About one modification of the notion of u-equivalence of topological spaces.pdf Известно, что гомеоморфизм пространств Cp(X) и Cp(Y) по-рождает многозначное отображение пространства X в Y. Такоеотображение, называемое носителем, часто используется придоказательстве теорем об инвариантности различных тополо-гических свойств. Так, в [1] использовались носители линей-ных гомеоморфизмов пространств функций. О. Окунев в [2]ввёл понятие ε-носителя для произвольных гомеоморфизмовпространств функций. Особый интерес в данном контекстепредставляют носители равномерных гомеоморфизмов этихпространств. Использование многозначных отображений в не-которых случаях является основным приёмом в доказательст-ве. Примером является аналог носителя, введённый С.П. Гуль-ко в [3]. Носитель равномерных гомеоморфизмов, рассматри-ваемый в этой статье, аналогичен носителю, построенному в[2], однако в отличие от него обладает рядом новых свойств,например полунепрерывностью. Значениями носителя в общемслучае являются счётные множества. Добавив дополнитель-ное условие конечнозначности носителя, получаем модифика-цию понятия u-эквивалентности топологическихh : B  A - равномерный гомеоморфизм. Будем назы-вать отображение h fu-гомеоморфизмом, если supph x -конечное множество для любого x  X и h 1 y supp − -конечное множество для любого y Y . В этом случаепространства A и B будем называть fu-гомеоморфнымии писать A Bfu≅ .Определение 4. Пусть X, Y - топологические прост-ранства. Будем называть их fu-эквивалентными ( X Yfu~ ),если существует fu-гомеоморфизм h :Cp (X ) Cp (Y)  .Для того чтобы введённое понятие fu-эквивалент-ности на самом деле являлось отношением эквивалент-ности, оно должно быть рефлексивным, симметричными транзитивным. Первые два свойства очевидны, длядоказательства транзитивности потребуются некоторыефакты, доказанные в [4].Пусть X, Y - u-эквивалентные топологические прост-ранства; A, B - достаточные линейные подпространствапространств Cp(X) и Cp(Y) соответственно, и пусть h: B→A- равномерный гомеоморфизм, переводящий нулевуюфункцию Y B 0  в нулевую функцию X A 0  . Зафиксиру-ем точку x  X , ƒ > 0 и некоторое конечное подмножествоK  Y и определим ( , , ) sup ( 1)( ) ( 2 )( ) , a x K ƒ = h g x − h g xгде супремум берётся по всем g g  B 1, 2 , таким, чтоg1( y) − g2 ( y) < ƒ для всех yK. Это определение быловведено С.П. Гулько в [3]. Также определим a(x, K,0) =sup ( 1)( ) ( 2 )( ) , = h g x − h g x где супремумfu-ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРОСТРАНСТВАПонятие fu-эквивалентности является промежуточнымпонятием между l- и u-эквивалентностями (носители ли-нейных гомеоморфизмов Cp-пространств конечны, см. [1]).