Calculation of stochastic volatility integral s density when the volatility is assumed to be a discrete markovprocess with two states.pdf ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассмотрим процесс следующего вида: процессƒ(t ) может принимать одно из двух значений ƒ1 иƒ2 , причем переходы между ними образуют дискрет-ную марковскую цепь с двумя состояниями. Интен-сивность перехода ƒ1 ƒ2 равна ƒ1 , интенсивностьперехода ƒ2 ƒ1 равна ƒ2 . Граф переходов изобра-жен на рис. 1.ƒ1ƒ1 ƒ2ƒ2Рис. 1На рис. 2 изображен вид траекторий процесса ƒ(t ) .ƒ(t )tРис. 2Основной задачей данной статьи является нахож-дение плотности вероятностей величины2 ( )0TS= ƒ tdt (1)то есть интеграла от квадрата процесса случайной вола-тильности на интервале [0,T] при условии, что ƒ(0) = ƒ1.Эту плотность вероятностей будем обозначать p1(S). Дляопределенности будем считать, что ƒ1< ƒ2.РАСЧЕТ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ВЕЛИЧИНДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТ-НОСТЕЙ ВЕЛИЧИНЫ SОбозначим через n число переходов из состоянияв состояние на интервале [0,T].Рассмотрим три частных случая.1. n = 0. В этом случае на интервале [0,T] не про-изошло ни одного перехода из состояния в состояниеи t[0,T] ƒ(t) = ƒ1. Вероятность этого события рав-на e−ƒ1T .2. n=2m, то есть на интервале [0,T] имело месточетное количество переходов. Временная структурасостояний системы изображена на рис. 3.ƒ1 ƒ1 ƒ10 Tƒ1 ƒ2 ƒ3 ƒ4 ƒ2mƒ2 ƒ2 ƒ2Рис. 3На участках, обозначенных пунктиром, процессƒ(t) был равен ƒ1, на участках, обозначенных сплош-ными линиями, - ƒ2. Стрелками вверх помечены мо-менты перехода процесса из состояния ƒ1 в состояниеƒ2, который осуществляется с интенсивностью ƒ1,стрелками вниз - моменты перехода из ƒ2 в ƒ1 (с ин-тенсивностью ƒ2). Через ƒi,i=1,2m, обозначеныслучайные времена пребывания в этих состояниях.Обозначим через p2m(ƒ1,ƒ2,ƒ3...ƒ2m) плотностьвероятностей величин ƒ1,ƒ2,ƒ3...ƒ2m вместе с вероят-ностью того, что n= 2m. Тогда, пользуясь свойства-ми цепей Маркова с непрерывным временем и дис-кретным числом состояний, можем записать( )( )1 1 2 2 1 3 2 42 2 1 1 2 22 1 2 3 21 2 1 2..1, , ......m mm mTpe e e ee e−ƒ ƒ −ƒ ƒ −ƒ ƒ −ƒ ƒ−ƒ ƒ −ƒ −ƒ −ƒ − −ƒƒ ƒ ƒ ƒ == ƒ ƒ ƒ ƒ ⋅  ƒ(2)или, после упрощений( )1 ( 1 2)( 2 4 2 )2 1 2 3 2..1 2, , ...m .m mm m Tpe e−ƒ ƒ −ƒ ƒ +ƒ + +ƒƒ ƒ ƒ ƒ == ƒ ƒ(3)Очевидны ограниченияƒ1+ ƒ2+ ƒ3+ .. + ƒ2m ≤ T, i=1, 2m, ƒi ≥ 0. (4)Найдем p2m(ƒ2,ƒ4,...ƒ2m) , то есть плотность веро-ятностей только интервалов ƒi с четными индексами.Очевидно, что( )( )( )( )( )( )1 2 11 3 2 1 2 4 21 1 2 2 4 21 2 11 3 2 1 2 4 22 2 4 22 1 2 2 1 3 2 10 0.. ....1 21 3 2 10 0.. .., ,...... , ,... ...... ... .mm mmmm mm mm m mTm m TmTpp d d de ed d d−−−−−ƒ ≥ ƒ ≥ƒ +ƒ + +ƒ ≤ − ƒ +ƒ + +ƒ−ƒ ƒ −ƒ ƒ +ƒ + +ƒ−ƒ ≥ ƒ ≥ƒ +ƒ + +ƒ ≤ − ƒ +ƒ + +ƒƒ ƒ ƒ == ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ == ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ  (5)Входящий в выражение (5) интеграл есть объемm-мерного симплекса. Известно, что( )( )( 1 1 2 2 4 2 ) ( )2 2 4 21 2 ..2 4 2, ,..... .!mm mm m T mmpe e Tm−ƒ ƒ −ƒ ƒ +ƒ + +ƒƒ ƒ ƒ =ƒ ƒ= ⎡⎣−ƒ + ƒ + + ƒ ⎤⎦(6)Обозначим ƒ2+ ƒ4+..+ ƒ2m = tchet и найдем ееплотность вероятностей. Тогда при 0 ≤ x ≤T{ } ( )( ) ( )( )2 22 4 211 2 2 22 22 4 2chet 2 2 4 2 2 20 0..1 2..2 2 2 20 0..... , ,... ...!... .. ..mmmmmm m mxm mTmm mxP t x p d demT e d dƒ ≥ ƒ ≥ƒ +ƒ + +ƒ ≤−ƒƒ −ƒ ƒ + +ƒƒ ≥ ƒ ≥ƒ +ƒ + +ƒ ≤≤ =  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ =ƒ ƒ=  ⎡⎣ − ƒ + +ƒ ⎤⎦ ƒ ƒ = (1 2 ) 1 [ ] ( 1 2) 10 ! 1!m m xe T T ume uumdum mƒ ƒ −ƒ ƒ −ƒ −= −−  . (7)Поэтому плотность вероятностей величины tchetвместе с вероятностью того, что n = 2m равна( ) { }( ) ( [ ])( )1 ( 1 2)211 21 ! 1!m chetm mT xP x d P t xdxx T xe em m−−ƒ ƒ −ƒ= ≤ =ƒ ƒ −= ƒ−(8)3. n = 2m + 1, то есть на интервале [0,T] имело ме-сто нечетное количество переходов. Временнаяструктура состояний системы изображена на рис. 4.