Spherical nonholonomic rotation surfaces.pdf Неголономной поверхностью в четырехмерном евклидовомпространстве E4 называют [2] совокупность всех интегральныхкривых не вполне интегрируемого уравнения Пфаффа Pƒdxƒ (ƒ = 1,4), где Pƒ- гладкие функции в некоторой области G  E4,причем Pƒ не обращаются в нуль одновременно ни в какой точкеM  G. Интегральные кривые этого уравнения, проходящие че-рез точку M, касаются в этой точке одной гиперплоскости, назы-ваемой касательной плоскостью неголономной поверхности вточке M. Прямая, проходящая через точку M перпендикулярнокасательной гиперплоскости, называется нормалью неголоном-ной поверхности в точке M.Определение 1. Сферической неголономной поверхностьювращения называется такая неголономная поверхность, все нор-мали которой пересекают неподвижную прямую (ось вращения).1. ГЛАВНЫЕ КРИВИЗНЫ 2-го РОДАСФЕРИЧЕСКОЙ НЕГОЛОНОМНОЙПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯПусть неголономная поверхность задана в некото-рой области G  E4 и M  G. Ортонормированный под-вижной репер { } ƒ M er , (ƒ = 1,4) выберем так, чтобы e4 rбыл направлен по нормали к неголономной поверхно-сти в точке M.Деривационные формулы репера имеют вид,,ƒƒƒ ƒƒƒ= ƒ= ƒde edr er rr r(1)где rr - радиус-вектор точки M, ƒƒƒƒ ƒ = −ƒ (ƒ,ƒ =1,4).Кроме того, имеем.,ƒƒƒ ƒƒƒƒƒƒƒƒ = ƒ  ƒƒ = ƒ  ƒD D(2)Так как формы {ƒ1, ƒ2 , ƒ3 , ƒ4} являются базисны-ми, то оставшиеся главные формы ƒƒ4 выразятся черезбазисные следующим образом:4 ,ƒ ƒƒƒƒ = A ƒ ƒ,ƒ =1,4. (3)При таком выборе репера неголономная поверх-ность определяется уравнением Пфаффаƒ4 = 0. (4)В каждой точке M области G определим линейныйоператор A формулой( ) 4. A dr der r = (5)Оператор A векторы касательной плоскости неголо-номной поверхности (1.4) переводит в векторы этой жеплоскости. Поэтому можно говорить о сужении A* опе-ратора A на касательную плоскость. Матрица операто-ра A* в базисе { } ei r (i = 1,3) имеет вид( ) .333231232221131211⎟ ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜ ⎜⎝⎛∗ =A A AA A AA A AAeКорни характеристического уравнения0333231232221131211=−−−ƒƒƒA A AA A AA A A(6)оператора A*, взятые с противоположным знаком, назы-ваются главными кривизнами 2-го рода неголономнойповерхности, а собственные векторы оператора A*, соот-ветствующие им, - главными направлениями 2-го рода вточке M. Линией кривизны 2-го рода называется линиянеголономной поверхности, в каждой точке которойкасательная идет по главному направлению 2-го рода.Поместим вектор e1 r в плоскость, проходящую черезнормаль сферической неголономной поверхности вра-щения и ось вращения l. Пусть F - точка пересечениянормали неголономной поверхности вращения с ееосью l, Fr- радиус-вектор точки F. ТогдаF r te4 . r r r= + (7)Так как F описывает прямую l при ƒ4 = 0 , то dFrдолженлежать в плоскости { } M,e1,e4 r r при условии ƒ4 = 0. Так как( 3),32 424113 4 43221dF 1e e e dte t e e er r r r r r r r= ƒ + ƒ + ƒ + + ƒ + ƒ + ƒ то от-сюда0, 3 0,43 242 = ƒ + ƒ = ƒ + ƒ t t , 0 24ƒ2 + tƒ = 3 0,4ƒ3 + tƒ =следовательно,( )( ) 0.0,3 333 223 1132 332 222 112ƒ + ƒ + ƒ + ƒ =ƒ + ƒ + ƒ + ƒ =t A A At A A AВ силу линейной независимости форм ƒ1, ƒ2 , ƒ3имеем3 02312321 A = A = A = A = , 221At = − , 3322 A = A , (8)и теперь уравнение (6) имеет вид00 00 03322131211=− ƒ− ƒ− ƒAAA A A.Так как главные кривизны 2-го рода ki = ƒi (i = 1,3), то11 1 k = −A , 22 3 2 k = k = −A . И мы приходим к следующемуутверждению.Теорема 1. Для сферической неголономной поверхностивращения все три кривизны 2-го рода вещественны, приэтом две из них, k2 и k3, совпадают, а третья k1 не равна им.