Естественно возникает вопрос о различении этих отноше-ний эквивалентности. В этом параграфе приведён примерfu-эквивалентных пространств, не являющихся l-экви-валентными. Центральной теоремой параграфа являетсяТеорема 8. Пусть ƒ, ƒ - счётные ординалы. Тогда([1, ƒ]) ≅ ([1,ƒ]) pfuCp C ).Теорема основывается на леммах, доказанных С.П. Гу-лько. Для её доказательства потребуются результаты из [5].Лемма 9[5]. Пусть R2 - евклидова плоскость с нор-мой ( , ) max{| |,| |} x1 x2 = x1 x2 и пусть ƒ>0. Тогда суще-ствуют функции ϕ R  R ƒ: 2 и ƒ : R2  R, ƒ такие, что:(а) − функции ƒƒ и ƒƒ являются липшицевыми с кон-стантами A(ƒ) и B(ƒ) соответственно, т.е. ϕ − ϕ ≤ | ƒ (x) ƒ ( y) |≤ A(ƒ) x − y , ƒ x − ƒ y ≤ B ƒ x − y ƒ ƒ | ( ) ( ) | ( ) для любыхx, y  R2 ;(б) − отображение (x1, x2 ) (x1, ƒ (x1, x2 ))  ϕ есть рав-номерный гомеоморфизм евклидовой плоскости R2 насебя, и обратное к нему отображение имеет вид(x1, x2 ) (x1, ƒ (x1, x2 ))  ƒ ;(в) − ( 1, 2 ) 0 ϕ = ƒ x x при x1=x2;(г) − (1 ) ( 1, 2 ) ( 1, ( 1, 2 ) ( 1, 2 )+ ƒ 1 x x ≤ x ϕ x x ≤ x x ƒ− длякаждого 2(x1, x2 )  R .Лемма 10 [5]. Для любого псевдокомпактного про-странства X, для любого x  X 0 и любого ƒ > 0 отобра-жение C АDS :Cp (X ) R Cp (X |{x0})   ƒ , определённое фор-мулой ( ) ( ( 0 ), ( ( 0 ), ( ))) = ϕ ⋅ Sƒ f f x ƒ f x f есть равномерныйгомеоморфизм, такой, что(1 ) 1 f S ( f ) f , f Cp (X ) , + ƒ ≤ ≤  ƒ−где f sup f (x)xX= .Следствие 11. Отождествим пространство ( { }) R Cp X | x0 из предыдущей леммы с пространством Cp (X ⊕⊕{a} |{x0}) , где a - точка, не принадлежащая X. Тогдаотображение Sƒ из леммы 10  Sƒ :Cp (X )Cp (X {a} | {x0})  ⊕ есть fu-гомеоморфизм.Доказательство. Имеем S (g)(x) = g(x0 ) ƒ , если x = aи Sƒ (g)(x) ƒ (g(x0 ), g(x)) = ϕ , если x  a, где g Cp (X )  ,S −1( f )(x) = f (a)ƒ , если x = x0 и S 1( f )(x) ( f (a), ƒ−ƒ = ƒf (x)) , если x  x0, где ( { } | { 0}) f Cp X a x  ⊕ .Обозначим отображение Sƒ за h1, отображение −1ƒ S за h2 ипокажем, что supp { 0 , }h1 x  x x для любого x  X ⊕ {a} иsupph2 x  {a, x} для любого x  X .Рассмотрим отображение h1. Заметим, что 0supph1 x -пустое множество, так как для любых 1, 2 ( ) g g Cp X выполнено( ( ), ( )) ( ( ), ( )) 0.( )( ) ( )( )1 0 1 0 2 0 2 01 1 0 1 2 0= ϕ − ϕ =− =ƒ ƒ g x g x g x g xh g x h g xСкажем, что K (a)  {x0} ƒ для любого ƒ > 0 . Дейст-вительно, если g1(x0 ) = g2 (x0 ), где g1, g2 Cp (X),  тоh1(g1)(a) − h1(g2 )(a) = g1(x0 ) − g2 (x0 ) = 0 < ƒ для лю-бого ƒ>0, а так как supp 1 ( )ƒ h a K aƒ  (теорема 3), тоsupp { 0}.h1a  x Возьмём теперь x  X \ {x0} и покажемчто K (x)  {x, x0} ƒ для любого ƒ > 0 . Действительно, еслиg1(x0 ) = g2 (x0 ) и g1(x) = g2 (x), где 1, 2 ( ), g g Cp X  то≤ ƒ − − = < ƒ= ϕ − ϕ ≤− =ƒ ƒ( ) max{| ( ) ( ) |,| ( ) ( ) |} 0( ( ), ( )) ( ( ), ( ))( )( ) ( )( )1 0 2 0 1 21 0 1 2 0 21 1 1 2A g x g x g x g xg x g x g x g xh g x h g xдля любого ƒ > 0 , следовательно, K (x)  {x0 , x} ƒ длялюбого ƒ > 0 , поэтому supp { 0 , }h1 x  x x ƒ для любогоƒ>0, и, окончательно, supp { 0 , }h1 x  x x .