On some properties of symmetric polynomial.pdf Пусть F(z) - однозначная аналитическая в областиD функция. Определим разделенную разность n-го по-рядка функции F(z) в попарно различных точках z0,...,znD следующей рекуррентной формулой:[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] ; ,..., ; ,..., ; ,..., ,00 1 10nn nn z zF z z z F z z z − F z z z−= −[F(z) ; z0]= F(z0 ) .Разделенная разность функции F(z) является анали-тической по любому из своих аргументов. Это поз-воляет доопределить n-ю разделенную разность нашейфункции F(z) в том случае, когда среди точек z0,...,znD есть совпадающие между собой точки. Например,если z0 = z1 = 0, то полагаем [F(z); 0, 0] = F(0).Вообще, если точки 0,..., sD и попарно различны,то полагаем [1]( )( ) ( )[ ( ) ],...; ,...,1 !... 1 !1; ,..., ,..., ,...,1 10000 000− −− − −==⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢⎣⎡ sspspsn ssps spF zp pF z 14243 14243где p0 + ... + ps = n + 1. В частности, если z0 = ... = zn = , то( ) ! ( )( ) .; ,..., 11= ⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢⎣⎡ +nnF z n F 123Таким образом, разделенная разность является в не-котором смысле обобщением производной и обладаетмногими замечательными свойствами, часть из кото-рых можно найти в [1, 2].Сформулируем несколько простейших свойств сим-метрического однородного многочлена.Свойство 1. Пусть l и n − целые неотрицательныечисла. Для функции F(z) = zl, где l ≥ n ≥ 0, справедливоравенство l−n(z0,..., zn) = [zl; z0,..., zn].Свойство 2. При любых комплексных z0,..., zn спра-ведливо равенство ( ) ( ).,..., ,...,00 1 0 = = −kmk mk z zn m z zn zСвойство 3. Справедливо равенство k−1(z0, z1,..., zn−1) =( ) ( ), ,..., ,..., ,0 10 1 1 1++− − =nk n k nz zz z z z z если z0 zn−1, и равен-ство ( ) ( ) ,..., , , ,..., | , 011 0 0 z zk nk n zz z z z z z − = = если z0 = zn+1.Заметим, что в вышеуказанных формулах аргумен-ты перестановочны. Этим замечанием мы пользуемся ив дальнейшем.Свойство 4. Пусть 0,..., s и 0,..., p - два множест-ва комплексных чисел. Тогда справедливо равенство( ,..., , ,..., ) ( ,... , ,..., ),00 0 , 0 0 = = kmk s p k m s p (1)где k ,m ( 0 ,... s , 0 ,..., p ) k m( 0 ,..., s) m ( 0 ,..., p ) . = ⋅ −Доказательство. Согласно свойству 2 при любыхфиксированных 0,..., p справедливо тождество по :( , ..., ) ( ,..., ) .00 0 +=+ −+ = k smm pk s mk s p (2)Пользуясь элементарными свойствами разделенныхразностей, возьмем от обеих частей тождества (2) раз-деленную разность s-го порядка по точкам 0,..., s: [ ( ) ]= k+s , 0 ,..., p ; 0 ,..., s( ,..., ) ( ,..., ) .00 0 =− = ⋅ kmk m s m pС другой стороны, [ ( ) ]= k+s , 0 ,..., p ; 0 ,..., s= [[ + + + ] ]=p sk s p ; , 0 ,..., ; 0 ,...,1= [ ; 0 ,..., , 0 ,..., ] ( 0 ,..., , 0 ,..., ) .1s p k s pk+s+ p+ = Отсюда следует наше утверждение.Последовательность положительных чисел a0, a1,…, ak назовем -последовательностью, если для ее чле-нов выполняются неравенства1 1,2+ − ≥ am am am m = 1,..., k −1 . (3)Если последовательность a0, a1, …, ak такова, что a0 == a1= ... = ak, то она называется тривиальной -после-довательностью. Простейшим примером -последовате-льности является геометрическая прогрессия. Тривиаль-ную -последовательность не будем причислять к гео-метрической прогрессии. Заметим, что из (3) следует2 .ln ln +1 ln −1 +≥ m mma a aЭто означает, что -последовательность являетсялогарифмически выпуклой вверх числовой последова-тельностью. Из (3) также следует, что... 1 .2110mmaaaaaa ≤ ≤ ≤ −С -последовательностями можно познакомитьсятакже в [3]. Из сказанного сразу следует справедли-вость следующих лемм.Лемма 1. Если последовательность a0, a1, …, ak есть-последовательность, то она может быть только сле-дующих двух типов:1. Монотонной (возрастающей, убывающей, триви-альной).2. Возрастающе-убывающей, т.е. найдется такое чис-ло l, что сначала a0 ≤ a1 ≤ ... al, а затем al ≥ al+1≥… ≥ ak,где среди чисел a0, a1, …, ak есть хотя бы два числа, неравных между собой.Лемма 2. Пустьa0, a1, …, ak; (4)b0, b1,..., bk (5)есть две -последовательности. Тогда последователь-ностьa0b0,..., akbk (6)также есть -последовательность.Для того чтобы -последовательность (6) была гео-метрической прогрессией, необходимо и достаточно, что-бы -последовательности (4) и (5) были геометрическимипрогрессиями с произведением знаменателей, не равнымединице, либо одна из них была бы геометрической про-грессией, а другая была бы тривиальной. Для того чтобы-последовательность (6) была тривиальной необходимои достаточно, чтобы обе -последовательности (4) и (5)были тривиальными или обе -последовательности (4) и(5) были бы геометрическими прогрессиями с произведе-нием знаменателей, равным единице.