Полной кривизной 2-го рода называется величинаK2, равная определителю матрицы оператора A*. Сред-ней кривизной H2 2-го рода называется след матрицыоператора A*. Для сферической неголономной поверх-ности вращения122 K = −k k , H2 = −2k − k1, (9)где k = k2 = k3.Главное направление 2-го рода, соответствующееk1, определяется уравнениямиƒ2 = ƒ3 = ƒ4 = 0. (10)Таким образом, вектор e1 r определяет главное направ-ление 2-го рода, соответствующее k1.Главные направления 2-го рода, соответствующие k,определяются уравнениями( ) 1 3 0, 4 0.31 222 1211 A − A ƒ + A ƒ + A ƒ = ƒ = (11)То есть главные направления 2-го рода, соответствую-щие кратной кривизне k, заполняют двумерную плос-кость, лежащую в касательной гиперплоскости к ƒ4 = 0.Эта плоскость пересекает плоскость, ортогональнуювектору e1 r и проходящую через точку M, по прямой.Направим вектор e2 r по этой прямой, тогда 1 02 A = ирепер становится каноническим.В нем формулы (1.3) имеют вид.,,3 443 342 442 241 441 331114ƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒ ƒk Ak Ak A A= − += − += − + +(12)Так как репер { } ƒ M er , (ƒ = 1,4) - канонический, товсе функции в формулах (11) - инварианты. Величиныk, k1 - главные кривизны 2-го рода. Величины 14 A , 24 A ,34 A - координаты вектора 332 421 414 A e A e A er r r + + , представ-ляющего собой вектор кривизны линии тока векторно-го поля e4 r . И наконец, инвариантный вектор e2 r r ƒ = ƒ ,где 12 3ƒ = − 1 A , - вектор неголономности, т.е. вектор,обращение в нуль которого характеризует голоном-ность ƒ4 = 0.Обозначив A1 = a4 , A2 = b4 , A3 = c4 , мы приведемформулы (1.12) к виду.,2 ,3 3 444 2 241 3 4114ƒ = − ƒ + ƒƒ = − ƒ + ƒƒ = − ƒ − ƒƒ + ƒk ck bk a(13)Замкнем систему (13). После соответствующих вы-числений приходим к следующим выражениям формПфаффа через базисные формы:[( ) ] ( )( ( ))( )( ( ))( ) 2 .2 ,2 ,2 ,,22 ,, ,, , 2 ,1 31212 12444334 1224114434333223113424323222112232 2 414 1313 1221211 114121 3 212 13 342 241 3 41143123121221ƒ = − ƒ + ƒ − ƒ ƒ− = ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ − ƒ + ƒ + ƒ ƒƒ = ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒƒƒ = ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒ+ ƒ + + ƒ= ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ + ƒ ƒ − ƒ += ƒ − ƒ + ƒƒ + − ƒ ƒƒ = − ƒ ƒ = − ƒƒ = ƒ ƒ ƒ = ƒ ƒ ƒ = − ƒ − ƒƒ + ƒd kk kda k kdk adk adk k k k ak kk a(14)В выбранном нами каноническом репере линиикривизны 2-го рода, соответствующие k1, определяютсяследующей системой уравнений Пфаффа:ƒ2 = ƒ3 = ƒ4 0, (15)которая, очевидно, вполне интегрируема. Это значит,что через каждую точку MG проходит одна линиякривизны 2-го рода, соответствующая главной кривиз-не k1. Линии же кривизны 2-го рода, соответствующиекратной кривизне k 2-го рода, определяются толькодвумя уравнениями Пфаффа:( ) 1 2 3 0, 4 0,1 k − k ƒ + ƒƒ = ƒ = (16)полная интегрируемость которых не очевидна. Дока-жем, что система (16) вполне интегрируема. Используяформулы (2), (3), (14), вычислим(( ) ) (( ) 1 3) 411 3D k1 − k ƒ + 2ƒƒ  k − k ƒ + 2ƒƒ  ƒ (17)и(( ) 1 2 3 ) 4.1Dƒ4  k − k ƒ + ƒƒ  ƒ (18)Имеем( )( )2 (( ) 2 ) 0.2 0,21 3 411 31 2 3 4123 2 1 423 12 3 1 423 12 1 3 412ƒƒ  ƒ  − ƒ + ƒƒ  ƒ =+ ƒƒ ƒ  ƒ  ƒ  ƒ =+ ƒ − ƒ  ƒ  ƒ  ƒ ++ ƒ − ƒ  ƒ  ƒ  ƒ +ƒƒ ƒ  ƒ  ƒ  ƒ +k kk kk kТо есть для (16) выполнены условия полной интег-рируемости. Это значит, что через каждую точку MGпроходит двумерная поверхность, состоящая из техлиний кривизны 2-го рода, которые соответствуютглавной кривизне k.