Investigation of mathematical model of two channel network with random access.pdf Топология «шины» является, как правило, основной присоздании компьютерных сетей связи, управляемых прото-колами случайного множественного доступа [2,10]. Притехнической реализации таких сетей помимо основного ка-нала связи прокладывается также резервный, который ис-пользуется в исключительных случаях, путем переключенияабонентских станций на резервный канал.Несомненно представляют интерес теоретические ис-следования возможностей совместного использования двухканалов одновременно в сетях случайного доступа.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВУХКАНАЛЬ-НОЙ СЕТИСЛУЧАЙНОГО ДОСТУПАВ качестве математической модели двухканальнойсети случайного доступа рассмотрим двулинейнуюсистему массового обслуживания (СМО) [4,9], навход которой поступает простейший поток заявок ин-тенсивности ƒ. Аналогичный подход рассмотрен в ра-ботах [5 - 8]. С вероятностью r поступившая заявкаобращается к первому, а с вероятностью (1 - r) - вто-рому прибору. Если соответствующий прибор занятобслуживанием другой заявки, то обе попадают вконфликт и переходят в источник повторных вызовов(ИПВ). От этого момента в каналах начинает распро-страняться сигнал оповещения о конфликте случай-ной продолжительности, имеющей экспоненциальноераспределение с параметрами 1/a1 и 1/a2 для первого ивторого каналов соответственно. Здесь a1 и a2 - сред-ние значения времени распространения сигнала опо-вещения.При этом возможны две ситуации:1. Сигналы оповещения о конфликтах на первом ивтором приборах физически неразличимы.2. Сигналы оповещения о конфликтах на первом ивтором приборах различимы.Естественно, что во втором случае поступившаязаявка обращается к тому прибору, для которого от-сутствует сигнал оповещения о конфликте.Заявки, обратившиеся к прибору во время распро-странения сигнала оповещения, переходят в ИПВ. Ес-ли заявка принята к обслуживанию, и в течение этоговремени другие заявки к данному прибору не обраща-лись, то обслуженная заявка покидает систему. Будемполагать, что время обслуживания имеет экспоненци-альное распределение с параметром ƒ1 для первого иƒ2 - для второго приборов. После случайной задержкив ИПВ заявка вновь обращается к одному из приборовпо вышеописанной схеме с повторной попыткой ус-пешного обслуживания.