Investigation the communications network two-dimensional output flow with random accessprotocol and finite number of stations.pdf Оценки параметров компьютерных сетей связи, таких,как интенсивность входящего потока, производительностьсети, её пропускная способность и т.д., представляют боль-шой интерес для исследования, поскольку эффективноефункционирование компьютерной сети связи требует зна-ния данных параметров. Поэтому оценка этих параметровявляется актуальной технической проблемой. Однако преж-де чем оценивать параметры, необходимо изучить свойствавыходящих потоков, на основе которых в дальнейшем будетвозможно оценивание. В данной работе будет проведеноисследование свойств двумерного потока успешно обслу-женных сообщений и сигналов оповещения о конфликте.Функционирование сети связи будем моделировать систе-мой массового обслуживания.Можно отметить несколько работ, в которых проводит-ся исследование выходящих потоков систем массового об-служивания. Это работы А.М. Александрова [1, 2], В.А. Ив-ницкого [3] и некоторых других. Однако видимо ввидусложности проблемы интерес к этим вопросам угас, и в по-следнее время работ в этом направлении не появлялось.Метод исследованияNP i n s t N iNitP (i, n, s, t) 1 ( 1, , 1, ) 112− −− + 1 ( − 2, , −1, ) + ƒ 1 P2 (i 1, n, s, t)NP i n s t N i1 2 ( , , , ) P i n s tNN i ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −− ƒ + ƒ .Для полного описания распределения Pk(i, n, s, t) кданной системе необходимо добавить краевые усло-вия при i = 0, 1, 2, N-1, N .Классические методы решения не позволяют про-вести исследование этой системы, поэтому найдем ееасимптотическое решение аналогично [4]. Пусть T -длина интервала наблюдения за выходящим потокомуспешно обслуженных заявок. Обозначим 1/T = ƒ2 ибудем полагать, что T   (ƒ  0). В системе выпол-ним замены:, ( ) , ( ) , 2 22 x a n y b s t = ƒ ⋅ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ƒƒ− = ƒ ⋅ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ƒƒ⋅ ƒ = ƒ −1 ( , , , ) ( , , , , )2 = ƒ ƒ ƒƒPk i n s t k i x y .Здесь a(ƒ) имеет смысл асимптотического среднегозначения нормированного числа успешно обслужен-ных заявок, b(ƒ) − смысл асимптотического среднегозначения нормированного числа сигналов оповеще-ния о конфликте, произошедших за время t = ƒ/ƒ2. Видa(ƒ), b(ƒ) мы определим ниже.Выполняя замену, можно записать равенства−ƒ ƒ ƒ− ƒ  ƒƒƒ ƒ ƒƒxi x yai x y ( , , , , )( )2 0 ( , , , , ) 0= ƒƒ − ƒ ƒ ƒ +ƒ ƒ ƒ− ƒ  ƒ ( , , , , )( , , , , )( ) 10 i x yyi x yb1 2 ( , , , , ) 0 ( , , , , ) ƒ ƒ ƒ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + ƒ−+ ƒ ƒ ƒ ƒ − ƒ i x yNiNi x y N i ;−ƒ ƒ ƒ− ƒ  ƒƒƒ ƒ ƒƒxi x yai x y ( , , , , )( )2 1 ( , , , , ) 1ƒ ƒ ƒ +−= ƒƒ ƒ ƒ− ƒ  ƒ ( , , , , )( , , , , )( ) 01 i x yNN iyi x yb ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + ƒ− −ƒ + ƒ ƒ − ƒ + ƒ++ ƒNiNi x y N iNi 1 ( 1, , , , ) 10ƒ1(i,x, y,ƒ,ƒ);−ƒ ƒ ƒ− ƒ  ƒƒƒ ƒ ƒƒxi x yai x y ( , , , , )( )2 2 ( , , , , ) 2−= ƒƒ ƒ ƒ− ƒ  ƒNiyi x yb ( , , , , ) 1( ) 2− + ƒ − − ƒ ƒ ƒ + ƒN1 (i 1, x, y , , ) N i 1− + ƒ − − ƒ ƒ ƒ + ƒN1 (i 2, x, y , , ) N i 12 ( 1, , , , ) 1 2 ( , , , , ). ƒ ƒ ƒ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ − ƒ − ƒ ƒ − ƒ + ƒ i x yNi x y N i (1)Асимптотическое при ƒ  0 решение0k(i,x,y, ) lim k(i,x,y, , )ƒƒ ƒ = ƒ ƒ ƒсистемы (1) определяет маргинальное распределениеƒ ƒ = ƒ ƒ ƒ ƒk i(x, y, ) k (i, x, y, )нормированного числа успешно обслуженных заявоки числа сигналов оповещения о конфликте в двумер-ном исследуемом потоке за время ƒ.Систему (1) будем решать в три этапа. На первом всистеме (1) выполним предельный переход при ƒ  0,тогда для ƒk(i, x, y, ƒ) получим систему уравнений:+ ƒ ƒ ƒ = ƒ ƒ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + ƒ−ƒ 0 ( , , , ) 1 ( , , , ) i x y i x yNiNN i+ ƒ1ƒ2(i,x,y,ƒ);−ƒ = ƒ ƒ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + ƒ− −ƒ + ƒNi x y N iNiNN i 1 ( , , , )10 ( , , , ) 1 0 ( 1, , , ) ƒ + ƒ+ ƒ ƒ + ƒ i x yNi x y i ;ƒ − ƒ +−ƒ = ƒ ƒ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒ1 + ƒ 2 ( , , , ) 1 1 ( 1, , , ) i x yNi x y iNN i− +ƒ − ƒ + ƒ− ++ ƒNi x y N iNN i 1 ( 2, , , ) 112 ( 1, , , ). ƒ i − x y ƒПоскольку полученная система однородна, ее ре-шение содержит мультипликативную составляющую,поэтому ƒk(i,x,y,ƒ) можно представить в видеƒ k (i, x, y, ƒ) = Pk (i) ⋅ ƒ(x, y, ƒ). (2)Подставляя это выражение в (7), получим системудля нахождения Pk(i).0 ( ) 1 ( ) 1 2 ( ) P i P i P iNiNi N ⋅ ƒ + ⋅ ƒ = ⋅ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + ƒ−ƒ ;⋅ +−ƒ = ⋅ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + ƒ− −ƒ + ƒ 1 ( ) ( )1 0 P iNP i N iNiNN i1 ( 1)0 ⋅ +++ ƒ P iNi ;⋅ − +−ƒ = ⋅ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒ1 + ƒ 2 ( ) 1 1 ( 1) P iNP i iNN i1 ( 2) 1 ( 1).1 2 ⋅ −− +⋅ − + ƒ− ++ ƒ P iNP i N iNN i (3)Очевидно, данная система определяет стационар-ное распределение вероятностей Pk(i) состояний(i(t), k(t)) рассматриваемой системы массового обслу-живания. Отметим, что равенство (2) показываетасимптотическую независимость компонент (n(t), s(t))от (i(t), k(t)) в четырехмерном векторе (i(t), k(t), n(t),s(t)).Данная система с учетом краевых условийдующим образом: произвольно задается значение па-раметра z0(0), далее рекуррентно вычисляются всеzk(i) по формулам (3) при замене Pk(i) на zk(i). Для вы-полнения условия нормировки все параметры норми-руются на их сумму. Таким образом, получаемƒƒ=k ikkk z iP i z i( )( ) ( ) .Искомое решение найдено.