ƒ1 ƒ1 ƒ1 ƒ10 Tƒ1 ƒ2 ƒ3 ƒ4 ƒ2m ƒ2m+1ƒ2 ƒ2 ƒ2Рис. 4Аналогично символике, примененной в рис. 3, научастках, обозначенных пунктиром, процесс ƒ(t) ра-вен ƒ1, на участках, обозначенных сплошными ли-ниями, - ƒ2 . Стрелками вверх помечены моментыперехода процесса из состояния ƒ1 в состояние ƒ2 ,который осуществляется с интенсивностью ƒ1 ,стрелками вниз - моменты перехода из ƒ2 в ƒ1 (с ин-тенсивностью ƒ2 ). Через ƒi,i=1,2m, обозначеныслучайные времена пребывания в состояниях ƒ1 и ƒ2 .Обозначим через p2m+1(ƒ1,ƒ2,ƒ3...ƒ2m+1) плотностьвероятностей величин ƒ1,ƒ2,ƒ3,...,ƒ2m+1 вместе с ве-роятностью того, что n=2m+1. Тогда можем запи-сать после упрощений( )2 ( 2 1)( 1 3 2 1)2 1 1 2 3 2 11 ..1 2, , ...mm mm m Tpe e ++ ++ −ƒ ƒ −ƒ ƒ +ƒ + +ƒƒ ƒ ƒ ƒ == ƒ ƒ(9)с очевидными ограничениямиƒi ≥ 0 , i= 1, 2m+1 ,ƒ1+ ƒ2+ ƒ3+ ..+ ƒ2m+1≤ T .Найдем p2m+1(ƒ1,ƒ3,...ƒ2m+1) , то есть плотностьвероятностей только интервалов ƒi с нечетными ин-дексами.( )( )( )( )( )( )2 22 4 2 1 3 2 12 2 1 1 3 2 12 1 1 3 2 12 1 1 2 2 1 2 4 20 0.. ..11 2 ..1 3 2 1, ,...... , ,... ...!..mm mmm mm m mTm mTmmpp dd de emT+++ ++ +ƒ ≥ ƒ ≥ƒ +ƒ + +ƒ ≤ − ƒ +ƒ + +ƒ+−ƒ ƒ −ƒ ƒ +ƒ + +ƒ+ƒ ƒ ƒ == ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ =ƒ ƒ= ⎡⎣ − ƒ +ƒ + +ƒ ⎤⎦ (10)Обозначим ƒ1 + ƒ3 + .. + ƒ2m+1 = tnech и найдем ееплотность вероятностей. Тогда при 0 ≤ x ≤T{ }( )( )( ) ( )1 2 11 3 2 12 2 12 1 1 3 2 1 1 10 0..11 220... , ,... ...!mmnechm m mxm m xT u m mP t xp d de e T u udum+++ + +ƒ ≥ ƒ ≥ƒ +ƒ + +ƒ ≤+−ƒ ƒ −ƒ≤ ==  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ =ƒ ƒ= −(11)и плотность вероятностей величины tnech вместе свероятностью того, что n=2m+1, равна( ) { }( ) ( [ ])( )2 ( 2 1)2 11 21 ! 2m nechm mT xP x dPt xdxx T xe em+−ƒ ƒ −ƒ= ≤ =ƒ ƒ −= ƒ(12)НАХОЖДЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙФУНКЦИИ ВЕЛИЧИНЫ SНайдем g(p) = M{e− pS }, то есть преобразованиеЛапласа от плотности вероятностей величины S .Рассмотрим отдельные слагаемые, входящие в дан-ную функцию.n = 0. В этом случае t[0,T] ƒ(t )=ƒ1 и по-этому2( ) 210.TS= ƒ tdt= ƒTСледовательно, соответствующее слагаемое вg ( p) имеет вид2e−pƒ1T ⋅e−ƒ1T; (13)n= 2m. Из рис. 3 видно, что в данном случае( )( )( )( )2 2 2 21 1 2 2 1 3 2 42 22 2 1 1 2 22 2 21 2 1 2 4 22 2 21 2 1 chet........m mmSTTT t= ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒ + ++ƒ ƒ + ƒ − ƒ − ƒ − − ƒ == ƒ + ƒ −ƒ ƒ +ƒ + +ƒ == ƒ + ƒ − ƒ(14)Поэтому соответствующее слагаемое в g(p) есть( ) ( )( ) ( ) ( ( ))( )( )12 22 12 122 22 1 1 1 22 11 011 20 1.1 ! !p T T p x p TmmT m mp x T xme e p x dx ex Txe ee dxm m− ƒ  − ƒ −ƒ − ƒ=− ƒ −ƒ  − −ƒ ƒ −ƒ== ƒƒ ƒ −−ƒ  ƒ(15)Но с другой стороны,( ) ( ( ))( )( )( ( ))( )( )( )( )( )( ( ))11 211 2202 11 221 2 021 1211 ! !! 1!22! 1!2 ,m mmssssx Txm mx T xT xs sx T xT xx T x s sT x I xT xx −==+=ƒ ƒ −=−ƒ ƒ −= ƒ − =+⎛ ƒ ƒ − ⎞⎜ ⎟= ƒ − ⎜⎝ ⎟⎠ =ƒ ƒ − +ƒ −= ⋅ ƒ ƒ −ƒƒƒƒ (16)где I1 (⋅) - модифицированная функция Бесселя пер-вого рода первого порядка. Поэтому соответствующееслагаемое в g ( p) имеет вид( ) ( )( ( ))2 2 21 1 2 1 1 2 210 112 12 ;Te T ep T p xe x T xxI xT x dx−ƒ − ƒ − ƒ −ƒ ƒ −ƒ ƒ −⋅ ƒ ƒ ƒƒ − (17)n=2m+1. Из рис. 4 видно, что в данном случае( )( )( )( )2 2 2 21 1 2 2 1 3 2 42 21 2 1 2 1 2 2 12 2 22 2 1 1 3 2 12 2 22 2 1 nech........m mmSTTT t+ ++= ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒ + ++ƒ ƒ + ƒ − ƒ − ƒ − − ƒ == ƒ + ƒ − ƒ ƒ + ƒ + + ƒ == ƒ + ƒ − ƒ(18)Поэтому соответствующее слагаемое в g ( p) есть( ) ( )( ) ( ( ))( )( ) ( )22 22 12 22 22 22 1 2 12 10 01 21 20 0.!Tp T p x p T TmmT m m p x xme e p x dx e ex T xe e dxm− ƒ  ƒ −ƒ − ƒ −ƒ+= ƒ −ƒ ƒ −ƒ=⋅ = ⋅ ƒ ƒ −ƒƒ  ƒ(19)В то же время( ) ( ( ))( )1 2 ( ( ))2 0 1212!m mmx T xI x T xm=ƒ ƒ −ƒ = ƒƒ − , (20)где I0 (⋅) - модифицированная функция Бесселя пер-вого рода нулевого порядка. Поэтому соответствую-щее слагаемое в функции g ( p) имеет вид( ) ( )( ( ))2 2 22 2 2 1 2 11002 12 .Te T ep T p xe xI xT x dx−ƒ ⋅ ƒ − ƒ + ƒ −ƒ ⋅ ƒ −ƒ  ƒƒ − (21)Таким образом, объединяя результаты (13), (17) и(21), получим g ( p) в виде( ) 21 1 11 g p =e−pƒ Te−ƒT+e−ƒTƒ  (22)( ) ( ) ( ( ))( ) ( ) ( ( ))2 2 21 2 1 1 22 2 22 2 2 1 2 121 120 11 0 1 2022 .T p T p x xT T p T p x xe e T xI x T x dxxe e e I xTxdx− ƒ − ƒ −ƒ ƒ −ƒ−ƒ − ƒ + ƒ −ƒ ƒ −ƒƒ − ƒƒ − +ƒ+ ƒ ƒƒ −НАХОЖДЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТЕЙp(S) ВЕЛИЧИНЫ SСогласно свойствам преобразования Лапласа,( )( ) ( ( ) )( ) ( ( ) )212 2 22 2 12 2 21 2 1212 2 22 2 12 2 21 2 1,,,p Tp T p xp T p xe S Te S T p xe S T p x− ƒ− ƒ + ƒ −ƒ− ƒ − ƒ −ƒ↔ ƒ − ƒ↔ ƒ − ƒ + ƒ − ƒ↔ ƒ − ƒ − ƒ − ƒгде ƒ(⋅) - дельта функция Дирака.