Состояния приборов определяется двумернымвектором (k1,k2), где kƒ = 0 , если прибор свободен,kƒ =1, если в нем обслуживается заявка и kƒ = 2 , еслина приборе реализуется сигнал оповещения о кон-фликте. Состояние источника повторных вызовов оп-ределим величиной i - числом заявок в ИПВ. Со-стояние сети в целом определяется трехмерным век-тором (k1, k2 , i) . Процесс (k1(t),k2(t),i(t)) измененияво времени состояния сети является марковским [1],поэтому для его распределения вероятностей( ) ( ) Pk1k2 i,t =P k1(t)=k1,k2(t)=k2,i(t)=iможно выписать равенстваP00(i,t+ƒt)=(1−(ƒ+ƒi))P00(i,t)+ƒ1P10(i,t)+2 01 20 021 2P (i,t) 1P (i,t) 1P (i,t) o( t)a a+ƒ + + + ƒ ;P10(i,t+ ƒt) = (1− (ƒ + ƒi+ ƒ1))P10(i,t)+ ƒ2P11(i,t)+00 00 122r (i 1)P (i 1,t) r P (i,t) 1P (i,t) o( t)a+ ƒ + + + ƒ + + ƒ ,P01(i,t+ƒt)=(1−(ƒ+ƒi+ƒ2 ))P01(i,t)+ƒ1P11(i,t)+00 211(1 r) (i 1)P (i 1,t) 1P (i,t)a+ − ƒ + + + ++(1−r)ƒP00 (i,t)+o(ƒt) ;P11(i,t+ƒt)=(1−(ƒ+ƒi+ƒ1 +ƒ2 ))P11(i,t)++(1−r)ƒP10 (i,t)+(1−r)ƒ(i+1)P10 (i+1,t)++rƒP01(i,t)+rƒ(i+1)P01(i+1,t)+o(ƒt) ;P02(i,t+ƒt)=(1−(ƒ+rƒi+1a2 ))P02(i,t)+01 1 12 221(1 r) P (i 2,t) P (i,t) 1P (i,t)a+ − ƒ − +ƒ + ++(1−r)ƒ(i−1)P01(i−1,t)+(1−r)ƒP02 (i−1,t)+o(ƒt) ;P20(i,t+ƒt)=(1−(ƒ+(1−r)ƒi+1a1))P20(i,t)+10 2 21 222r P (i 2,t) P (i,t) 1 P (i,t)a+ ƒ − +ƒ + ++rƒ(i−1)P10(i−1,t)+rƒP20(i−1,t)+o(ƒt);P12(i,t+ƒt)=(1−(ƒ+rƒi+ƒ1 +1a2 ))P12(i,t)++rƒP02(i,t)+rƒ(i+1)P02(i+1,t)+(1−r)ƒP11(i−2,t)++(1−r)ƒ(i−1)P11(i−1,t)+(1−r)ƒP12 (i−1,t)+o(ƒt) ;P21(i,t+ƒt)=(1−(ƒ+(1−r)ƒi+ƒ2 +1a1))P21(i,t)++rƒP11(i−2,t)+rƒP21(i−1,t)+(1−r)ƒ(i+1)P20(i+1,t)++rƒ(i−1)P11(i−1,t)+(1−r)ƒP20(i,t)+o(ƒt);P22(i,t+ƒt)=(1−(ƒ+1a1 +1a2 ))P22(i,t)++rƒP12 (i−2,t)+rƒ(i−1)P12 (i−1,t)+ƒP22 (i−1,t)++(1−r)ƒP21(i−2,t)+(1−r)ƒ(i−1)P21(i−1,t)+o(ƒt) .Выполнив несложные преобразования, получим,что распределение ( Pk1k2 i,t) удовлетворяет следую-щей системе дифференциальных уравнений:0000 1 10 2 01( , )( ) ( , ) ( , ) ( , )P it i P i t P i t P i tt+ ƒ + ƒ = ƒ + ƒ +20 021 21P (i,t) 1P (i,t)a a+ + ;101 10 2 11( , )( ) ( , ) ( , )P it i P it P itt+ ƒ + ƒ +ƒ = ƒ +00 00 122r (i 1)P (i 1,t) r P (i,t) 1P (i,t)a+ ƒ + + + ƒ + ,012 01 1 11( , )( ) ( , ) ( , )P it i P it P itt+ ƒ + ƒ +ƒ = ƒ +00 211(1 r) (i 1)P (i 1,t) 1P (i,t)a+ − ƒ + + + ++(1−r)ƒP00 (i,t) ;111 2 11 10( , ) ( ) ( , ) (1 ) ( , ) P it i P i t r P i tt+ ƒ + ƒ + ƒ + ƒ = − ƒ ++(1−r)ƒ(i+1)P10 (i+1,t)+rƒP01(i,t)++rƒ(i+1)P01(i+1,t);02 ( )2 02 01( , )1 (,) (1 ) ( 2,)P it r i a P i t r P i tt+ ƒ + ƒ + = − ƒ − +1 12 22 011P (i,t) 1P (i,t) (1 r) (i 1)P (i 1,t)a+ƒ + + − ƒ − − ++(1−r)ƒP02 (i−1,t); (1)20 ( )1 20 10( , )(1 ) 1 ( , ) ( 2, )P it r i a