The Loewners sets of mappings of the half-plane on domains with symmetry of carry.pdf Дано интегральное представление семейства ото-бражений верхней полуплоскости на области с сим-метрией переноса и указаны семейства областей Лев-нера, сходящиеся к рассмотренным областям.В [1] показано, что конформное однолистное ото-бражение ƒ :ƒ +  C верхней полуплоскости ƒ+ ком-плексной z-плоскости на область Dƒ, представляющуюсобой верхнюю полуплоскость с исключенными иду-щими из бесконечности конгруэнтными попарно непе-ресекающимися простыми дугами переменной длины ис симметрией переноса на 2ƒ, удовлетворяет диффе-ренциальному уравнению( ) ≤ ƒ ≤ ƒ < ƒ −=ƒ2 , 0 0ƒ ctg ƒ ƒdd (1)с начальным условием ƒ(0, z)= z, z  ƒ + . Здесь ƒ(ƒ) -прообраз конца разреза, определенным образом пара-метризованного; ( ) 0 ƒ Im = ƒ и ( ) ( )ƒ ƒ, z + 2ƒ = ƒ ƒ, z + 2ƒ .Следующую теорему можно рассматривать как об-ратную к указанному предложению. Она сформулиро-вана в [2] (теорема 13), но не была сопровождена дока-зательством.Теорема 1. Пусть отображение ƒ : [0, ) R, ƒ = ƒ (ƒ),непрерывно. Тогда ƒ(ƒ, z), где ƒ(ƒ z) есть решениедифференциального уравнения (1) с начальным усло-вием ƒ(0, z) = z, z = x + iy ƒ+, конформно и однолист-но в ƒ+ и, кроме того, таковым же является отображе-ние f (z) = lim(ƒ (ƒ, z)− iz) .ƒДоказательство. Проведем в уравнении (1) заменыƒ=eiƒ, μ(ƒ)=eiƒ(ƒ). Поскольку ( ) ( )( ) =−+=ƒ −ƒƒƒ ƒƒ ƒ2ctg ƒ ƒ i ii ie ei e e( )μ( ) ƒ ,μƒ −ƒ + ƒ= i то уравнение (1) примет вид( )μ(ƒ) ƒ ,ƒ ƒ μ ƒ ƒƒ−+= −dd (2)где μ(ƒ) = 1, 0 ≤ ƒ <  . Начальное условие запишетсяв виде ƒ(0, z)= eiz , z  ƒ+ , показывающем, что точкаƒ(0, z)= eiy eix принадлежит единичному кругу. В [3](теорема 5) к исследованию разрешимости этой задачиКоши применен метод последовательных приближе-ний, аналогичный методу Пикара, и установлено суще-ствование на 0 < ƒ <  единственного решения задачи.Оно голоморфно в ƒ+, однолистно отображает каждуювертикальную полосу шириной 2ƒ, лежащую в ƒ+, вединичный круг, а семейство функций eƒƒ(ƒ, eiz) рав-номерно сходится внутри ƒ+ к однолистной относи-тельно eiz функции.Отображение ƒ(ƒ, z) = − i ln ƒ (ƒ, eiz) однолистно отно-сительно eiz ,z ƒ+ , и обладает симметрией переносавдоль вещественной оси на 2ƒ: ƒ (ƒ, z + 2ƒ)= ƒ (ƒ, z)+ 2ƒ .