Mathematical model of storehose function.pdf Пусть имеется предприятие, результатом деятельностикоторого, является выпуск однородной продукции с посто-янной скоростью ƒ единиц в единицу времени. Следова-тельно, за период времени ƒt предприятием будет произве-дено ƒ⋅ƒt.Для хранения готового продукта существует специаль-ное помещение - склад. Через Q(t) обозначим количествотовара на складе в момент времени t.Естественно, что реализация готового продукта зависитот спроса покупателей. Итак, обозначим ƒ(S) - интенсивностьпотока покупателей, где S - стоимость единицы продукции.Очевидно, что монотонно убывает ƒ(S) с ростом цены S. Слу-чайное количество продукции, которое забирают с собой по-купатели, обозначим ƒ. Будем считать, что покупки ƒ имеютэкспоненциальное распределение ( ) p x 1 exp xa a ƒ= ⎛⎜− ⎞⎟⎝ ⎠.РЕЛЕЙНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЦЕНОЙНА ПРОДУКЦИЮ С ГИСТЕРЕЗИСОМУстанавливается два пороговых значения для ве-личины товара на складе Q1 и Q2 (Q1 < Q2). В областиQ < Q1 всегда устанавливается цена S1, что приводит кинтенсивности потока покупок величины ƒ1 = ƒ(S1). Вобласти Q > Q2 всегда устанавливается цена S2, чтоприводит к интенсивности потока покупок величиныƒ2 = ƒ(S2). Причем S1 < S2, тогда ƒ2 > ƒ1, что уменьшаетриск переполнения склада.Для области Q1 < Q < Q2 используем следующееправило: если мы попали в эту область из области Q Q2, то значение цены сохраняет-ся величиной S2 и, следовательно, ƒ = ƒ2.Найдем плотность вероятностей p(Q) количествапродукции Q на складе во всех областях.Начнем с области Q > Q2. Согласно нашей модели,в этой области интенсивность потока покупателей ƒ == ƒ2; через p2(Q) обозначим плотность вероятностей вэтой области. Выведем явное выражение для p2(Q).Пусть мы имеем некоторый момент времени t. Тогдаполучить количество продукции Q на складе мы мо-жем двумя путями:а) в момент времени t − ƒt количество товара наскладе было равно Q − ƒƒt, и за интервал времениƒt было произведено продукции ƒƒt с вероятностью(1 − ƒ2ƒt) + ƒ(ƒt);б) с вероятностью ƒ2ƒt + ƒ(ƒt) за период времениƒt удалось реализовать продукцию в размере ƒ, такчто в момент времени t − ƒt количество продукции наскладе составило Q + ƒ - ƒƒt.Для вывода явного вида используем идеологиювывода обратных уравнений Колмогорова для мар-ковских процессов:p2(Q) =p2(Q − ƒƒt) (1 − ƒ2ƒt) +2 2( ) 2( ) ( )0t p Q x p x dx o t .