P i t r P i tt+ ƒ + − ƒ + = ƒ − +2 21 22 102P (i,t) 1P (i,t) r (i 1)P (i 1,t)a+ƒ + + ƒ − − ++rƒP20(i−1,t);12 ( )1 2 12 02( , ) 1 (,) (,) P it r i a P i t r P i tt+ ƒ + ƒ +ƒ + = ƒ ++rƒ(i+1)P02(i+1,t)+(1−r)ƒP11(i−2,t)++(1−r)ƒ(i−1)P11(i−1,t)+(1−r)ƒP12 (i−1,t) ;21 ( )2 1 21( , ) (1 ) 1 ( , ) P it r i a P i tt+ ƒ + − ƒ +ƒ + ==rƒP11(i−2,t)+rƒP21(i−1,t)+(1−r)ƒP20(i,t)++(1−r)ƒ(i+1)P20 (i+1,t)+rƒ(i−1)P11(i−1,t) ;22 ( )1 2 22 12( , ) 1 1 (,) ( 2,) P it a a P it rP i tt+ ƒ + + = ƒ − +rƒ(i−1)P12(i−1,t)+(1−r)ƒP21(i−2,t)++(1−r)ƒ(i−1)P21(i−1,t)+ƒP22(i−1,t).При исследовании одноканальных сетей случай-ного доступа, функционирующих в стационарном ре-жиме, были получены аналогичные системы уравне-ний. Для их решения применялся метод асимптотиче-ского анализа марковизируемых систем. Использова-ние этого метода для системы (1) приводит к гро-моздким записям, выходящим за рамки научной пуб-ликации, поэтому, переходя к векторной форме, обо-значим вектор-столбецP(i,t)={P00(i,t),P01(i,t),P02(i,t),P10(i,t),P11(i,t),P12(i,t),P20(i,t),P21(i,t),P22(i,t)}Tи матрицы A0(i) , A1(i) , B1(i) и B2 определим такимобразом, что систему (1) представим в виде0 1P(i,t) A (i)P(i,t) A (i 1)P(i 1,t)t= + + + ++B1(i−1)P(i−1,t)+B2P(i−2,t). (2)Отметим, что аналогично (2) можно записать со-ответствующие системы уравнений, определяющихфункционирование математических моделей и другихсетей связи случайного доступа, поэтому нижеприве-денный подход к исследованию математических мо-делей сетей случайного доступа имеет достаточнообщий характер.ОБЩИЙ ПОДХОД К ИССЛЕДОВАНИЮ МАР-КОВСКИХ МОДЕЛЕЙ СЕТЕЙ СЛУЧАЙНОГОДОСТУПАОбозначим ƒ = ƒ2 , ƒ2t = ƒ и покажем, что2( 2)0x( ) lim iƒƒ = ƒ ƒ ƒявляется детерминированной функцией,2( 2)0( )( ) limi xyƒƒ ƒ ƒ − ƒƒ =ƒ- диффузионным процессом авторегрессии. Процессизменений состояний каналов k(ƒ ƒ2) при ƒ  0 яв-ляется дискретным марковским процессом независи-мым от процесса y(ƒ) .Используя предельные процессы x(ƒ) и y(ƒ) длядостаточно малых ƒ , рассмотрим процессz(ƒ)=x(ƒ)+ƒy(ƒ),который с точностью до o(ƒ) совпадает с процессомƒ2i(ƒ ƒ2) и характеризует процесс изменения числазаявок в ИПВ. Покажем, что процесс z(ƒ) являетсядиффузионным, и найдем его коэффициенты переносаи диффузии.Сформулированные результаты получим с помо-щью исследования системы (2), которая имеет местоне только для рассматриваемой СМО, но также и длядругих сетей случайного доступа, математическиемодели которых можно представить в виде марков-ских СМО с источником повторных вызовов и конеч-ным числом состояний канала.