых моментов. Получим разностноематричное уравнение для определения этой матрицы.Используя уравнение (10), будем иметь0 00 0( 1) ( 1) ( 1) ( )( ) ( 1) ( 1) ( ) TP k A k B k K kP k A k B k K k+ =⎡⎣ + + + ⎤⎦ ⎡⎣ + + + ⎤⎦ +11( 1) ( 1) ( ) ( )( 1) ( 1) ( )ni iiTi iAk Bk Kk PkA k B k K k−=+ ⎡⎣ + + + ⎤⎦  ⎡⎣ + + + ⎤⎦ +ƒ[ ] [ ]T + S + L K(k) P(k) S + L K(k). (12)Оптимальную стратегию управления получим,решив задачу оптимизации детерминированной сис-темы, описываемой матричным уравнением динамикивторых моментов состояний (12), матрицей K(k) в ка-честве управляющих воздействий и критерием опти-мальности (11). Для решения этой задачи используемпринцип максимума в матричной формулировке [15].Определим Гамильтониан системыH=tr{CTCP(k)+KT(k)R(k)K(k)P(k)}+{( 0 00 0tr ( 1) ( 1) ( ) ( )( 1) ( 1) ( ) TAk B k Kk PkA k B k K k+ ⎡⎣ + + + ⎤⎦  ⎡⎣ + + + ⎤⎦ +)11( 1) ( 1) ( ) ( )( 1) ( 1) ( ) ( 1)}ni iiTi iA k B k K k P kA k B k K k Q k−=+ ⎡⎣ + + + ⎤⎦  ⎡⎣ + + + ⎤⎦ + +ƒtr{ ( ) ( ) ( ) ( 1)} T + ⎡⎣S+LK k ⎤⎦Pk ⎡⎣S+LK k ⎤⎦ Qk+ ,где Q(k) - матричный множитель Лагранжа. Необхо-димые условия минимума имеют вид* ( )( )P kQ k H= , 0.( ) *=K kHВзяв производные, получим уравнения, дающиерешение задачи слежения за эталонным портфелем:⎢⎣⎡+ + + + + − = ƒ−=11( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1)niiTK k R k Bi k Q k B k+ + + + + + ]  −1B0T (k 1)Q(k 1)B0 (k 1) LT Q(k 1) L0 011( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ,TnT Ti iiB k Qk A kB k Qk A k L Qk S−=⎡⎣ + + + +⎤ + + + + + +⎦ƒ( )( )0 00 0( ) ( 1) ( 1) ( )( 1) ( 1) ( 1) ( )T Q k A k B k K kQ k A k B k K k= + + +  + + + + ++ (S + L K(k)) Q(k +1)(S + L K(k))+ T11( 1) ( 1) ( )( 1) ( 1) ( 1) ( )n Ti iii iA k B k K kQ k A k B k K k−=+ ⎣⎡ + + + ⎦⎤  + ⎡⎣ + + + ⎤⎦ +ƒ+ KT (k) R(k)K(k) + C T C , Q(T) = C TC .ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕПример 1. Определим стратегию управленияпортфелем, состоящим из банковского счета доходно-стью r = 0,002 и одного вида акций, с параметрами1 ƒ =0,01, 1 ƒ =1,3, 1 ƒ =0,02. Параметры рыночного ин-декса: m ƒ =0,007 и m ƒ =0,01. Доходность эталонногопортфеля ƒ0 = 0,01. Весовой коэффициент R = 0,01.Результаты численного моделирования ИП представ-лены на рис. 1, где на оси абсцисс указаны номера ин-тервалов, а по оси ординат - суммы вложений. Нарис. 2 и 3 показаны поведения доходностей акции ирыночного индекса соответственно.Рис. 1. Динамика портфеля, состоящего из акции и банков-ского счета: кр. 1 - построенный портфель; кр. 2 - эталон-ный портфель; кр. 3 - банковский счет; кр. 4 - акция; кр. 5 -управлениеРис. 2. Динамика поведения доходности акции (пример 1)Рис. 3. Динамика поведения рыночного индекса (пример 1)Пример 2. Рассмотрим портфель, состоящий изтрех видов акций и банковского счета. Параметрырисковых ценных бумаг для данного ИП следующие:ƒ = 1 0,03, 1 ƒ =0,01, 1 ƒ =1,5, ƒ = 2 0,025, 2 ƒ =0,015,2 ƒ =0,9, ƒ = 3 0,03, 3 ƒ =0,012, 3 ƒ =0,7. Параметрырыночного индекса: m ƒ =0,012, m ƒ =0,02. Доходностьбанковского счета r = 0,0025. Доходность эталонногопортфеля 0 ƒ =0,02. Весовая матрица R = diag{1,1,1} .Рис. 4 иллюстрирует динамику распределения финан-совых ресурсов между различными видами активов,на рис. 5 показано поведение управляющих воздейст-вий, на рис. 6 и 7 изображено поведение рыночногоиндекса и доходности 3-й акции.Рис. 4. Динамика портфеля, состоящего из трех акций ибанковского счета: кр. 1 - эталонный портфель; кр. 2 - по-строенный портфель; кр. 3 - банковский счет; кр. 4, 5, 6 -рисковые активыРис. 5. Динамика поведения управляющих воздействий(кр. 1, 2, 3 - u1 , u2 , u3 )Рис. 6. Динамика поведения рыночного индекса (пример 2)Рис. 7. Динамика поведения доходности 3-й акции(пример 2)

Скачать электронную версию публикации