Находим направляющий вектор оси вращения l. Ондолжен быть параллелен ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + 41 ekd F r r. Пользуясь фор-мулами (1) и (14), находим⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + 41 ekd F r r||( ) ke1 12e4 r r +ƒ .Так как прямая l неподвижна, то( ) 1 12 4 d ke er r +ƒ ||( ) 1 12 4 ke er r +ƒ .Соответствующие вычисления показывают, что этовозможно лишь при ƒ = −a 12 . Тогда из (1.14) следует1214 ƒ = −a − kk , 24 0 ƒ = , ƒ34 = 2ƒk1 , 44 0 ƒ = .При этих условиях, характеризующих сферическуюнеголономную поверхность вращения, формулы (14)примут вид:[( ) ] ( )( ) ( )( ) 2 .2 2 ,2 ,4 ,2 ,, ,, , 2 ,1 3124133322311332322211223412131321211 111 3 2 2 413 342 241 3 41143 312 21− = − − ƒ − ƒ ƒƒ = ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒƒƒ = ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒ= ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ − ƒ ƒ + − ƒ= − − ƒ + ƒƒ + + ƒƒ = − ƒ ƒ = − ƒƒ = − ƒ ƒ = − ƒ ƒ = − ƒ − ƒƒ + ƒda a kk kd kdk a k kkdk a k k k ak ka a k a(19)Уравнение оси вращения в векторной форме имеет вид= Rrr ( )4 1 41k e t ke aer r r + + − .Тогда в декартовых координатах ось вращения оп-ределяется системойx2 = 0, x3 = 0, ax1 + kx4 = 1. (20)2. МЕРИДИАНЫ И ПАРАЛЛЕЛИСФЕРИЧЕСКОЙ НЕГОЛОНОМНОЙПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯОпределение 2. Двумерные поверхности, состоящие изтех линий кривизны 2-го рода, которые соответствуют крат-ной главной кривизне 2-го рода, называются параллелямисферической неголономной поверхности вращения.Теорема 2. Нормали сферической неголономнойповерхности вращения во всех точках параллели пе-ресекаются в одной точке, лежащей на оси вращения.Доказательство. На нормали к сферической неголоном-ной поверхности вращения возьмем точку ⎟⎠⎞⎜⎝⎛kF 0,0,0, 1 ипокажем, что она остается постоянной для всех нормалейсферической неголономной поверхности вращения, взятых вточках параллели (16). Действительно, в точках параллелидля радиус-вектора 41 ekF r r r r= + точки F имеем2 0.1231 1221131 12211= ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ƒƒ−+ − ƒ − ƒ +ƒ +ƒ−= ƒ + ƒ −k k e k e k k k edF e e k k er r rr r r rОтсюда следует, что F = const.rТо есть точка F нанормали неподвижна вдоль параллели.Теорема 3. Кратная главная кривизна 2-го рода kпостоянна в точках параллели.Действительно, из (14) и (16) видно, что вдоль па-раллели dk = 0, а следовательно, главная кривизна kпостоянна.Теорема 4. Всякая параллель лежит на трехмерной сфе-ре с центром в точке пересечения нормалей неголономнойповерхности вращения, взятых в точках данной параллели.Доказательство. Найдем соприкасающуюся сферупараллели в ее произвольной точке. Уравнение сопри-касающейся сферы ищем в виде, 2 , 00 0. R R + N R + a =r r r r(17)Потребуем, чтобы некоторая точка параллели (16)принадлежала бы поверхности (17):, 2 , 00 0. r r + N r + a = r r r r (18)Продифференцировав уравнение (18) дважды иучитывая, что в уравнении сферы члены с произведе-нием координат отсутствуют, получаем( )( ), , 0,2,, , ,2,, 0,2 , , 2 ,, , 0,3 42213 4 2 22211 31 1 3 12 2+ =ƒƒ+ −+ + +ƒƒ−− − =ƒ − − + ƒ −+ =a N e N e k N ea e r e r k e r e ek k N ee r k k e r N ee r N er r r r r rr r r r r r r rr rr r r r r rr r r r3 , , 3 0, e r + N e = r r r r( )2 ( ) , 0,2 , ,2 , ,, 2 , ,1 2222 12 31 2 23 12223 1 2 12 3− =ƒƒ−− ƒ − ƒ −− + ƒ −ƒƒ−ƒ − ƒ − ƒ −k k N ea N e N ek k e r N ee r a e r e rr rr r r rr r r rr r r r r r− ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ƒ − ƒ + ƒ−ƒ++−ƒ−−ƒ−− ƒ − ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ƒ−ƒƒ −k k a e rk k e r k k e ekk k e r a e rr rr r r rr r r r2 4 ,4 , 4 ,2 , 2 ,11 13 311 11241213 1 3133( ) ( )( ) ( )( ) ( ) − ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−ƒ−ƒƒ− − + −− ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ƒ − ƒ + ƒ−ƒ+−ƒ−− ƒ − ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ƒ−ƒ+ ƒ −− − − − +− ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−ƒ−ƒƒ− − + −2123 121 1 111 13 3141213 1 31331 4 1 3 32123 121 1 1, 2 ,4 , 2 4 ,2 , 2 ,, ,, 2 ,a k k N e k k k k N ek k N e k k a N ekk k N e a N ek k k e r k k e ea k k e r k k k k e rr r r rr r r rr r r rr r r rr r r r( 1 ) , 4 0. − k − k k N e = r r(19)Так как мы ищем соприкасающуюся сферу относи-тельно локальной системы координат, то в ней 0r r r = .Следовательно, из (18), (19) получаем4 ( ) 4 ( ) 0.0, 1 ,04 1 041211 1 331200 01 02 03 04 22− − =−ƒ− − −−ƒ−= = = = = −k k a k k k ak k a k k a ka a a a a k aПоложим a22 = − 1/k. Так как в уравнении сферыкоэффициенты при квадратах координат равны, имеемa11 = a22 = a33 = a44 = 1. Теперь, когда все коэффициентынайдены, запишем уравнение соприкасающейся сферы:( 1 )2 + ( 2 )2 + ( 3)2 + ( 4)2 − 2 x4 = 0.kx x x x (20)Проведя соответствующие вычисления, мы обнару-живаем, что сфера (20) не меняется при движении точ-ки вдоль параллели (16). Тем самым мы показали, чтопараллели сферической неголономной поверхностивращения лежат на трехмерной сфере.Преобразовав уравнение (20) к виду( ) ( ) ( ) 1 1 ,221 2 2 2 3 2 4k kx x x x = ⎟⎠⎞⎜⎝+ + + ⎛ − (21)заключаем, что центр сферы находится в точке ⎟⎠⎞⎜⎝⎛kF 0,0,0, 1пересечения нормалей сферической неголономной по-верхности вращения, взятых в точках данной параллели.Из (14) следует, что вдоль параллели в общем слу-чае полная кривизна 2-го рода (в отличие от голоном-ного случая) непостоянна. Но одна из главных кривизн2-го рода (k) постоянна.Определение 3. Линии кривизны 2-го рода, соот-ветствующие некратной кривизне k1 2-го рода, называ-ются меридианами сферической неголономной поверх-ности вращения.Меридианы определяются уравнениямиƒ2 = ƒ3 = ƒ4 = 0. (22)Теорема 5. Всякий меридиан лежит в двумернойплоскости, проходящей через ось вращения.Доказательство. Согласно выбранному нами реперу,{ } M, e1, e4 r r - плоскость, проходящая через ось враще-ния. Ее уравнения в координатах имеют видx2 = x3 = 0. (23)Покажем, что эта плоскость постоянна вдоль мериди-ана (22), воспользовавшись формулой ƒ ƒ ƒƒdxƒ = −ƒ x − ƒ .Имеем dx2 = 0, dx3 = 0.Таким образом, мы показали, что плоскость (23) неменяется вдоль меридиана (22), т.е. меридиан лежит наэтой двумерной плоскости.Теорема 6. Меридианы являются прямыми линиямилишь тогда, когда полная кривизна 2-го рода равна нулю.Действительно, вдоль меридиана4 014 143 132 121 1 de = ƒ e + ƒ e + ƒ e = k ƒ e = r r r r rтогда и только тогда, когда k1 = 0, а следовательно, ко-гда K2 = 0.Предложение. Линия тока векторного поля норма-лей { } e4 r неголономной поверхности вращения лежит водной двумерной плоскости с осью вращения и с мери-дианом и ортогональна последнему.Действительно, поскольку касательный вектор ли-нии тока векторного поля нормалей { } e4 r4433221dr 1e e e er r r r r = ƒ + ƒ + ƒ + ƒ || e4 r ,то уравнения линии тока имеют вид ƒ1 = ƒ2 = ƒ3 = 0.Очевидно, что линия тока векторного поля нормалейортогональна меридиану в произвольной точке M неголо-номной поверхности. Видим, что линия тока, меридиан(22), а также ось вращения (20) лежат в плоскостиx2 = x3 = 0. (24)Так как0, 3 4 3 0,43 112 4 242 11 ƒ x + ƒ x + ƒ = ƒ x + ƒ x + ƒ =то плоскость (2.8) постоянна вдоль линии тока.3. ГЛАВНЫЕ КРИВИЗНЫ 1-го РОДАСФЕРИЧЕСКОЙ НЕГОЛОНОМНОЙПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯВ выбранном нами каноническом репере матрицаоператора A* имеет вид⎟ ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜ ⎜⎝⎛−−− − ƒ∗ =kkkA0 00 01 0 2.