Для получения указанных результатов в системе(2) выполним заменуƒ2t = ƒ ; ƒ2i=x(ƒ)+ƒy; 1P(i,t)=H(y,ƒ,ƒ)ƒ, (3)где x(ƒ) - некоторая заданная функция, вид которойбудет определен ниже, тогда систему (2) перепишемследующим образом:= ƒ ƒ− ƒ ƒƒ ƒ ƒƒy2 H( y, , ) x' ( ) H( y, , )=A0(x+ ƒy)H(y,ƒ,ƒ)+A1(x+ ƒ(y+ ƒ))H(y+ ƒ,ƒ,ƒ)++B1(x+ ƒ(y− ƒ))H(y− ƒ,ƒ,ƒ)+B2H(y−2ƒ,ƒ,ƒ). (4)Систему (4) будем решать в четыре этапа.Первый этапНа первом этапе найдем распределения вероятно-стей значений процесса k(ƒ) . Для этого в системе (4)перейдем к пределу при ƒ  0 , обозначивH(y,ƒ,0)=H(y,ƒ), и получим относительно вектораH(y,ƒ) однородную систему линейных алгебраиче-ских уравненийK(x)H(y,ƒ)=0, (5)где матрица K(x) имеет видK(x)=A0(x)+A1(x)+B1(x)+B2 (6)и является инфинитезимальной матрицей интенсив-ностей переходов случайного процесса k(ƒ) . Изсвойств таких матриц следует, что их строки линейнозависимы, так какETK(x)=0, (7)где E - единичный вектор столбец. Следовательно,система (5) имеет нетривиальное решение, котороепредставим в видеH(y,ƒ)=R(x)F(y,ƒ), (8)где F(y,ƒ) - скалярная функция, а вектор R(x) опре-деляется аналогично (5) однородной системой линей-ных алгебраических уравненийK(x)R(x)=0. (9)Положим, что вектор R(x) удовлетворяет усло-вию нормировкиETR(x)=1. (10)Тогда R(x) имеет смысл распределения вероятно-стей значений процесса k(ƒ) , а F(y,ƒ) являетсяплотностью распределения вероятностей значенийпроцесса y(ƒ) , ее вид будет определен ниже.Отметим, что в силу равенства (8), процессыk(ƒ) и y(ƒ) стохастически независимы.Покажем, что решение R(x) системы (9), удовле-творяющее условию нормировки (10), существует иединственно.Теорема 1. Решение R(x) системы (9), удовлетво-ряющее условию нормировки (10), существует иединственно.Доказательство. Для доказательства теоремыформально воспользуемся теоремой эргодичности. Поинфинитезимальной матрице построим матрицу пе-реходных вероятностей вложенной цепи Маркова сдискретным временем. Это реализуется исключениемдиагональных элементов матрицы K(x) и нормиро-ванием ее строк. Полученная матрица неприводима инепериодична, поэтому выполнены условия теоремыэргодичности, то есть, выполнены условия эргодич-ности для цепей Маркова с конечным числом состоя-ний. Следовательно, существует единственное эрго-дическое распределение, которое для процесса с не-прерывным временем определяется системой (9) и ус-ловием нормировки (10). Таким образом, решениеR(x) однородной системы линейных алгебраическихуравнений (9), удовлетворяющее условию (10), суще-ствует и единственно.