Второй этап решения системы (1) заключается вследующем. Функцию ƒk(i, x - ƒ, y - ƒ, ƒ, ƒ) разложимв ряд по приращению ƒ аргумента x и y. Перепишемсистему (1), сохраняя слагаемые порядка ƒ и отбрасы-вая слагаемые более высоких порядков, получим ƒ  ƒ − ƒ ƒ ƒ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + ƒ−ƒ 0 ( , , , , ) ( ) i x y aNiNN i+ƒ ƒ ƒ− ƒ  ƒƒ ƒ ƒyi x ybxi x y ( , , , , )( )0 ( , , , , ) 0=ƒ ƒ ƒ+ ƒƒx1 (i, x, y, , )1 ( , , , , ) 1 2 ( , , , , ) = ƒƒ i x y ƒ ƒ + ƒ ƒ i x y ƒ ƒ ;− ƒ ƒ ƒ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + ƒ− −ƒ + ƒ 1 ( , , , , )1 i x yNiNN i=ƒ ƒ ƒ− ƒ  ƒƒ ƒ ƒ− ƒ  ƒyi x ybxi x ya( , , , , )( )( , , , , )( ) 1 10 ( , , , , ) 1 0 ( 1, , , , ) ƒ + ƒ ƒ+ƒ ƒ ƒ + ƒ−= ƒ i x yNi x y iNN i ; ƒ  ƒ − ƒ ƒ ƒ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒ1 + ƒ 2 ( , , , , ) ( ) i x y aNN i+ƒ ƒ ƒ− ƒ  ƒƒ ƒ ƒyi x ybxi x y ( , , , , )( )2 ( , , , , ) 2i11(i 1,x,y, , ) Ni1N y N−ƒ − ƒ ƒ − ++ƒƒ + ƒƒ ƒ − ƒ ƒ +−= ƒƒ − ƒ ƒ ( 2, , , , ) 1 ( 1, , , , )11 i x yNiyi x y− +ƒ − ƒ ƒ + ƒ− ++ ƒNi x y N iNN i 1 ( 2, , , , ) 112 ( 1, , , , ). ƒ i − x y ƒ ƒРешение данной системы будем искать в видеƒ k (i, x, y, ƒ, ƒ) = Pk (i)ƒ(x, y, ƒ) + ƒ ⋅ ϕk (i, x, y, ƒ). (4)Подставим это решение в систему и, учитывая ра-венства (3), получим− ƒ ϕ ⋅ ƒ − ƒ ϕ ⋅ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + ƒ−ƒ 0 ( , , , ) 1 ( , , , ) i x y i x yNiNN i+ƒ ƒ− ƒ ⋅ ϕ ƒ =  ƒ − ƒxi x y a P i P i (x, y, )1 2 ( , , , ) ( ( ) 0 ( ) 1 ( ))( ) 0 ( ) ( ,y , )b P i x yƒ ƒ+  ƒ ;−ƒ − ƒ ϕ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + ƒ− −ƒ + ƒNi x y N iNiNN i 1 ( , , , )1ϕ + ƒ =+ ϕ0 ( , , , ƒ) − ƒ 1 0 (i 1, x, y, )Ni x y i1 1a( )P(i) (x,y, ) b( )P(i) (x,y, );x y= ƒ ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ ⋅ ϕ − ƒ −−ƒ − ƒ ϕ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒ1 + ƒ 2 ( , , , ) 1 1 ( 1, , , ) i x yNi x y iNN i− +ϕ − ƒ − ƒ− +− ƒNi x y N iNN i 1 ( 2, , , ) 11 (5)+ƒ ƒ ϕ − ƒ =  ƒxi x y a P i (x, y, )2 ( 1, , , ) ( ) 2 ( )⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −− +− − ƒ−+ (ƒ) 2 ( ) − ƒ 1 1 ( 1) 1 1 ( 2) P iNP i N iNb P i i ( , , ) .yx yƒ ƒТак как определитель этой системы равен нулю, торешение существует тогда и только тогда, когда рав-ны ранги расширенной матрицы и матрицы системы,а это условие выполняется только при выполненииравенства+ƒ ƒ=  ƒ − ƒxa P (x, y, )0 ( ( ) 1 )( ) ( ) 1 ( , , )101 yx yNN iNb P i iNi ƒ ƒ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛ − −ƒ + ƒ − ƒ  + ƒ−=, (6)где ƒ−==101 1 ( )NiP P i .Поскольку коэффициенты в скобках не содержат xи y, то решение получается приравниванием соответ-ствующих коэффициентов при производных, т.е.a(ƒ) = ƒP1 ;ƒ −=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ − − ƒ = ƒ + ƒ101( ) ( ) 1Ni NN iNb P i i . (7)Полученные равенства определяют значения па-раметров a/(τ) и b/(τ), которые имеют смысл интенсив-ности потока успешно обслуженных заявок и сигна-лов оповещения о конфликте соответственно.