+ ƒ ƒ  + + ƒ (1)Разложим p2(Q -ƒ⋅ƒt) в ряд Тейлораp2(Q − ƒƒt) = p2(Q) − p2 (Q)ƒƒt + ƒ(ƒt)и подставим в (1)( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 22 201.p Q p Q p Q t tt p Q x p x dx o tƒ= ⎡⎣ −  ƒƒ⎤⎦ −ƒ ƒ ++ ƒ ƒ  + + ƒРаскроем скобки и приведем подобные слагаемые( ) ( )( ) ( ) ( )2 222 200.p Q t p Q tt p Q x p x dx o tƒ= −  ƒƒ −ƒ ƒ ++ ƒ ƒ  + + ƒПоследнее выражение делим на ƒt и устремляем кнулю ƒt0. С учетом того, чтоp (x) 1a exp( x a), ƒ = −получим( ) ( )2 201exp 1 .Q ya aQp Q x x dx p y e e dxa a a + ⎛⎜− ⎞⎟ =  −⎝ ⎠  Имеем( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 0.Q ya aQp Q p Q e p y e dya − ƒ + ƒ − ƒ  = (2)Умножим (2) наQe a−:2( ) 2 2 ( ) 2 2 ( )1 0.Q Q Qa a aQp Q e e p Q p y e dya − ƒ + ƒ − − ƒ  − =Дифференцируем по Q:( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 22 22 210.Q Q Qa a aQ Qa ap Q e p Q e p Q eap Q e p Q ea a− − −− − ƒ −  ƒ + ƒ  −ƒ ƒ− + =Все выражение умножим на eQ/a и соберем по-добные слагаемые:( ) 2 ( )2 20. p Q a p Qa ƒ + ƒ − ƒ  = (3)Обозначим для краткости 21aaƒ − ƒ= ƒƒ, причемƒ1 > 0 . Тогда общее решение уравнения (3) будетиметь вид( ) 1p2Q = C2e− ƒ Q+ D2. (4)Заметим, что lim 2 ( ) 0Qp Q= и, следовательно,D2 = 0.Для удобства дальнейших записей возьмем C2 в виде1 2C2 = C eƒ Q . (5)Тогда окончательно для p2 (Q) получаем( ) 1( 2)p2Q Ce Q Q ; Q Q2 = −ƒ − > . (6)Вид p2 (Q) в области Q>Q2 изображен на рис. 1.p2(Q)Q2 Qp2(Q)Рис. 1Перейдем к рассмотрению области Q1 < Q < Q2.Здесь возможны два варианта: ƒ = ƒ1 или ƒ = ƒ2. Рас-смотрим ситуацию при ƒ = ƒ1. Соответствующуюплотность вероятностей будем обозначать p01 (Q) .Здесь существует одно условие: при скачке вверх ве-личина Q + x должна быть меньше Q2, т.е. Q + x < Q2,x < Q2 - Q. Тогда за период ƒt рассмотрение исходовприводит к уравнениюp01( Q) =p01(Q − ƒƒt) (1 − ƒ1ƒt) +( ) ( )21 010.Q Qt p Q xp xdx−+ ƒ ƒ  + ƒ (7)Как и выше, p01(Q - ƒ⋅ƒt) раскладываем в ряд Тей-лора:p01( Q − ƒƒt) =p01( Q) − p01( Q)ƒƒt + ƒ(ƒt).Полученное выражение подставим в (7). Раскры-ваем скобки, приводим подобные слагаемые:p01 (Q)ƒ + ƒ1p01 (Q) =( ) ( ) ( )21 010.Q Qp Q x p x dx o t−= ƒ  + ƒ + ƒ (8)Далее используем те же рассуждения, что и в (1) -(6), что приводит к дифференциальному уравнению( ) 1 ( )01 010. p Q a p Qa ƒ − ƒ − ƒ  = (9)Обозначим 10 ; 0 0 aaƒ − ƒ= ƒ ƒ >ƒ. Тогда общеерешение уравнения (9) имеет вид( ) 0p01 Q = D01− C01eƒ Q. (10)Знак «минус» перед вторым слагаемым взят дляудобства окончательного результата. В отличие отпредыдущей части, здесь константы C01 и D01 не могутбыть произвольными, так как в (8) в верхнем пределеинтеграла стоит Q2 - Q, а не бесконечность. Подста-вим выражение (10) в (8). Имеем( ) ( )( ) ( ) ( )201 1 011 010.Q Qp Q p Qp Q x p x dx t−ƒ ƒ + ƒ == ƒ  + + ƒ ƒС учетом того, что p (x) 1 exp xa a ƒ= ⎛⎜− ⎞⎟⎝ ⎠, рассмот-рим интеграл по слагаемым:2 201 0101 1 ,Q Q x Q QD eadx D e a aa− − ⎛ − + ⎞= ⎜ − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠( )210exp 1 expQ Q a Q x xa a a− ⎛⎜⎝ƒ − ƒ ƒ + ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝− ⎞⎟⎠ = 2 11201011exp 1.Q Q xQ aQ Qa Q e dxa ae ea− − ƒƒƒƒ − ƒ= ⎜⎝⎛ƒ − ƒ ƒ ⎟⎠⎞ == ƒ ⎡⎢ − ⎤⎥ƒ ⎢⎣ ⎥⎦Тогда, собирая выражения при константах C01 иD011 22101 01 1 0,Q Q Q QC e ea D e a eaaƒ− −ƒ ƒ⋅ − ƒ ⋅ =находим вид0 201 011D C e Qaƒ ƒ=ƒи вид плотностей вероятностей( ) 0 2 001 011p Q C e Q e Q .a⎛ ƒ ƒ ƒ ⎞= ⎜⎝ ƒ − ⎟⎠(11)Заметим, что ƒ > aƒ1, т.