Application of multilevel approximation for construction of mathe-matical models of nonstationaryprocesses.pdf 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть имеется результат измерений некоторогопроцесса z(t) в течение какого-то интервала времени[0,T]. Будем считать, что значения процесса z(t) изме-ряются в дискретные моменты времени t1, t2, …, tN,т.е. в нашем распоряжении имеется выборкаz = [z1, z2, …, zN], (1.1)где zi = z(ti), i = 1, …, N. Здесь z − вектор-строка по-рядка N. На основании этой выборки нужно постро-ить математическую модель или оценку этого процес-са, т.е. найти некоторую функцию m(t), которая бы нетолько хорошо аппроксимировала выборку, но и по-зволяла предсказывать значения процесса z(t) в по-следующие после T моменты времени (краткосроч-ный и среднесрочный прогноз).В настоящее время существует теория аппрокси-мации, которая решает эту проблему. Наиболее попу-лярным является построение линейной параметриче-ской модели, когда модель процесса строится в виде1 ( ) ( ) ( ), n Ti i i m t a f t a f t = = ƒ = (1.2)где f1(t),…, fn(t) - известные базовые функции, a1,…,an - неизвестные параметры. В результате построениематематической модели процесса z(t) сводится к вы-числению оценок этих параметров по выборке (1.1). Вметоде наименьших квадратов (МНК) эти оценки на-ходятся из условия минимизации функции2 21( ()) , Ni i i J z mt zm = =ƒ − =< − > (1.3)где m=[ m(t1),m(t2),…,m(tN)] - вектор-строка порядкаN. Здесь для простоты дальнейших записей введенообозначение 2=(z−m)(z−m)T Подставляя (1.2) в(1.3), вычисляя производные функции J по парамет-рам a1,…, an и приравнивая их к нулю, получаем сис-тему линейных уравнений, из решения которых и по-лучаем оценки для этих параметров.Как показывают результаты исследований, по-строенная таким образом модель процесса оказывает-ся хорошей, когда выборка большая, берется на дос-таточно большом интервале времени и процесс z(t)стационарный. Для экономических процессов послед-нее, как правило, не выполняется. Для подобных про-цессов характерна нестационарность и сезонные ко-лебания. Поэтому точность оценивания во многомопределяется удачным выбором базовых функцийf1(t),…, fn(t). При этом увеличение числа этих функцийтеоретически должно улучшать оценки, но практиче-ски ничего не дает, так как начинают сказыватьсяошибки вычислений при решении полученных урав-нений.Имеется отдельная теория построения моделей,когда при получении выборки процесс z(t) измеряетсяс какими-то случайными ошибками. Здесь эти про-блемы обсуждаться не будутТрехслойная вычислительная сетьМодель m(t) строится в виде1 21 1 ( ) ( )[1 ( )(1 ( ))] n ni i ij i j ij ij m t a f t b g t H t , = = =ƒ +ƒ + (2.2)где 31 ( ) ( ). nij k ijk ijk Ht ch t = = ƒЗдесь fi(t), gij(t), hijk(t) - заданные функции; ai, bij, cijk -неизвестные параметры (i = 1,…,n1, j = 1,…, n2,k=1,…,n3). Смысл множителя Hkj(t) в том, что он «рас-тягивает» функцию gij(t) по амплитуде.Можно и дальше увеличивать число слоев, однакоэто вряд ли что-либо дает из-за ошибок вычислений.В вычислительном отношении удобны простые сети,когда функции gij(t) не зависят от i, а функции hijk(t) -от i и j.Во всех этих вариантах задача сводится к нахож-дению параметров ai, bij, cijk по значениям выбор-ки(1.1). Эти параметры выбираются так, чтобы мини-мизировать функционал (1.3). По аналогии с нейрон-ными сетями вычисление этих параметров будем на-звать настройкой сети.3. НАСТРОЙКА ОДНОСЛОЙНОЙ ВЫЧИСЛИ-ТЕЛЬНОЙ СЕТИРешение этой задачи хорошо известно. Введемматрицу F=[f(t1),f(t2),…,f(tN)] порядка n1´N. Тогдафункцию (1.3) можно записать в видеJ=(z−aTF)(z−aTF)T.В результате минимизации этого выражения повектору а получаем оценкуa=(FFT)−1FzT. (3.1)Для существования этой оценки необходима не-вырожденность матрицы R=FFT, для чего, в частно-сти, требуется, чтобы функции f1(t),…, fn (t) были ли-нейно независимыми и N > n. Кроме того, при прак-тическом решении задач могут бытьчто отражается экспонентой. Модуль синуса взят длятого, чтобы усложнить задачу математически, так какфункция z(t) становится ломаной.Пусть выборка (1.1) состоит из данных за четыреполупериода времени длиной Т (ω=π/Т). Причем пер-вые три полупериода используются для обучения се-ти, а четвертый - для проверки обучения. Пусть фик-сируется К значений функции z(t) в течение полупе-риода. Если считать, что ti=i (i=0,1,2, …), то Т=К ивесь объем обучающей выборки равен N=3К+1.На рис. 1 и 2 приведены результаты расчетов. Рас-четы проводились при r = 3, q = 1, a = 0,02, К = 24. Нарис. 1 приведены результаты построения модели спомощью однослойной вычислительной сети при ба-зовых функциях1, sin wt, cos wt, sin 2wt, cos 2wt, sin 3wt, cos 3wt... (5.2)- кривая 2, и при базовых функциях1, t/Т, (t/Т)2 , (t/Т) 3,… (5.3)- кривая 3. Кривая 1 соответствует процессу (5.1).Видно, что кривая 2 хорошо аппроксимирует выборкутолько на втором полуинтервале. Это объясняется не-стационарностью процесса (5.1) и стационарностьюфункций (5.2). Кривая 3 дает плохую аппроксимацию,так как функции (5.3) не являются колебательными.Расчеты показывают, что дальнейшее увеличение ба-зовых функций (5.2) или (5.3) практически не улуч-шают аппроксимацию.На рис.2 приведены результаты построения моде-ли с помощью двухслойной вычислительной сетипри базовых функциях первого уровня (5.2) и базовыхфункциях второго уровня (5.3). Настройка сети вы-полнялась по описанному выше алгоритму. На этомрисунке кривая 1 соответствует процессу (5.1), кри-вая 2 - случаю однослойной сети с базовыми функ-циями (5.2) (кривая 2 на рис. 1), кривая 3 - случаюдвухслойной сети. Хорошо видно, что последняя кри-вая достаточно хорошо аппроксимирует процесс (5.1).Рис. 1Рис. 2

Скачать электронную версию публикации