Так как левые части системы (5) являются линей-ной суммой с постоянными коэффициентами, то ирешение можно искать в виде линейной суммы, т.е.( , , )( )( , , )( , , , ) ( )yi x yxk i x y k i x y k ƒ ƒ+ ƒƒ ƒϕ ƒ = ƒ, (8)разделяя коэффициенты, стоящие при соответствую-щих производных, получим две следующие системыуравнений для определения ƒk(i) и ƒk(i)= ƒ ƒ − ƒƒ − ƒ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + ƒ−ƒ 0 ( ) 1 ( ) 1 2 ( ) i i iNiNN i( ) 0 ( ) 1 ( ) = a ƒ P i − ƒP i ;⎜⎝⎛ + ƒ− −ƒ + ƒ 1 ( ) ( )1 0 iNi N iNiNN i1 ( 1) ( ) ( )0 i a P1 iNi ƒ + =  ƒ+− ƒ ;1 2 1N i (i) i 1 (i 1)N N⎛⎜ƒ + ƒ − ⎞⎟ƒ − ƒ − ƒ − −⎝ ⎠(9)1 ( 2) 1 ( 1) ( ) ( )1 2 2 i a P iNi N iNN i ƒ − =  ƒ− +ƒ − − ƒ− +− ƒ ;N i i 0(i) 1(i) 1 2(i)N N⎛⎜ƒ − +ƒ ⎞⎟ƒ −ƒƒ −ƒƒ =⎝ ⎠=b(ƒ)P0(i);ƒ −−ƒ − ƒ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + ƒ− −ƒ + ƒ 1 ( ) ( )1 0 iNi N iNiNN i1 ( 1) ( ) ( )0 1 i b P iNi ƒ + =  ƒ+− ƒ ; (10)ƒ − −−ƒ − ƒ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒ1 + ƒ 2 ( ) 1 1 ( 1) iNi iNN iƒ − =− +ƒ − − ƒ− +− ƒ 1 ( 2) 1 ( 1)1 2 iNi N iNN i( ) 2 ( ) 1 1 ( 1) 1 1 ( 2). −− +− − ƒ−=  ƒ − ƒ P iNP i N iNb P i iРешение систем (9) и (10) с учетом краевых усло-вий при i = 0, 1, 2, N-1, N возможно только с точно-стью до аддитивной константы и легко осуществимочисленно практически для любых значений N. Методнахождения численного решения системы уравненийзаключается в рекуррентном вычислении параметровƒk(i) и ƒk(i) через произвольно заданное значениеƒ0(0) и ƒ0(0).Наконец рассмотрим третий этап решения систе-мы (1). Функцию ƒk(i, x - ƒ, y - ƒ, ƒ, ƒ) разложим в рядпо приращению ƒ аргумента x и y с точностью доo(ƒ2).Просуммируем уравнения системы по i =0, 1, 2… ,учитывая краевые условия при i = 0, 1, 2, N - 1, N, да-лее просуммируем все уравнения системы между со-бой, получим равенство− ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ− ƒ  ƒƒƒ ƒ ƒƒ ( )( , , , )( )2 ( , , , ) bxx y a x y+ƒ ƒ ƒ= −ƒƒƒ ƒ ƒxx yy(x, y, , ) 1 ( , , , )− ƒ ƒ ƒƒƒ+ 212 2 ( , , , )2 xx y+ƒ ƒ ƒ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ − −ƒ + ƒ ƒ − ƒ−= yi x yNN iNN ii1 1 ( , , , , )101 ( , , , , )2 211 202yi x yNN iNN ii  ƒ ƒ ƒ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ − −ƒ + ƒƒ+ ƒ−=,где ƒ ƒ ƒ (i, x, y, ƒ, ƒ) = ƒ(x, y, ƒ, ƒ),k ikƒ ƒ (i, x, y, ƒ, ƒ) = ƒ k (x, y, ƒ, ƒ)ik .Подставим в это равенство выражение (4), котороев данном случае с учетом (8), примет видƒk(i,x,y,ƒ,ƒ) = Pk(i)ƒ(x,y,ƒ) + ƒƒk(i) ( , , ) k ( ) ( , , );x y i x yx yƒ ƒ ƒ ƒ +ƒƒ +ƒ ƒƒ ƒ ƒ = ƒ ƒ + ƒƒxx y P x y (x, y, )1 ( , , , ) 1 ( , , ) 1( , , )1 yx yƒ ƒ+ ƒƒ ;( , , , ) ( , ) ( , ) ( , )xyxx y y yƒ ƒ+ ƒƒƒ ƒƒ ƒ ƒ = ƒ ƒ + ƒϕ ,где P1 определяется (6), аk ( ),k iƒ =ƒ ƒƒ i k ( );k iƒ = ƒ ƒƒ i1 1( ), 1 1( ).i iƒ = ƒƒi ƒ = ƒƒiПолучим, что ƒ(x, y, ƒ) удовлетворяет уравнению= (  ƒ ƒ + −ƒƒ ƒ( )( 0.5)(x, y, ) b+ ƒ ƒ⎟ ⎟⎠⎞ƒ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ − −ƒ + ƒ −ƒ−=21 201( , , )1 ( )yi x yNN iNN ii+ ƒ ƒ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ − ƒƒƒ+  ƒ ƒ + 221 1( , , )2( )xa P x y⎜ ⎜⎝⎛ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ − −ƒ + ƒ − ƒƒ − ƒ ƒ  + ƒ ƒ  + ƒ−=101( ) ( ) 1Ni NN iNa b i( )) ( , , ) .21 x yi x y  ƒ ƒ ƒ (11)Так как ƒ(x, y, τ) удовлетворяет уравнению Фокке-ра - Планка, то ее можно интерпретировать как плот-ность распределения вероятностей значений некото-рого двумерного дифференциального процесса, кото-рый обозначим {x( τ ),y( τ )} и для которого коэффи-циенты переноса равны 0, а коэффициенты диффузииопределяются уравнением (11), поэтому полученныйслучайный процесс удовлетворяет системе двух сто-хастических дифференциальных уравнений видаdx(ƒ) = ƒ11dw1(ƒ) + ƒ12dw2(ƒ);dy(ƒ) = ƒ21dw1(ƒ) + ƒ22dw2(ƒ),где коэффициенты ƒik определяются решением систе-мы2 2ƒ11 + ƒ12 = 2(a(ƒ)ƒ + ƒP1 / 2 − ƒƒ1);2 2 (ƒ21 + ƒ22 = 2 b(ƒ)(ƒ + 0,5) −1101 ( ) ;Nгi N i iN N−=− ⎛⎜⎝ƒ −ƒ − − ⎞⎟⎠ƒ ⎟⎞⎠ƒ (12)ƒ ƒ + ƒ ƒ = (  ƒ ƒ +  ƒ ƒ − ƒƒ − 11 21 12 22 b ( ) a ( ) 11101 ( )Nii N i iN N−=− ⎛⎜⎝ƒ −ƒ − − ⎞⎟⎠ƒ ⎟⎞⎠ƒ .Данная система решается с точностью до константы.Пусть ƒ12=0, тогда система просто решается и можнозаписатьx(ƒ) = ƒ11w1(ƒ);( ) 21 1 ( ) 22 2 ( ). y ƒ = ƒ w ƒ + ƒ w ƒОтсюда можно легко получить матрицу ковариаций2R11(ƒ1,ƒ2) =M{x(ƒ1)x(ƒ2)}= ƒ11 min(ƒ1,ƒ2);R12(ƒ1,ƒ2) =M{x(ƒ1)y(ƒ2)}= ƒ11ƒ21min(ƒ1,ƒ2); (13)2 2R22(ƒ1,ƒ2)=M{y(ƒ1)y(ƒ2)}=(ƒ21 +ƒ22)min(ƒ1,ƒ2).Из вышесказанного следует вывод, что двумерныйпроцесс {x( τ ),y( τ )} имеет нормальное распределениес нулевыми средними и матрицей ковариаций, опре-деляемой равенствами (13), где коэффициенты ƒik по-лучены как решение системы (12) при ƒ12=0.ЗАКЛЮЧЕНИЕДоказана асимптотическая нормальность процесса{s(t), n(t)} при T   для двумерного потока ус-пешно обслуженных заявок и сигналов оповещения оконфликте сети связи с конечным числом станций,управляемой протоколом случайного множественногодоступа. При имитационном моделировании рассмат-риваемой сети случайного доступа с целью определе-ния области применимости для конечных T получен-ных асимптотических результатов было обнаружено,что для значительного большинства различных набо-ров параметров сети ƒ, ƒ, ƒ1, ƒ, N значение T можетбыть достаточно небольшим для приемлемости оце-нок параметров потока. Однако встречались такие на-боры параметров сети, при которых рассматриваемыйпоток обладал свойством существенной нерегулярно-сти. В связи с чем требовалось аномально большоевремя моделирования T для получения приемлемыхоценок его параметров. Нерегулярность рассматри-ваемого потока обладает свойством, аналогичнымсвойствам дважды стохастических потоков, управ-ляемых цепью Маркова с двумя состояниями. Это яв-ление бистабильности выходящего потока требуетдополнительных исследований.

Скачать электронную версию публикации