Поэтому p(S | ƒ1 ) можно записать в виде( ) ( )( ( ) )( )( ( ))( ( ) )( )( ( ))1 11 22 2 121 1 12 2 2 21 2 10 11 122 2 21 2 2 100 12/22 .T TTxTT xp S e S T eS T p xe T xxI xT x dxe S T p x eI xT x dx−ƒ −ƒƒ −ƒ−ƒ ƒ −ƒƒ = ƒ −ƒ + ƒ ƒ − ƒ −ƒ − ƒ −ƒ ƒ ƒƒ − ++ ƒ ƒ − ƒ + ƒ − ƒ  ƒƒ −(23)Учитывая свойство ƒ-функции:(a bx)f(x)dx1 (u) f u b du1f ba a a a − −ƒ + = ƒ ⎛⎜ − ⎞⎟ = ⎛⎜− ⎞⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ,получаем( ( ) ) ( )( ( ))( )( )( )( )2 122 1 22 22 12 2 22 2 100 12 2 22 12 20 2 2 12 2 12 12 12 .TxT SS T p x eI xT x dx eI TS S Tƒ −ƒƒ −ƒ ƒ −ƒ −ƒƒ −ƒ + ƒ −ƒ ⋅  ƒ ƒ − = ƒ − ƒ⎛ ⎞ ⎜ ƒƒ ƒ − − ƒ ⎟⎝ƒ − ƒ ⎠(24)С учетом четности ƒ -функции, имеем( ( ) ) ( )( ( ))2 2 2 2 11 2 1021 1212TT p x S e xT x I x T x dxxƒ ƒ + ƒ −ƒ − ⋅ ƒ −ƒ ƒ − ⋅ ƒƒ − =ƒ( )( )( )( )21 2 12 22 122 22 2 22 1 1 12 21 2 2 12 2 12 112 .S Te T SS TI TS S Tƒ −ƒ −ƒƒ −ƒ ƒ ƒ −= ⋅ ƒ − ƒ ƒ − ƒ⎛ ⎞⎜ ƒƒ ƒ − − ƒ ⎟⎝ƒ − ƒ ⎠(25)Итак,( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )121 2 12 21 2 122 1 22 22 2 121 121 222 2 22 1 1 12 21 2 2 12 2 12 112 22 12 20 2 2 12 2 12 1|22 ,TS TTT STp S e S Te e T SS TI TS S Te eI TS S T−ƒƒ −ƒ −ƒ−ƒ ƒ −ƒƒ −ƒ ƒ −−ƒ ƒ −ƒƒ = ⋅ƒ −ƒ +ƒ ƒ ƒ −+ ⋅ ƒ − ƒ ƒ − ƒ⎛ ⎞⎜ ƒ ƒ ƒ − − ƒ ⎟+⎝ƒ − ƒ ⎠ƒ+ ⋅ ƒ − ƒ⎛ ⎞ ⎜ ƒƒ ƒ − − ƒ ⎟⎝ƒ − ƒ ⎠(26)где S меняется в пределах 2 2ƒ1T≤S≤ ƒ2T. Чтобыпривести формулу (26) к более простому виду, перей-дем к безразмерной величине( )212 22 1S TT− ƒƒ =ƒ − ƒ. (27)Так как 2 2ƒ1T≤S≤ ƒ2T, то 0≤ ƒ ≤1. Учитывая, что( 2 2 )2 1dS Td= ƒ − ƒƒ,получим( ) [ ( ) ( )( ( ))( ( ))1 1 21 12 21 12120 12|1 2 12 1 .p eT Te TT I TTI Tƒ ƒ = −ƒ ƒ ƒ + ƒ ƒ −ƒ ƒ ⎛ ƒ − ƒ⎜⎝ ƒ ⋅ ƒ ⋅ ƒƒ ƒ −ƒ +⎞⎤ + ƒƒ ƒ −ƒ⎟⎠⎦⎥(28)Заметим, что ƒ1T и ƒ2T - безразмерные.