е.11aƒ>ƒ. Далее, посколь-ку ƒ0 > 0 и Q1 < Q2, то eƒ0Q 2 > eƒ0Q и выражение,стоящее в скобках, должно быть положительным.Следовательно, C01 > 0. Коэффициент C01 будет опре-делен позже. Вид этой зависимости приведен нарис. 2.Q1p01(Q)p01(Q)Q2 QРис. 2Найдем теперь вид плотностей вероятностей вели-чины в области Q1 < Q < Q2, но при условии ƒ = ƒ2.Обозначим ее через p11(Q). Рассматривая переходы заинтервал времени ƒt, можем записать( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2211 2 112 11021.Q QQ Qp Q t p Q tt p Q xp xdxp Q x p x dx−ƒƒ−= − ƒ ƒ − ƒƒ +⎡+ ƒ ƒ + + ⎢⎢⎣⎤⎥+ +⎥И как ранее( ) ( ) ( ) ( )211 2 11 2 110Q Qp Q p Q p Q x p x dx−ƒ⎡ ƒ +ƒ =ƒ + + ⎢⎢⎣( ) ( )22 .Q Qp Q x p x dxƒ−⎤⎥+ +⎥⎦ (12)При экспоненциальном распределении покупок ƒ,используя те же рассуждения, что и выше, получаем( ) 2 ( )11 110. p Q a p Qa + ƒ − ƒ  =ƒРанее был введен коэффициент ƒ1, который опре-делялся как 21aaƒ − ƒƒ =ƒ, согласно которому мы мо-жем последнее дифференциальное уравнение запи-сать какp11( Q) + ƒ1p11 ( Q) = 0. (13)Общее решение (13) имеет вид( ) 111 11 11 . p Q D C ee Q − ƒ = − (14)Теперь задача заключается в определении кон-стант. В нашем случае Q2 граница может быть пере-сечена только сверху, так как пересечение процессомQ(t) границы Q1 снизу дает нам значение ƒ = ƒ1, а неƒ = ƒ2. Тогда за интервал времени ƒt( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2211 1 2 1102.Q QQ Qp Q t p Q x p x dxp Q x p x dx t−ƒƒ−⎡= ƒ ƒ + + ⎢⎢⎣⎤⎥+ + + ƒ ƒ⎥⎦Устремим ƒt0 и получим условиеp11( Q1) = 0. Тогда1 1D11 = C11e−ƒ Q. (15)Следовательно,( ) ( 1 1 1 )p11 Q = C11 e−ƒ Q − e−ƒ Q. (16)Так как Q > Q1, то e−ƒ1 Q 1 > e−ƒ1 Qи выражение,стоящее в скобках, положительно. Поэтому C11 > 0.Вид p11(Q) в области Q1 < Q < Q2 приведен на рис. 3.p11(Q)Q1p11(Q)Q2 QРис. 3Для нахождения связи между C11 и C2 решение (16)нужно подставить в интегрально-дифференциальноеуравнение (12). Выпишем еще раз (12):( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2211 2 11 2 1102.Q QQ Qp Q p Q p Q x p x dxp Q x p x dx−ƒƒ−⎡ ƒ + ƒ = ƒ + + ⎢⎢⎣⎤⎥+ +⎥⎦Из (16) следует, что1) ( ) 1p11 Q = C11ƒ1e−ƒ Q.Рассмотрим слагаемые в квадратных скобках. Приэтом учитываем, что продажа товара имеет экспонен-циальное распределение.2) ( ) ( )22Q Qp Q x p x dxƒ− + =2( )22 221222 2211 .a Q x xa aQ QQ x Qa QQ QC e e dxaC e e dx C e ea a ƒ− ƒ + −ƒ−− ƒ  −ƒƒ −ƒƒ−= =ƒ= = ⋅ƒ3) ( ) ( )2110Q Qp Q x p x dx− + ƒ =( ) 211 1 1 10.Q Q xC e Q e Q x eadxa= − ⎡⎣ −ƒ − −ƒ + ⎤⎦ −Результаты из «1», «2» и «3» подставляем в (12),приводим подобные слагаемые и получаем1 22 222 11 11 2 0, C e Q C ee Q C ee Qa aƒ ƒ− −−ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ−ƒ + + = (17)откуда находим зависимость между C2 и C11:2 1( 2 1)C2 C11 a e Q Q 1 = ⎡⎢⎣ ƒƒ ƒ − − ⎤⎥⎦или 2 1( 2 1)C11 C2 ae Q Q 1 . = ⎡⎢⎣ ƒƒ ƒ − − ⎤⎥⎦Так как 2 1 aƒ>ƒи Q2 > Q1, то и выражение в квадрат-ных скобках тоже положительно, при условииQ1 < Q < Q2( )( ( ) ( ) )( )1 2 1 1 21 2 1112.1Q Q Q QQ QC e ep Qa eƒ − ƒ −ƒ −−=ƒ−ƒ(18)Рассмотрим ситуацию при Q = Q2 и вычислимконстанту C01. При Q > Q2 имеем плотность вероятно-стей вида p2 (Q) . При Q < Q2 могут быть процессыQ(t) с ƒ = ƒ1 и ƒ = ƒ2. Поэтому, рассматривая интервалвремени ƒt, получим( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 01 211 21.p Q t p Q tp Q t t= − ƒ ƒ − ƒƒ + ⎡⎣+ −ƒƒ +ƒ ƒ ⎤⎦(19)Устремим ƒt0, что приводит нас кp2(Q2) = p01( Q2) + p11( Q2). (20)Подстановка решений дает( ( ) )( )1 2 10 21 2 1012 111 .1Q QQQ QC eC C ea e aƒ −ƒƒ −− ⎡ ƒ ⎤=ƒ − + ⎢⎣ ƒ − ⎥⎦ƒ(21)Из последнего соотношения находим( ) ( )( )1 2 1 1 2 1 0 21 2 120121.1 1Q Q Q Q QQ Qae e eC Ca e aƒ − ƒ − − ƒƒ −= ⎡⎢⎣ƒƒ − ⎤⎥⎦⎡⎢⎣ƒƒ − ⎤⎥⎦⎡⎢⎣ ƒƒ − ⎤⎥⎦(22)Окончательно вид для p01 (Q) таков:( )( )( )1 2 1 0 21 2 10122111 1Q Q QQ Qp Qa e eCa e aƒ − − ƒƒ −== ⎛⎜⎝ƒƒ − ⎞⎟⎠ ⋅ ⎡⎢⎣ƒƒ − ⎤⎥⎦⎡⎢⎣ ƒƒ − ⎤⎥⎦0 2 01e Q e Q .a⎡⎢⎣ ƒƒ ƒ − ƒ ⎤⎥⎦(23)Рассмотрим область Q < Q1, плотность вероятно-стей процесса Q(t) обозначим p0(Q). Отметим, чтоƒ = ƒ1 и ƒ − aƒ1 > 0, т.е. 1a 0 ; 0 0aƒ − ƒ= ƒ ƒ >ƒ . Ис-пользуя вывод уравнений (1)-(6), можно получить( ) 0p0 Q = C0 eƒ Q+ D0. (24)Но при ƒQ −  плотность вероятностей p0( Q)должна стремиться к нулю. Это означает, что D0 = 0.Для удобства представим p0( Q) в виде( ) 0( 1)p0 Q C0 e Q Q . = ƒ − (25)Рассмотрим Q = Q1. Тогдаp01( Q1) = (1 − ƒ1ƒt)p0 (Q 1− ƒƒt) + ƒ(ƒt).После предельного перехода при устремлении ƒt  0получаем условие сшивания на границе Q = Q1:p01(Q1) = p0(Q1). Данное условие позволяет нам найтиконстантуC0 :( )( )1 2 1 0 21 2 10 2 0 12021111 1.Q Q QQ QQ Qa e eC Ca e ae eaƒ − − ƒƒ −ƒ ƒ= ⎡⎢⎣ƒƒ − ⎤⎥⎦ ⋅ ⎡⎢⎣ƒƒ − ⎤⎥⎦⎡⎢⎣ ƒƒ− ⎤⎥⎦⎡⎢⎣ ƒƒ − ⎤⎥⎦Окончательный результат имеет вид( )( )( )1 2 1 0 21 2 10 2 020121111 1,Q Q QQ QQ Qa e ep Q Ca e ae eaƒ − −ƒƒ −ƒ ƒ= ⎡⎢⎣ƒƒ − ⎤⎥⎦ ⋅ ⋅ ⎢⎣⎡ƒƒ − ⎥⎦⎤⎡⎢⎣ ƒƒ− ⎤⎥⎦⎡⎢⎣ ƒƒ − ⎤⎥⎦( )( ) ( )( )( ) ( )1 2 1 1 21 2 11 21122,1.Q Q Q QQ QQ Qp Q Ce ea ep Q Ceƒ − ƒ −ƒ −− ƒ −= −ƒ−ƒ=Константа C определяется из условия нормировки( ) ( ) ( ) ( )1 21 20 01 11 21.Q QQ Qp Q dQ p Q p Q dQ p Q dQ−  +⎡⎣ + ⎤⎦ +  =Вычисляя входящие интегралы, получим( )( )( ( ) ( ))( )0 2 1 2 1 0 11 2 11 2 1 1 2 11 2 121 11 211 1211 1111 111Q Q Q QQ QQ Q Q QQ Qa a e e eCa a ea e ea e aƒ ƒ − ƒƒ −ƒ − ƒ −ƒ −⎢⎡⎢ + ⎡⎢⎣ƒƒ − ⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ ƒƒ −ƒ ⎤⎥⎦ +⎢ ƒ ⎡ ƒ ⎤ƒ⎣⎢ ⎣⎢ ƒ − ⎦⎥ ƒ+⎡⎢⎣ ƒƒ − ⎤⎥⎦⎡⎢⎣−ƒ + − ⎤⎥⎦+ƒƒ ⎡⎢⎣ ƒƒ − ⎤⎥⎦( ) ( )( )0 2 10 2 1 1 2 1 0 21 2 121 0 1211 1 111.1 1Q QQ Q Q Q QQ Qa e eae e ea e aƒ ƒƒ − ƒ − − ƒƒ −+ ƒ + ƒ ⎡⎢⎣ ƒƒ −

Скачать электронную версию публикации