Рассмотрим отображение h2. Покажем, что ( )  Kƒ x0 {a} для любого ƒ > 0 . Действительно, если f1(a)=f2(a),где 1, 2 ( { }|{ 0}), f f Cp X a x  ⊕ то ( )− ( )( ) = h2 ( f1) x0 h2 f2 x0= f1(a) − f2 (a) = 0 < ƒ для любого ƒ > 0, следователь-но, supp 0 { }.h2 x  aВозьмём x  x0 и покажем, что K (x)  {a, x} ƒ длялюбого ƒ > 0 . Действительно, если f1(a) = f2 (a) и f1(x) == f2 (x), где 1, 2 ( { } | { 0}) f f Cp X a x  ⊕ , то≤ ƒ − − = < ƒ= ƒ − ƒ ≤− =ƒ ƒ( ) max{| ( ) ( ) |,| ( ) ( ) |} 0( ( ), ( )) ( ( ), ( ))( )( ) ( )( )1 2 1 21 1 2 22 1 2 2B f a f a f x f xf a f x f a f xh f x h f xдля любого ƒ > 0 , следовательно, K (x)  {a, x} ƒ для лю-бого ƒ > 0 , поэтому supp 2 { , }ƒ h x  a x для любого ƒ>0, и,окончательно, supph2 x  {a, x} . Итак, отображение Sƒесть fu-гомеоморфизм. Следствие доказано.Лемма 12. Пусть имеется два семейства { } X s s S  и{ } Ys s S  топологических пространств и для каждогоsS существуют достаточные линейные подпростран-ства As  Cp(Xs) и Bs  Cp(Ys) и равномерный гомеомор-физм hs:BsAs. Обозначим s S sX X ⊕= , s S sY Y ⊕= иопределим множества A {f Cp (X ) f X s As } Cp (X ) =  : |  и B {g Cp (Y ): g |Ys Bs } Cp (Y ). =    Отображение h:BA,определённое формулой ( ) | ( | ) h g X s = hs g Ys , где g  B , яв-ляется равномерным гомеоморфизмом, причём supphx == supphs x для любой точки x  X , где s - индекс про-странства Xs, содержащего точку x.Доказательство. Очевидно, что h является равно-мерным гомеоморфизмом пространства B на A. Пока-жем, что supphx  supphs x. Возьмём ƒ > 0, точкуs supp Y x y s hε  и произвольную окрестность Oy точкиy. Тогда существуют gs , gs  Bs такие, что gs = gs намножестве Ys\Oy и hs (gs )(x) − hs (gs)(x) > ƒ . Определимфункции g , g Cp (Y)    :⎩ ⎨ ⎧  =ss sy Y Yg y g0, y y \ Y( ) ( ), ,⎩ ⎨ ⎧  =0, \ .( ) ( ),ss sy Y Yg y g y y Y g( y) = g( y)для любого y Y \ Oy ,h(g)(x) − h(g)(x) = hs (gs )(x) − hs (gs)(x) < ƒ,следовательно, x x y h hε supp  supp и supphs x  supphx.Докажем обратное включение: supph x  supphs x. Возь-мём ƒ > 0 и точку . supp x y s hε∉ Возможны два случая:(а) − y Yt t s  ,  . В качестве окрестности Oy точки yможно взять Yt, тогда для любых g , g Cp (Y)    , совпа-дающих на множестве Y\Oy, выполняется равенствоh(g)(x) − h(g)(x) = h (g | )(x) − h (g | )(x) = 0 s Ys s Ys , сле-довательно, x y hε∉ supp .(б) − y Ys . Существует окрестность Oy точки y впространстве Y такая, что для любых gs , gs  Bs , совпа-дающих на множестве Ys\Oy, выполняется неравенствоhs (gs )(x) − hs (gs)(x) ≤ ƒ . Тогда для любых g , g Cp (Y),   совпадающих на множестве Y\Oy, выполняется неравенствоh(g)(x) − h(g)(x) = h (g )(x) − h (g )(x) ≤ƒ ,s Ys s Ysследовательно, y ∉ suppƒh x. Получаем, что h x suppƒhs x suppƒ для любого ƒ > 0, следовательно, supphx  supphs . Лемма доказана.