АСИМПТОТИКАПРИ БОЛЬШИХ ƒ1T И ƒ2TРассмотрим асимптотику p(ƒ|ƒ1) при большихƒ1T и ƒ2T . Применим эргодические соображениядля вычисления значения, около которого при данныхусловиях колеблется величина ƒ . Пусть ƒ1 есть слу-чайная длительность пребывания процесса ƒ(t ) в со-стоянии ƒ(t )=ƒ1 , ƒ2 - случайная длительность пре-бывания процесса ƒ(t ) в состоянии ƒ(t )=ƒ2 . Тогдазначение S за один период, включающий пребываниеƒ(t ) в состоянии ƒ1 и ƒ2 , равно 2 2S1= ƒ1ƒ1+ ƒ2ƒ2.Так как ( ) i i, 1,2pƒi = ƒie−ƒ ƒi= , то M{ i} 1iƒ =ƒ.Если рассматривать T >> 1, то за это время всреднем будет1 21 21 21 1n T T⋅ ƒ ƒ= =⎛ ⎞ ƒ + ƒ⎜⎝ƒ + ƒ ⎟⎠(29)периодов. За каждый период в среднем будет2 21 211 2Sƒ ƒ= +ƒ ƒ. Поэтому при T  2 2 2 21 2 1 2 2 11 2 1 2S n T⎛ƒ ƒ ⎞ ƒ ƒ +ƒ ƒ=⎜⎜⎝ƒ +ƒ ⎟⎟⎠⋅ = ƒ +ƒ. (30)Соответственно при T  21 12 22 1 1 2S TT T− ƒ ƒƒ = =ƒ −ƒ ƒ + ƒ. (31)Поэтому представим величину ƒ в виде11 2ƒƒ= +ƒƒ + ƒ. (32)Тогда при min (ƒ1T,ƒ2T)>>1 флуктуации величи-ны ƒ будут малы.Рассмотрим асимптотику выражения2 ( )2ƒ1ƒ2T ƒ1−ƒ ,стоящего в аргументе функции Бесселя. Имеем1 2 ( )1 11 21 2 1 22 12ƒ ƒ ƒ − ƒ =⎛ ƒ ⎞⎛ ƒ ⎞= ƒ ƒ ⎜⎝ƒ + ƒ + ƒ⎟⎠⎜⎝ ƒ + ƒ − ƒ⎟⎠ =(33)( )( ) ( )21 2 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 22 1 .ƒ ƒ ƒ − ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ= + ƒ− ƒƒ + ƒ ƒ ƒ ƒ ƒИспользуя разложение 1+ x в ряд Тейлора,можно получить, что( )( ) ( )1 231 2 2 1 22 11 2 1 22 12 ...4ƒ ƒ ƒ − ƒ =ƒ ƒ ƒ + ƒ= + ƒ − ƒ ƒ− ƒ +ƒ + ƒ ƒ ƒ(34)Для дальнейшего вывода используем асимптотику( )2I z ezz ƒ ≈ƒ,верную при z >> 1 . Тогда в формуле (28) в показателеэкспоненты окажется выражение( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 121 1 2 1 21 2 1 231 2 22 11 232 1 2 21 22...4.4T T T TT TTo⋅ ƒ ƒ ƒ−ƒ + ƒ − ƒ ⋅ + ƒ + ƒ ƒ+ +ƒ + ƒ ƒ + ƒƒ + ƒ+ ƒ − ƒ ƒ − ƒ + =ƒ ƒƒ + ƒ= −ƒ + ƒƒ ƒСобирая сомножитель перед экспонентами, в ре-зультате громоздких преобразований можно получить( ) ( )3 ( )31 2 2 1 211 2 1 2| exp4 4T Tpƒ ƒ = ƒ + ƒ ⎧⎪⎨−ƒ ƒ + ƒ ⎫⎪⎬ƒ ⋅ ƒ ƒ ⎪⎩ ƒ ƒ ⎪⎭,что говорит о том, что при min(ƒ1T, ƒ2T)>>1случайная величина ƒ является асимптотическинормальной со следующими статистическими харак-теристиками:M{ƒ} =0,( )1 231 2D 2T⎧⎪ ƒ ƒ ⎫⎪⎨ ⎬⎪⎩ ƒ + ƒ ⎭⎪.

Скачать электронную версию публикации