Nonparametric estimation of functionals of conditional distributions for strong mixing sequences.pdf Определим класс условных функционалов формулой( ) ( , ( ) ( ) ( | ) ) ( ),( ) ( )J x g y f y x dy g y f x y dy G xp x p x=  = = (1)где g() - известная измеримая по Борелю скалярная функ-ция, f(x,у) - неизвестная плотность распределения наблю-даемой двумерной случайной величины Z = (X,У)  R2,G(x)= g(y)f (x,y)dy,p(x) - маргинальная плотность рас-пределения величины Х, ( | ) ( , )( )f y x f x yp x= - условная плот-ность распределения.Интегрирование, если не оговорено иначе, проводитсяна всей числовой оси или плоскости, т.е.   1,    2 R R.Приведем примеры условных функционалов (1).Так, условное математическое ожидание, или функциярегрессии выхода стохастического объекта относительновхода, является моделью, минимизирующей среднеквадра-тическую ошибку (СКО) истинных выходов объекта и мо-дели:( ) ( | ) ( | ) ( , ) .( )r x E Y X x yf y x dy yf x y dyp x= = = =Обычно при построении модели учитываются не всевходы реального объекта, поэтому возникает погрешность,связанная с упрощением регрессионной модели относи-тельно истинной структуры объекта.Эту погрешность можно измерять остаточной (услов-ной) дисперсией2( | ) ( , ) 2( ).( )D Y x y f x y dy r xp x= −Для характеристики уровня сложности объекта приме-няются также такие его статистические характеристики, какусловные коэффициенты асимметрии и эксцесса. В этомслучае g(у) = уk, k = 1, 2, 3, 4; более сложные функции g(у)заданного вида используются при поcтроении оптимальныхоценок прогноза (см. гл. 8 в [1] ).1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПростые непараметрические ядерные оценки под-становки [2. С. 91] условных функционалов J(x) вточке x согласно [1. С. 28] имеют вид1 1( ) ( ) ( ) ,( )n nn i in in i n i nJ x G x gY K x X K x Xp x = h = h⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞= =ƒ ⎜ ⎟ ƒ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠(2)где n( ) 1nG xnh=1( )niii ng Y K x X= h⎛ − ⎞ƒ ⎜ ⎟⎝ ⎠,Zi = (Xi,Yi), i= 1,n- двумерная выборка, характеризуемая плотностьюf(x,у),n( ) 1np xnh=1nii nK x X= h⎛ − ⎞ƒ ⎜ ⎟⎝ ⎠,К(u) - ядерная функция, последовательность чиселhn>0 удовлетворяет условию lim n 0.nh=Согласно (2),при g(y) = y получаем известную ядерную оценку рег-рессии Надарая-Ватсона [3,4].Применение оценок типа (2) иногда приводит кнежелательным эффектам. Например, при некоторыхзначениях параметров модели оценки (2) становятсянеустойчивыми, в частности, если |рn(x)| < ƒ для дос-таточно малых ƒ.Другая проблема состоит в том, что теоретическаявозможность равенства рn(х) = 0 (например, когда ис-пользуются знакопеременные ядра [5], улучшающиескорость сходимости в среднеквадратическом ядер-ной оценки Jn(x) к функции J(x)) не позволяет из-занеустойчивости оценки типа (2) в явном виде сфор-мировать мажорантную последовательность и опре-делить главную часть СКО оценки Jn(x) в соответст-вии с методами, изложенными в [1, 6, 7].Известны следующие три метода решения этихпроблем.1. Ограничивать область U, в которой р(х) > 0 [8],при исследовании свойств сходимости оценки Jn(x).2. Налагать на случайную величину g(Y) и ядроК(u) дополнительные условия:|g(Y)|<  [3], sup [exp( | ( ) |] ,YE agY <  a > 0 [9],K(u) ≥ 0 [3,9].3. Использовать усеченные модификации знамена-теля оценки (2) [1. C. 68].В работе предлагается четвертый метод решенияуказанных проблем: оценивание функционала (1) принепараметрической неопределенности с помощью ку-сочно-гладких аппроксимаций оценок (2), для кото-рых можно найти главные части асимптотическихСКО с улучшенной скоростью сходимости, причемнаблюдения удовлетворяют условиям сильного пере-мешивания (с.п.).Полученные результаты применены при решениизадачи идентификации нелинейной авторегрессиипервого порядка и позволяют также исследовать бо-лее общие динамические системы, в том числе про-цессы авторегрессионного типа со свойствами с.п. [1.С. 146].Сходимость с вероятностью 1 для последователь-ностей с.п. оценок типа (2) исследовалась в [11] , нопроблема вычисления СКО таких оценок осталась неисследованной. В [9] найдена главная часть асимпто-тической оптимальной СКО оценки Надарая - Ватсонадля с.п. последовательностей, но с традиционной ско-ростью сходимости.2. КУСОЧНО-ГЛАДКАЯ АППРОКСИМАЦИЯКЛАССИЧЕСКИХ ОЦЕНОКПредставим функционал J(x) в видеJ(x)=H(a1(x),a0(x))=a1(x) a0(x). (3)Согласно [1. С. 17], назовем базовыми функциона-лами функцииa1(x) = g(y)f(x,y)dy и a0(x) =  f(x,y)dy= p(x).Для преодоления ограничений, указанных в п.2, иувеличения устойчивости оценки Jn(x) в области, вкоторой знаменатель рn(х) в (2) близок к нулю, при-меним следующую кусочно-гладкую аппроксимацию(см. [7] ) для оценки (2):[ ],( )( ) ,(1 | ( ) | )nnn v nJ x J xJ xƒƒ ƒ =+ ƒ

Скачать электронную версию публикации