Теорема доказана.Еще раз подчеркнем, что приведенное доказатель-ство использует теорему эргодичности не по сущест-ву, а чисто формально, так как распределение R(x)зависит от значений функции x(ƒ), следовательно, неявляется, вообще говоря, стационарным.Второй этапНа втором этапе решения системы (4) найдем видфункции x = x(ƒ).Теорема 2. Функция x= x(ƒ) является решениемобыкновенного дифференциального уравнения [11]x'(ƒ) =ETV(x)R(x), (11)где матрица V(x) имеет видV(x)=B1(x)+2B2−A1(x). (12)Доказательство. Функции в правой части систе-мы (4) разложим в ряд по приращениям аргумента yс точностью до o(ƒ) и перепишем эту систему в видеx'( ) H(y, , )K(x y)H( y, , )y ƒƒ−ƒ ƒ = +ƒ ƒ ƒ −V(x) H(y, , ) o( )y ƒƒ−ƒ + ƒ, (13)где матрица V(x) , очевидно, имеет вид (12). Просум-мируем все уравнения системы (13) и, учитывая свой-ство (7) матрицы K , получимx'( )ETH(y, , ) ETV(x) H(y, , ) o( )y y ƒƒ  ƒƒ−ƒ ƒ =−ƒ + ƒ .Поделив левую и правую части этого равенства наƒ и полагая ƒ  0 , запишемx'( )ETH(y, , ) ETV(x) H(y, , )y y ƒ ƒ  ƒ ƒƒ = .Подставляя в это равенство H(y,ƒ) в виде (8), по-лучимx'( )ETR(x) F(y, ) ETV(x)R(x)F(y, )y y ƒ  ƒƒ = ,откуда, учитывая условие нормировки (10), получимобыкновенное дифференциальное уравнениеx'(ƒ) =ETV(x)R(x), (14)определяющее вид функции x= x(ƒ).Теорема доказана.Третий этапНа третьем этапе найдем разложение функцииH(y,ƒ,ƒ) в видеH(y,ƒ,ƒ)=R(x)F(y,ƒ)+ ƒh(y,ƒ)+o(ƒ). (15)Теорема 3. Вектор h(y,ƒ) является решением не-однородной системы линейных алгебраических урав-ненийK(x)h(y, ) [V(x) x'( )I]R(x) F(y, )y ƒƒ = − ƒ −−K '(x)R(x)yF(y,ƒ), (16)где I - диагональная единичная матрица, а x'(ƒ) оп-ределяется равенством (16).Доказательство. Систему (13) перепишем в видеK(x y)H(y,,) [V(x) x'()I] H(y, , ) o()y ƒƒ+ ƒ ƒ ƒ = ƒ − ƒ + ƒи, подставив в это равенство разложение матрицыK(x+ ƒy) вида K(x+ ƒy)=K(x)+ ƒyK'(x), получимK(x)H(y,ƒ,ƒ)+ ƒyK'(x)H(y,ƒ,ƒ)=[V(x) x'( )I] H(y, , ) o( )y ƒƒ= ƒ − ƒ + ƒ.В это равенство подставим разложение (15), тогдаK(x)R(x)F(y,ƒ)+ ƒK(x)h(y,ƒ)+ ƒyK'(x)R(x)F(y,ƒ)=[V(x) x'( )I]R(x) F(y, ) o( )y ƒ= ƒ − ƒ + ƒ.Учитывая равенство (9) и выполнив несложныепреобразования, последнее равенство перепишем ввидеK(x)h(y, ) [V(x) x'( )I]R(x) F(y, )y ƒƒ = − ƒ −−yK'(x)R(x)F(y,ƒ) ,совпадающем с (16). Матрица K(x) неоднороднойсистемы (16) имеет определитель, равный нулю, по-этому данная система линейных алгебраическихуравнений имеет решение только тогда, когда рангсобственной матрицы K(x) системы совпадает с ран-гом расширенной матрицы.В силу теоремы 1 ранг матрицы K(x) на единицуменьше ее размерности. Покажем, что уравнения не-однородной системы (16) линейно зависимы.Суммируя все уравнения системы (16), получимETK(x)h(y, ) ET[V(x) x'( )I]R(x) F(y, )y ƒƒ = − ƒ −−ETK'(x)R(x)yF(y,ƒ) =ETV(x) ETx'( )I R(x) F(y, )y=⎡⎣ − ƒ ⎤⎦   ƒ −d{ETK(x)}R(x)yF(y, )dx− ƒ.В силу равенства (7) левая часть равна нулю. В си-лу равенств (10) и (14) правая часть также равна ну-лю, следовательно, ранги соответствующихИспользуя разложение ( ) () '()V x+ ƒy =V x + ƒyV x,перепишем это равенство следующим образом:2ETH(y, , ) x'( )ETH(y, , )y ƒƒ  ƒƒƒ −ƒ ƒ =ƒ ETV(x) H(y, , ) 2ETV'(x) {yH(y, , )}y y ƒƒ  ƒƒ= −ƒ − ƒ + 2 222( ) ( , , ) ( )2ETD x H y oyƒ  ƒ ƒ+ + ƒ.Подставляя разложение (17) функции H(y,ƒ,ƒ) ,получим{ } 2 ( ) ( , ) '( ) ( ) ( , )TT E R x F y x E Rx F yy ƒ  ƒƒ −ƒ ƒ −ƒ 2x'( )ET h(y, )y ƒ−ƒ ƒ =ETV(x)R(x) F(y, ) 2ETV(x) h(y, )y y ƒ  ƒ= −ƒ − ƒ − 2 { ( , )}T '( ) ( ) yF yE V x R xy ƒ−ƒ +2 222( ) ( ) ( , ) ( )2ETD x R x F y oyƒ  ƒ+ + ƒ,которое в силу условия нормировки (10) и дифферен-циального уравнения (14) перепишем следующим об-разом:2 F(y, ) 2x'( )ET h(y, )y ƒ  ƒƒ −ƒ ƒ =ƒ 2ETV(x) h(y, ) 2ETV'(x)R(x) {yF(y, )}y y ƒ  ƒ= −ƒ − ƒ + 2 222( ) ( ) ( , ) ( )2ETD x R x F y oyƒ  ƒ+ + ƒ.Выполнив несложные преобразования, получимF(y, ) ET(V(x) x'( )I) h(y, )y ƒ  ƒ= − − ƒ −ƒ 2 { ( , )}T '( ) ( ) yF yE V x R xy ƒ−ƒ +(21)221 ( ) ( ) (, )2ETD x R x F yy ƒ+.Рассмотрев первое слагаемое в правой части этогоравенства и подставив в него представление (17) век-тора h(y,ƒ), имеемET(V(x) x'( )I) h(y, )y ƒ− ƒ =( )2(1)2ET V(x) x'( )I h (x) F(y, )y ƒ= − ƒ +( ) { ( , )}T ( ) '( ) '( ) yF yE V x x I R xy ƒ+ − ƒ.Подставляя это выражение в (21), получимF(y, ) ETV(x)R'(x) {yF(y, )}y ƒ  ƒ=− −ƒ { ( , )}T '( ) ( ) yF yE V x R xy ƒ− −( )2(1)2ET V(x) x'( )I h (x) F(y, )y ƒ− − ƒ +221 ( ) ( ) (, )2ETD x R x F yy ƒ+,что, очевидно, совпадает с уравнением (19).Теорема доказана.Используя (11), коэффициент диффузии случайно-го процесса B(x) можно представить в видеB2(x)=ET {D(x)R(x)−−2(V(x)−ETV(x)R(x)I)h(1)(x)}, (22)а для диффузионного процесса y(ƒ) имеет место сто-хастическое дифференциальное уравнение [3]dy( ) (ETV(x)R(x)) y( )d B(x)dw( )ƒ= ƒ ƒ + ƒ , (23)где w(ƒ) - стандартный винеровский процесс.