Если ƒ4 = 0 не голономно, то оператор A* не сим-метричен. Его можно разложить на сумму двух опера-торов: симметричного B и кососимметричного:⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒ− ƒ+⎟ ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜ ⎜⎝⎛− ƒ −−− − ƒ∗ =0 00 0 00 000 01 0kkkA .Матрица кососимметричной части оператора A*имеет только три существенные компоненты, опреде-ляющие некоторый инвариантный вектор e2 r r ƒ = ƒ , ле-жащий в касательной гиперплоскости и называемыйвектором неголономности в силу того, что он равеннулю лишь для голономного ƒ4 = 0.Собственные значения оператора B с матрицей,00 01 0⎟ ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜ ⎜⎝⎛− ƒ −−− − ƒ=kkkBвзятые с противоположными знаками, называются глав-ными кривизнами 1-го рода, а собственные векторы, им со-ответствующие, - главными направлениями 1-го рода [3].Так как оператор B - симметричный, то главныекривизны 1-го рода в каждой точке M  G являютсядействительными числами.Теорема 8. Все три главные кривизны 1-го родасферической неголономной поверхности вращенияразличны, одна из них совпадает с кратной кривизной2-го рода.Доказательство. Найдем собственные значения опе-ратора B. Характеристический многочлен− ƒ − − ƒ− − ƒ− − ƒ − ƒkkk00 01 0оператора B равен ( )[ ( )( ) 2 ] .1 k + ƒ − k + ƒ k + ƒ + ƒЭто значит, что одна из главных кривизн 1-го родаk ( ) = −ƒ = k 111 , т.е. совпадает с кратной кривизной 2-города, а две другие вычисляются по формуле( ) ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= +  − 2 + 21 112,3 42k 1 k k k k ƒ .Наибольшая и наименьшая из главных кривизн 1-города являются экстремальными значениями нормальныхкривизн кривых, проходящих через точку M  G [3].Определитель матрицы оператора B есть полнаякривизна K1 1-го рода, след матрицы оператора B -средняя кривизна H1 1-го рода.Средние кривизны 1-го и 2-го рода совпадают (H1 = H2)для любой неголономной поверхности [3].Полные кривизны 1-го и 2-го рода сферической не-голономной поверхности вращения связаны следую-щим равенством. 22 1 = − ƒr K K k (25)Так как k  0, то из формулы (25) следует, что длясферической неголономной поверхности вращения в E4полные кривизны 1-го и 2-го рода совпадают тогда итолько тогда, когда ƒ4 = 0 голономно.Заметим, что для произвольной неголономной по-верхности из равенства полных кривизн 1-го и 2-города в пространстве размерности больше трех не сле-дует голономность [1].Теорема 9. Если K2 = 0, то в каждой точке M  Gкасательные к асимптотическим линиям неголономнойповерхности вращения образуют действительный ко-нус 2-го порядка. Меридиан при этом является прямойлинией и одной из образующих этого конуса.Доказательство. Из равенства , 1 , 2 , 3 0,d 2r e e e = r r r rхарактеризующего асимптотические линии, находимдифференциальные уравнения асимптотических линий2ƒƒ1ƒ3 + k(ƒ2)2 + k(ƒ3)2 = 0, ƒ4 = 0. (26)Тогда совокупность всех касательных к ним в даннойточке определяется уравнениями( ) ( 1)2 0, 4 0,22 22 2 3 1 = =ƒ− ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ƒ+ + x xkx x k xт.е. представляет собой действительный конус 2-го порядка.Так как меридиан определяется системой (15), то мывидим, что он является одной из асимптотических линий. Сдругой стороны, вдоль меридиана 1 0 de = r , т.е. его каса-тельный вектор e1 r не меняется. Это значит, что меридианпри K2 = 0 есть прямая линия - одна из асимптотических,проходящих через данную точку.

Скачать электронную версию публикации