Пусть f (ƒ, z) = ƒ(ƒ, z)− iƒ. Переходя в формуле f (ƒ, z) == −i ln(eƒƒ(ƒ, eiz )) к пределу при ƒ, получим (ƒ ) =ƒlim f , z= f (z) = −i ln q(eiz ), где функция (ƒ) lim ƒƒ( , ƒ),ƒ= ƒq eƒ < 1, однолистна в единичном круге. Теорема доказана.Решение уравнения (2) при рассматриваемом на-чальном условии удовлетворяет условию (см., напри-мер, [4]) lim ƒ( , ) ƒ ,0− −e iz ƒ eiz = eeiz z=x+iy, в силу которого( − )= − ƒlim ln iz iƒye e или, что то же самое, lim( ( )− )= 0f z zy.Теперь легко находим, что lim ( ( ) ) 0yf z z− = .Множество функций f(z), полученных согласно тео-реме 1, плотно в классе X2ƒ, т.е. в классе всех голомор-фных однолистных в верхней полуплоскости отобра-жений f : ƒ+  C, удовлетворяющих условиям f(ƒ+),есть односвязная область с симметрией переноса вдольвещественной оси типа полуплоскости, f (z + 2kƒ) == f (z)+ 2kƒ, k Z , и ( ( ) ) Imlim 0zf z z− = .Рассмотрим дифференциальное уравнение (1) приƒ(ƒ) = ƒƒ . С помощью замены ƒƒ − ƒ = 2u оно сводитсяк уравнению ( ) .2, 02ctg u u zddu = −ƒ −=ƒРешение этогодифференциального уравнения неявно определяетсяравенством ( ) ⎜⎝− ⎛ − −ƒƒu + ln ƒ sin u − cosu + 2z ln sin 2z( ) 2 .sin 2 cos 2 1+ ƒ2 ƒ= ⎟⎟⎠⎞⎟⎠⎞⎜⎝− ⎛ − ƒ z − z Выполняя предель-ный переход при ƒ, получим отображение f (z) =( ) 2 .1 ln 1 sin 2 ln 1− ƒƒ ++ +ƒ +−ƒ +ƒ= ii i z iz При ƒ = 1 отсю-да получаем отображение = [ − + ]−ƒ− ln(1 sin )2f (z) 1 e 4 z z i⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ƒ− +ƒ−ln2 221 e 4 i i верхней полуплоскости ƒ+ на пло-кость с разрезами по параллельным лучам под углом−(ƒ/4) к вещественной оси (рис. 1).Применим теорему 1 к задаче об интегральном пред-ставлении подклассов класса X2ƒ. С этой целью проинтегри-руем уравнение (1) для некоторого семейства функций ƒ(ƒ).Рис. 1В уравнении (1) управляющую функцию ƒ(ƒ) зада-дим в виде ƒ(ƒ) = − ƒƒ + (ƒ + ƒ) ƒ(ƒ), 0 ≤ ƒ < , где ƒ -вещественная постоянная, ƒ и ƒ - положительные чис-ла, ƒ(ƒ) - вещественная функция, обращающаяся в нульпри ƒ = 0, которая будет выбрана далее. Перейдем вуравнении (1) от переменной ƒ к w по формуле ƒ = − ƒƒ++ ƒƒ(ƒ)+w. Получим уравнение ctg 2 w ,ddw ƒƒ −− ƒ + ƒƒ =ƒw(0) = z . Так как ctg 2 , i iwi iwe ew i e e−+=ƒƒ −ƒƒƒƒто уравне-ние можно представить в видеƒ ( ) i iw ,i iwe ee eddw−−= ƒ − ƒƒ ƒƒϕ(3)где ƒ .ƒ ƒƒ , ƒ ƒƒ ƒƒ ƒƒdi e dei i i  =−  −−  +ϕ =Подчиним функцию ƒ(ƒ) условию: eiϕ = ƒ = const .Найдем ƒ(ƒ), ƒ(0) = 0, проинтегрировав уравнение= ƒ.ƒƒ − ƒ +ƒƒ − ƒ − i eiƒƒi Сделаем в нем замену eiƒƒ = ƒ, ƒ(0) = 1.