Теперь рассмотрим для достаточно малых значе-ний параметра ƒ случайный процессz(ƒ)=x(ƒ)+ƒy(ƒ), z(ƒ)= ƒ2i(ƒ ƒ2) (24)и докажем следующую теорему.Теорема 5. С точностью до o(ƒ) случайный про-цесс z(ƒ) является решением стохастического диф-ференциального уравненияdz(ƒ)=ETV(z)R(z)dƒ+ ƒB(z)dw(ƒ), (25)т.е. z(ƒ) является однородным диффузионным про-цессом с коэффициентом переноса ETV(z)R(z) идиффузии ƒ2B2(z).Доказательство. Дифференцируя равенство (24),получимdz(ƒ)= x'(ƒ)dƒ+ƒdy(ƒ).В силу (13) и (25) его правую часть перепишем в видеx'(ƒ)dƒ + ƒdy(ƒ) =ETV(x)R(x)dƒ +(ETV(x)R(x)) yd B(x)dw( )+ƒ ƒ+ ƒ ƒ ={ETV(x)R(x) y(ETV(x)R(x))}d B(x)dw( )= + ƒ ƒ + ƒ ƒ =( ) ( ) ( ) () () TE = V x+ ƒy R x+ ƒy dƒ + ƒB x+ ƒy dw ƒ +o ƒ ==ETV(z)R(z)dƒ + ƒB(z)dw(ƒ)+o(ƒ) ,следовательно, процесс z(ƒ) с точностью до o(ƒ)удовлетворяет стохастическому дифференциальномууравнению (25).Теорема доказана.Таким образом, для достаточно малых значенийпараметра ƒ случайный процесс ƒ2i(ƒ ƒ2) можно ап-проксимировать однородным диффузионным процес-сом z(ƒ) , удовлетворяющим стохастическому диффе-ренциальному уравнению (25).Далее полученные результаты применим к иссле-дованию вышеописанной двулинейной сети.РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОСТОЯ-НИЙ КАНАЛОВ В ДВУХКАНАЛЬНОЙ СЕТИСЛУЧАЙНОГО ДОСТУПАДля рассматриваемой системы (2) найдем компо-ненты Rk1k2 вектора R(x) . Для этого в явном видевыпишем уравнение (9)00 1 10 2 01 20 021 2( x)R R R 1R 1Ra aƒ + = ƒ + ƒ + + ,2 01 1 11 21 001( x )R R 1R (1r)Raƒ + + ƒ = ƒ + + − ƒ ++(1−r)xR00 ,02 01 01 1 122rx 1 R (1 r) R (1 r)xR Ra⎛ ⎞⎜ƒ+ + ⎟ = − ƒ + − +ƒ +⎝ ⎠22 0211R (1r)Ra+ + − ƒ ,1 10 2 11 12 00 002( x )R R 1R rR rxRaƒ + + ƒ = ƒ + + ƒ + ,(ƒ +x+ ƒ1 + ƒ2)R11 = (1− r)ƒR10 + rƒR01 ++(1−r)xR10 +rxR01, (26)1 12 02 02 112rx 1 R r R rxR (1 r) Ra⎛ ⎞⎜ƒ+ +ƒ + ⎟ = ƒ + + − ƒ +⎝ ⎠+(1−r)xR11 +(1−r)ƒR12 ,20 10 10 2 211(1 r)x 1 R r R rxR Ra⎛ ⎞⎜ƒ + − + ⎟ = ƒ + + ƒ +⎝ ⎠22 2021R r Ra+ + ƒ ,2 21 20 201(1 r)x 1 R (1 r) R (1 r)xRa⎛ ⎞⎜ƒ + − + ƒ + ⎟ = − ƒ + − +⎝ ⎠+rƒR11 +rxR11 +rƒR21 ,22 12 12 211 21 1 R r R rxR (1 r) Ra a⎛ ⎞⎜ƒ + + ⎟ = ƒ + + − ƒ +⎝ ⎠+(1−r)xR21 +ƒR22 .