Mathematical model of social insurance foundation when payments have exponential distribution.pdf Фонды социального страхования РФ созданы на основа-нии постановления Совета Министров РФ и фонда незави-симых профсоюзов. В отличие от обычных страховых ком-паний, в задачу фонда входит не только оплата страховыхслучаев (временная нетрудоспособность, пособия по бере-менности и родам и т.д.), но и систематические выплаты пореализации региональных и отраслевых программ по охранездоровья работников, санаторно-курортному лечению, об-служиванию детей и т.д.Поэтому, в отличие от обычных страховых компаний,фонд не ставит своей задачей накопление капитала, а егоцелью является рациональное его использование.Все это требует изменения классической модели работыстраховой компании и решения задач оптимального в ка-ком-то смысле управления капиталом такого фонда.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕЯТЕЛЬНО-СТИ ФОНДАОсновной характеристикой состояния фонда явля-ется его капитал S(t) в момент времени t. С этим капи-талом происходят следующие изменения:1. В фонд поступают средства от предприятий иорганизаций. Будем считать, что они поступают не-прерывно во времени со скоростью c0.2. Фонд выделяет часть своих средств на социаль-ные программы. Будем считать, что эти средства так-же выделяются непрерывно во времени, однако ско-рость их выделения c*(S) зависит от величины капи-тала S в данный момент времени.Величину c0 − c*(S) в дальнейшем будем обозначатькак c(S). Таким образом, c(S) есть скорость изменениякапитала за счет детерминированных расходов и оназависит от величины капитала S. Именно в наличиислагаемого c*(S) и зависимости c(S) от S и заключаетсяотличие данной модели от классической [1].3. Происходят страховые выплаты. Будем считать,что поток страховых выплат является пуассоновским по-током постоянной интенсивности ƒ, и сами страховыевыплаты ƒ являются независимыми, одинаково рас-пределенными случайными величинами с экспонен-циальным распределениемp (x) 1 exp x , x 0.a a ƒ= ⎛⎜− ⎞⎟ ≥⎝ ⎠(1)Кроме того, будем считать, что достижение порогаS(t) = 0 не приводит к разорению фонда, и даже приS(t) < 0 он продолжает функционировать, только про-исходят задержки по страховым выплатам.ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТЕЙВЕЛИЧИНЫ КАПИТАЛАРассмотрим случай следующего управления капи-талом фонда:- при S < S0 выплаты на социальные нужды непроизводятся, так что c(S) = c0;- при S ≥ S0 производятся выплаты на социальныенужды, причем их размер зависит от капитала фонда.В этом случае c = c(S) и выплаты на социальные нуж-ды идут со скоростью c0 − c(S).Таким образом, S0 − это величина резервного ка-питала, ниже которого производятся только страхо-вые выплаты.Отметим, что в этом случае капитал фонда не мо-жет превышать некоторой величины Sm, где Sm опре-деляется из условия c(Sm) = 0; если при любых S вели-чина c(S) > 0, то Sm = + .Найдем плотность вероятностей p(S) капиталафонда S в стационарном режиме. Она будет иметьразличный вид в областях S < S0 и S ≥ S0.Начнем с области S < S0 . Плотность вероятностейp(S) в этой области будем обозначать как p1(S).Выведем явное выражение p1(S). Пусть мы имеемнекоторый момент времени t. Тогда получить значе-ние капитала, равное S, можно двумя путями.1. В момент времени t − ƒt значение капитала бы-ло равно S − c0ƒt и за интервал времени ƒt не былостраховых выплат. Вероятность этой ситуации равна1 − ƒƒt + o(ƒt).2. С вероятностью ƒƒt + o(ƒt) за интервал времениƒt пришлось сделать страховую выплату, равную x,так что в момент времени t − ƒ значение капитала бы-ло равно S − c0ƒt + x.Используя идеологию вывода обратных уравненийКолмогорова для марковских процессов [2], можемзаписатьp1(S) = p1(S − c0ƒt) (1 − ƒƒt) +1 00t p (S c t x) p (x)dx o( t).+ ƒƒ  − ƒ + ƒ + ƒ (2)Разлагая p1(S − c0ƒt) в ряд Тейлора, получим1 [1 1 0 ]1 00( ) (1 ) ( ) ( )( ) ( ) ( ).p S t p S p S c tt p S c t x p x dx o tƒ= − ƒƒ −  ƒ ++ ƒƒ  − ƒ + + ƒСокращая p1(S), деля на ƒt и переходя к пределуƒt 0, получим интегродифференциальное уравнениедля p1(S):0 1 1 10c p (S) p (S) p (S x)p (x)dx.ƒ  = − ƒ + ƒ + (3)Воспользуемся теперь тем, что pƒ(x) имеет экспо-ненциальный вид. Тогда1 10 01( ) ( ) 1 ( )exp1 ( ) exp exp .Sp S x p x dx p S x x dxa ap y y dy Sa a a ƒ+ = + ⎜⎛− ⎟⎞ =⎝ ⎠= ⎛⎜− ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Умножая (3) на exp(−S/a), дифференцируя по S,сокращая сомножитель exp(−S/a), получим уравнениедля p1(S):00 1( ) 1( ) 0.c p S c p Sa − ⎛⎜ − ƒ⎞⎟  =⎝ ⎠(4)Общее решение этого уравнения имеет вид01 1 20( ) exp .p S C C c aSc a⎛ − ƒ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠Мы будем считать, что c0 > a1ƒ, что означает, что всреднем капитал растёт и поэтому коэффициент при(S − S0) положителен. Для выполнения условияlim 1( ) 0Sp S−= следует положить C1 = 0. Беря дляудобства C2 в виде02 00exp ,C C c aSc a⎛ − ƒ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Скачать электронную версию публикации