Получим 2 , ,2ƒƒ= ƒ ƒ =ƒ − ƒƒ + ƒddmm где (1 ) , 2ƒ .ƒm = s + iƒ s =Уравнение преобразуется к виду ( ) 2 ,ƒ = − ƒƒ ƒ + ƒƒƒ − ƒ d mdƒ(0) = 1, где 1 .1− ƒ+ ƒƒ = =iimm Исключим из рассмотре-ния случай, когда ƒƒ = − 1.В результате интегрирования уравнения имеем(1+ ƒ)ln(ƒ + ƒƒ)− ƒ ln ƒ + 2mƒ == (1+ ƒ)ln(1+ ƒƒ) , ln1 = 0. (4)Это уравнение неявно задает функцию ( ) ln ƒ(ƒ) .ƒƒ ƒ = − iТак как 1 ƒ ,1 ƒ , 1 ƒ1 1 2 2 iim ismm+−ƒ =++ ƒ = + = = то послеумножения левой и правой частей уравнения (4) на1+iƒ получим формулу 2ln (ƒ + ƒƒ)− (1− iƒ) ln ƒ ++ 2s (1+ ƒ2) ƒ = 2ln (1+ ƒƒ) , показывающую, что ее ле-вая часть имеет предел при ƒ   равный 2ln(1+ƒƒ) ичто ƒ(ƒ)  − ƒƒ при ƒ  .При сделанном выборе функции ƒ(ƒ) уравнение (3)примет вид ( )( )( ), (0) ,2 w zei eddwiwiw=ƒ − ƒ ƒ −ƒ ƒ −= −ƒ посколькуƒ ƒ2− ƒ .ƒƒƒ − + i = i Заменим в нем переменную w на ƒпо формуле ƒ = eiw. Получим ( )( )( ),2ƒ − ƒ ƒ − ƒƒƒ ƒ − ƒ=ƒƒddƒ (0) = eiz . Перейдем от переменной ƒ к ƒ, воспользо-вавшись формулой 2 ( ) ƒ .ƒ ƒ + ƒƒƒ − ƒdƒ = − m d Получим урав-нение ( )( ) ( ), .1d m eizd ƒ =ƒ + ƒƒ ƒ − ƒƒ ƒ − ƒ= −ƒƒƒ = Заменим внем ƒ на v по формуле v = 1 (ƒ + ƒƒ) и поменяем роля-ми переменные ƒ и v. В результате получим линейноеотносительно v уравнение( )( ) ( ) 1 ., 1+ ƒƒ=ƒ ƒ − ƒ+ƒ − ƒ ƒƒƒ + ƒ= −ƒ ƒ = eiz m v m vddvРешим его. Соответствующее однородное уравне-ние ( )m( ) vddvƒƒ − ƒƒƒ + ƒ= −ƒ имеет общее решение v =( )( ) ( ) ,1 2msmmC Cƒƒ − ƒ=ƒƒ − ƒ= ƒ+ ƒсодержащее произволь-ную постоянную C. Заменяя ее функцией C (ƒ), полу-чим для этой функции методом вариации уравнение( )( ) .2ƒ − ƒ ƒ=ƒ ƒƒ − ƒ mddCmsЕго общее решение имеет вид( ) , const, 2 11+ =ƒ −= ƒ+−du D DuC m ueizsmа общим решениемрассматриваемого неоднородного уравнения будет( )( ) .ƒ 22 11msesmdu Duv m uiz ƒƒ − ƒ⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢⎣⎡+ƒ −=  +−Постоянную D находим из условия ( ) 1 :+1ƒƒv eiz =( )( ) .1 iz 2simzeD e+ ƒƒ ƒ −=Таким образом, для ƒ(ƒ, z) имеем уравнение( ) ( ) ƒ+−+ƒ −=ƒ −ƒ+ ƒƒ eizsmsmduum uv u 2 112 1( )( ) ,1 iz 2simzee+ ƒƒ ƒ −+ (5)в котором ƒ = eiw, w = ƒ + ƒƒ − ƒƒ(ƒ), s = ƒ 2ƒ, m ==(1+iƒ), ƒ = (1+iƒ) / (1 − iƒ), ƒ = eiϕ.Преобразуем правую часть уравнения (5). Восполь-зовавшись легко проверяемым равенством tm/(ƒ−t)2 =( ) ( ) +−ƒ −ƒƒ +=tsmduum u u02 11, получаем( )( ) ( )ƒ + +−ƒ −ƒƒ +=ƒ −eizx ysmiz simzduum u uee02 112 .