Следствие 13. Если в условии леммы каждый равномер-ный гомеоморфизм hs:BsAs является fu-гомеоморфизмом,то h:BA также является fu-гомеоморфизмом.Определение 5. Пусть Xn - псевдокомпактное про-странство, n  N . Определим норму на Cp(Xn):f sup f (x)nn x XX = , где f Cp (X ).  Будем обозначать⎭ ⎬ ⎫⎩ ⎨ ⎧= ⎟⎠⎞⎜⎝⎛  = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛  ⊕ ⊕ : lim | 00n n X nn Nn pn Np n C X f C X f . Оче-видно, что0⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ⊕nn NCp X − достаточное линейное под-пространство пространства ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ⊕nn NCp X .Следствие 14. Пусть имеется две последовательно-сти { } Xn n N  и { } Yn n N  псевдокомпактных топологиче-ских пространств и для каждого nN существуют дос-таточные линейные подпространства An  Cp(Xn) иBn  Cp(Yn), fu-гомеоморфизм hn:BnAn и положитель-ные числа a, b, такие, чтоa gn Yn ≤ hn(gn ) X n ≤ b gn Ynдля каждого gn Bn , n N.   (i)Определим множества⎭ ⎬ ⎫⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛  = ⊕n X nn NA f Cp X f A n : |и : | ,⎭ ⎬ ⎫⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛  = ⊕n Y nn NB g Cp Y g B n и отображениеh B C Yn An Np  ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ⊕0: I , заданное формулой = h(g) |Xn( | ), n Y n g h = где B g  . Тогда = ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ⊕0nn Nh B I Cp Y0⎟⎠⎞⎜⎝⎛ = ⊕nn NA I Cp X (ii) и отображение h является fu-го-меоморфизмом из0⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ⊕nn NB I Cp Y на0⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ⊕nn NAI Cp X .Доказательство. Очевидно, что0⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ⊕nn NAI Cp X и0⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ⊕nn NB I Cp Y являются достаточными линейными под-пространствами пространств ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ⊕nn Np X C и ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ⊕nn NCp Yсоответственно. Равенство (ii) следует из условия (i),остальная часть доказательства дословно повторяетдоказательство леммы 12.Доказательство теоремы 8. Для счётного ординала ƒрассмотрим следующее индуктивное предположение(aƒ): для любого ƒ > 0 существует fu-гомеоморфизм: ([1,ƒ])  ([1,ƒ] | {ƒ}), Tƒ Cp Cp такой, что(1+ ƒ) 1 ≤ ( ) ≤ ,  ([1, ƒ]). ƒ−f T f f f C pДля ƒ = ƒ по следствию 11 существует fu-гомеоморфизм: ([1, ƒ])   ([1, ƒ] |{ƒ}) ≈ ([0, ƒ] |{ƒ}). Sƒ Cp R Cp CpОчевидно, что ([0, ƒ] |{ƒ}) Cp можно линейно тополо-гически отождествить с пространством ([1, ƒ] |{ƒ}) Cp безизменения норм элементов ([0, ƒ] |{ƒ}) ([1, ƒ] |{ƒ}, Cp Cpа поскольку линейный гомеоморфизм является fu-гомео-морфизмом, то по следствию 7 композиция fu-гомеомор-физмов : ([1,ƒ])  ([1,ƒ] | {ƒ}) Tƒ Cp Cp также будет fu-го-меоморфизмом, что доказывает утверждение (aƒ).