Для решения системы (26) преобразуем ее к сле-дующему виду, с учетом замены g = ƒ + x :00 1 10 20110 1 10 0020 1011 ,,1 ;rgR R RargR R rgRR rgRa⎧ = ƒ + ⎪⎪+ ƒ = ⎨⎪= ⎪⎩01 1 11 21111 1 11 0121 1111 ,,1 ;rgR R RargR R rgRR rgRa⎧ = ƒ + ⎪⎪+ ƒ = ⎨⎪= ⎪⎩02 1 12 22112 1 12 0222 1211 ,,1 ;rgR R RargR R rgRR rgRa⎧ = ƒ + ⎪⎪+ ƒ = ⎨⎪= ⎪⎩00 2 01 02201 2 01 0002 012(1 ) 1 ,(1 ) (1 ) ,1 (1 ) ;r gR R Rar gR R r gRR rgRa⎧ − =ƒ + ⎪⎪− +ƒ = − ⎨⎪= − ⎪⎩10 2 11 12211 2 11 1012 112(1 ) 1 ,(1 ) (1 ) ,1 (1 ) ;r gR R Rar gR R r gRR rgRa⎧ − =ƒ + ⎪⎪− +ƒ = − ⎨⎪= − ⎪⎩20 2 21 22221 2 21 2022 212(1 ) 1 ,(1 ) (1 ) ,1 (1 ) .r gR R Rar gR R r gRR rgRa⎧ − =ƒ + ⎪⎪− +ƒ = − ⎨⎪= − ⎪⎩Очевидно, что если некоторое решение Rk1k2 будетудовлетворять данным системам, то это же решениебудет удовлетворять системе (26). Все системы имеютнетривиальное решение, определенное с точностьюдо мультипликативной составляющей, в силу того,что их определители равны 0. Будем искать решение ввиде произведения 1 2 1 2(1) (2)Rk k =RkRk . Разрешая эти сис-темы и добавляя условие нормировки (10):112(1)0k 1kR=ƒ = и222(2)0k 1kR=ƒ = ,получаем(1) 10 21 1;( ) 2R rgrg a rg+ ƒ=+ + ƒ(1)1 21 1;( ) 2R rgrg a rg=+ + ƒ2(1) 12 21 1( );( ) 2R rg arg a rg=+ + ƒ(2) 20 22 2(1 );((1 ) ) 2(1 )R r gr g a r g− +ƒ=− + − +ƒ(2)1 22 2(1 ) ;((1 ) ) 2(1 )R r gr g a r g−=− + − +ƒ2(2) 22 22 2ИССЛЕДОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГОСРЕДНЕГО ЧИСЛА ЗАЯВОК В ИПВ ДЛЯДВУХКАНАЛЬНОЙ СЕТИПо Теореме 2 процесс x(ƒ), имеющий смысласимптотического среднего нормированного числазаявок в ИПВ, является детерминированным, удовле-творяющим обыкновенному дифференциальномууравнению (11). Запишем данное уравнение для опи-санной двулинейной сети в явном виде121 1'( ) ( )( ( )) 2 ( )x r xr x a r x⎛ ƒ + ƒƒ = ƒ − ⎜ +⎝ ƒ + + ƒ + + ƒ222 2(1 )( )((1 )( )) 2(1 )( )r xr x a r x− ƒ+ ƒ ⎞+ ⎟− ƒ+ + − ƒ+ +ƒ⎠. (27)Данное дифференциальное уравнение в зависимо-сти от параметров может иметь до 4 точек покоя.Особый интерес представляет ситуация, в которойуравнение имеет 4 точки покоя, две из которых будутустойчивы. Устойчивые точки покоя будем называтьточками стабилизации сети связи, а сеть связи биста-бильной.ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФУЗИОННОЙ АП-ПРОКСИМАЦИИ ПРОЦЕССАИЗМЕНЕНИЯ ЧИСЛА ЗАЯВОК В ИПВДЛЯ ДВУХКАНАЛЬНОЙ СЕТИПо Теореме 5 процесс z(ƒ) , аппроксимирующийслучайный процесс ƒ2i(ƒ ƒ2) - нормированное числозаявок в ИПВ, является диффузионным и удовлетво-ряет стохастическому дифференциальному уравне-нию (25). Коэффициент диффузии для данного про-цесса определяется уравнением (22). Аналитическоевыражение для него очень громоздко, поэтому в дан-ной работе оно не приводится. Для задач большойразмерности уравнение (22) позволяет определить ко-эффициент диффузии численно.

Скачать электронную версию публикации