При нахождении нижнего предела интеграла учте-но, что eimz = eis(1 + iƒ) (x + iy) = e-s(ƒx + y)eis(x − ƒy) и, следова-тельно, eimz 0 при ƒx+y  . Правая часть уравнения(5) представляется в виде суммы интегралов( )( )  ( )+ +−+−ƒ −ƒƒ ++ ƒƒ+ƒ −ƒƒ2 112 111 ,которая после предельного перехода при ƒ  0 прини-мает значение ( ) ( )( )ƒ + +−+ ƒƒ ƒ −− eizx ysmduum u u .112 11Обратимся к левой части уравнения (5), обозначивчерез U ее логарифм. Имеем( )( )= − ( + ƒƒ)− (ƒ − ƒ)=+ ƒƒ ƒ − ƒƒ= ln 2 lnln 2 imw v svU sm= − im (ƒ + ƒƒ)− imƒƒ − ln (v + ƒƒ)− 2s ln (ƒ − ƒ)=( ) 2 ln( ) (1 ƒ) 1 ln ( ) .⎭ ⎬ ⎫⎩ ⎨ ⎧= ƒ − ƒ − m ƒ − ƒ − − i ƒ − m v + ƒƒ − iƒƒm i i sВ соответствии с теоремой 1 существует функция( ) 2ƒ f z X  такая, чтоlim (ƒ ƒ) 2 ln(ƒ ƒ) ( ) 2 ln ƒmif z sms i i − = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ − − −ƒ .Найдем ( ) ( ) . ln 1 ƒ 1 lim H i v m i = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ − ƒ + + ƒƒ + ƒƒƒИз (4)следует, что (1− iƒ)ƒ + m1 ln (v + ƒƒ)+ iƒƒ = m1 ln v ++ m1 ln (v + ƒƒ) и поэтому = 1 ln (− ƒƒ)+ 1 ln (1+ ƒƒ) .H m mТеперь имеем( ) ( ) ( )= ƒƒ + − ƒƒ − − ⎟⎠⎞⎜⎝= ⎛ − ƒƒlim 2m ln ln ln 1U m if z s= mif (z)− (2s +1)ln ƒ − ln (−1)− ln (1+ ƒƒ)− lnm + lnm.В результате выполненных предельных переходов вуравнении (5) при ƒ получаем[ ( )] ( ) ( ) ( )ƒ + +−− −+ − ƒ−=ƒ + ƒƒeizx ysmsif z m duum e m u ue m 2 11ln 12 111 11 1и окончательно [ ( )] ( ) ( )ƒ + +−− ƒ−=eizx ysmif z m duue m u u .112 11Сформулируем полученный результат в виде теоремы.Теорема 2. Пусть ƒ и ƒ - положительные числа, ƒ - ве-щественная постоянная, s = ƒ / 2ƒ, m = s(1+iƒ), y, ⏐ ƒ ⏐ = 1, -комплексная постоянная, ƒ  (1− iƒ) / (1+ iƒ). Тогдафункция ( ) ( )( )mex ysiz mduuf z i m u u12 111ln 1⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢⎣⎡− ƒ−= − ƒ + +−одноли-стно и конформно отображает верхнюю полуплоскость{z: Imz> 0} на область с симметрией переноса вдольвещественной оси на 2ƒ.В частности, при ƒ = 0, s = 1, ƒ = 1 получаем отобра-жение f (z) 2z iln sin 2z 2 + iln 2ƒ= + + полуплоскости ƒ+на плоскость с исключенными замкнутыми областямиDk = D + 2kƒ, k Z , гдеD = {w С : 2w = t + iln (1− cos t) + ƒ + iln 2, − 2ƒ < t ≤ 0}(рис. 2).Рис. 2В работе [1] в случае, если ƒ(ƒ) = ƒ0 = const, из диф-ференциального уравнения (1) получено отображение⎟⎠⎞⎜⎝⎛ − ƒ= ƒ +( ) 2 ln 2 cos 2 00f z i z полуплоскости ƒ+ на пло-скость с разрезами lk = l + 2kƒ, k Z , l = {w С : −

Скачать электронную версию публикации