Если ƒ = ƒ + 1, то ([1, ƒ]) Cp ≈ ([1,ƒ]) Cp , поэтому(aƒ) следует из (aƒ).Пусть ƒ - предельный ординал и пусть sup n ,n Nƒ = ƒгде 0 = ƒ0 < ƒ1 < ƒ2 0 так, чтобы(1+ ƒ)2 ≤ 1+ ƒ . По следствию 11 существует fu-гомеомор-физм : ([1, ƒ])  ([1, ƒ] |{ƒ}) Sƒ Cp Cp (так какfuCp ([1, ƒ]) ≅≅  ([1, ƒ] |{ƒ}) ≈ ([1, ƒ] |{ƒ}), p pfuR C C такой, что+ ƒ f ≤ S f ≤ f ƒ(1 )−1 ( ) ,  ([1, ƒ]) f C p . (1)Легко видеть, что ([1, ] |{ }) ( , ] ,01 ⎟⎠⎞⎜⎝ƒ ƒ ≈ ⎛ ƒ ƒ − ⊕n nn NCp Cp акаждый полуинтервал (ƒn-1, ƒn] гомеоморфен некоторомусегменту [1, ƒn], причём ƒn < ƒ. Обозначим = [1, ƒ], XnYn [1, n ], n N, = ƒ  тогда ([1, ] | { }) .0⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ≈ ƒ ƒ ⊕nn NCp Cp Y Таккак ƒn < ƒ, то по индуктивному предположению длякаждого n  N существует fu-гомеоморфизм hn :Cp (Y n)  ([1, ƒ] |{ƒ}) Cp такой, что для каждого gn Cp (Y n) вы-полнено неравенство(1 ) 1 ( ) .+ ƒ − gn Yn ≤ hn gn Xn ≤ gn Yn (2)Обозначим An = Cp ([1, ƒ] |{ƒ})  Cp (Xn ), Bn = Cp (Yn).Определим множества: | ;⎭ ⎬ ⎫⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛  = ⊕n X nn NA f Cp X f A n⎟⎠⎞⎜⎝= ⎛⎭ ⎬ ⎫⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎠⎞⎜⎝=  ⎛ ⊕ ⊕ nn Nn Y n pn NB g Cp Y g B C Y n :|и отображение h B C Y C Yn An Nn pn Np  ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ⊕ ⊕ 0  0: I , оп-ределённое формулой ( ) | ( | ), h g Xn = hn g Yn где g  B . Та-ким образом, мы находимся в условиях следствия 14, откудаполучаем, что h является fu-гомеоморфизмом из0⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ⊕nn NCp Y на0⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ⊕nn NAI Cp X . Из формулы (2) следу-ет также неравенство⎟⎠⎞⎜⎝⎛  ≤ ≤ ƒ + ⊕−nn NY X Y p (1 ) 1 g h(g) g , g C Y . (3)Ясно, что0 n N C0n nn Np A X C A ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ≈ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ⊕ ƒ I и An c0 , n N. ≈ Таким образом, ( ) 0 0 0 ...0n Cn Np c c X C A   ≈ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ⊕I ,( 0 0 ...) 0 0 ([1, ] |{ }).  ≈ ≈ ƒ ƒ C p c c c C Учитывая это замеча-ние, можно считать, что построенное выше отображе-ние h является fu-гомеоморфизмом из0⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ⊕nn NCp Y на([1, ƒ] |{ƒ}) Cp . Композиция ƒ T = h o S по следствию 7является fu-гомеоморфизмом пространства ([1, ƒ]) Cp на([1, ƒ] |{ƒ}) Cp . Из формул (1) и (3) следует, что выполне-но неравенство (1+ ƒ)−2 f ≤ T( f ) ≤ f ,  ([1, ƒ]). f C pПолагая Tƒ=T, мы получаем утверждение (aƒ). Индук-ция полная. Итак,([1,ƒ]) ≅ ([1,ƒ] | {ƒ}) pfuCp Cи([1, ƒ]) ≅ ([1, ƒ] |{ƒ}) pfuCp Cдля любых двух счётных ординалов ƒ и ƒ, следовательно,([1, ƒ]) ≅ ([1,ƒ]) pfuCp C . Теорема доказана.Ч. Бессага и А. Пелчинский [6] установили, что для счёт-ных ординалов ƒ и ƒ, ƒ≤ƒ пространства Cp([1, ƒ]) и Cp([1, ƒ])линейно гомеоморфны

Скачать электронную версию публикации