Лемма 3. Если последовательность c0,..., ck есть -по-следовательность, то и последовательность ck,..., c0 естьтакже -последовательность.Следующие две теоремы связывают -последовате-льности и однородные симметрические многочлены.Теорема 1. Пусть 0,..., s - неотрицательные числа и0 > 0,..., s. Тогда при любых s ≥ 0 и l ≥ 0 последо-вательность симметрических многочленовl( 0 ,..., s), l 1( 0 ,..., s), l 2( 0 ,..., s),..., + + (7)имеющая не менее трех членов есть -последователь-ность. При любом фиксированном m, где m ≥ l, тройкамногочленовm( 0 ,..., s) , m 1( 0 ,..., s) , + ( )m s +2 0 ,..., (8)может быть геометрической прогрессией или тривиаль-ной последовательностью лишь в том случае, если онаимеет вид0 ,m 1,0m+ 2.0m+ (9)Доказательство. Обозначим для краткости m,s ==m(0,..., s). Установим, чтоm s m 1,s m 1,s2, + − ≥ ⋅ (10)при любом m ≥ l + 1 и любом s ≥ 0. Для этого восполь-зуемся индукцией по s. При s = 0 имеем ,0 ( 0 ) 0 .mm = Значит, при s = 0 и любом m ≥ 1 неравенство (10), какследует из (9), будет справедливо. Пусть неравенство (10)справедливо при некотором s = p и любом m ≥ l + 1.Докажем справедливость неравенства (10) при s = p + 1 илюбом m ≥ l + 1. Имеем... 1, 1 , .1, 1 1 1, 1 m p p m pmplmpm p = + ⋅ + + ⋅ + − +−+ + + (11)Отсюда m,p+1= p+1m−1,p+1+ m,p. Вычисления пока-зывают, что − ⋅ = ⋅ + + + + − + +mpm p m 1, p 1 m 1, p 1 m, p 12, 1( ) .101 , 1 , 1 , , −=− + − − + + ⋅ − ⋅ ⋅ mjjpm p m j p m p m j pДокажем, что при любом m ≥ l + j + 1 будут выпол-няться неравенства, , 1, 1, 0, ⋅ − ⋅ ≥ m p m− j p m+ p m− j− p j = 0,1,...,m − l −1 . (12)Действительно, по предположению при s = p и любомm ≥ l + j + 1 имеем1, 1, ,2m, p m+ p m− p ≥ ⋅ , 2, ,2m−1, p m p m− p ≥ ⋅ .............................,1, 1, .2m− j, p m− j+ p m− j− p ≥ ⋅ Перемножая эти неравенства, получим... ....1, 1, 1, 1,1, ,2,m p m p m j p m j pm p m p m j p+ − − + − −− −≥ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≥Деля обе части последнего неравенства на общие мно-жители, придем к (12). Из (11) и (12) и того, что m,p > 0 иp+1, заключаем, что неравенство (10) справедливо при s == p + 1. Пользуясь индукцией по s, убеждаемся в том, чтонеравенство (10) имеет место при любом s ≥ 0 и любомm≥ l + 1. Это означает, что последовательность (7) есть-последовательность. Таким образом, первая часть тео-ремы 1 доказана. Докажем вторую часть. Пусть 0 > 0,0 1, s = 0 или 0 > 0, 0 1, s > 0, 1 = 2 = ... = s = 0,тогда для любого m ≥ 0 имеем( 0) 0 ,0,...,0 0 ,msm m = ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ = 123что приводит нас к геометрической прогрессии. Можетслучиться, что 0 = 1 и тогда мы получим тривиальнуюпоследовательность, образованную из единиц. В остальныхслучаях, т.е. если среди чисел 0,..., s есть хотя бы двачисла, не равные нулю, то тройка чисел (8) не образуетгеометрической прогрессии, а также тривиальной последо-вательности. В самом деле, в силу симметрического свой-ства многочленов ( ) m s 0 ,..., относительно переменных0,..., s можно считать, что 0 > 0 и s > 0. Опираясь наформулу (11), имеем для любого m ≥ l + 1 равенство − ⋅ = m s m+1,s m−1,s2,= ( ) ,101 , 1 1 , 1 1 , 1 , 1 , −=− − − − + − − − − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ mjjm s m j s m s m j s smsm sпричем, согласно формуле (12), справедливо неравенство, 1 , 1 1, 1 1, 1 0; ⋅ − ⋅ ≥ m s− m− j s− m+ s− m− j− s− j = 0,1,...,m − l −1.Так как m,s−1 > 0 и s > 0, то 1, 1, 02, − ⋅ > m s m+ s m− s прилюбом m ≥ l + 1. Значит, тройка чисел (8) не образуетгеометрической прогрессии и не может быть тривиаль-ной последовательностью.Теорема 2. Пусть 0,..., s и r0,..., rp - два множестванеотрицательных чисел и 0 > 0, r0 > 0. Тогда последо-вательностьk ,m (0 ,..., s , r0 ,..., rp ) , m = 0,1,..., k, где k ≥ 2 , (13)является -последовательностью. Эта -последователь-ность будет геометрической прогрессией или триви-альной последовательностью лишь тогда, когда онаприводится к виду, ,..., , 0 .10 0 010 0k k− r r k− rk (14)Доказательство. По теореме 1 и лемме 3 последова-тельности0 (r0 ,...,rp ) , 1 (r0 ,...,rp ) ,....,k (r0 ,...,rp ) ; (15)k (r0 ,...,rp ) , k 1 (r0 ,...,rp ) ,....,0 (r0 ,...,rp ) − (16)являются -последовательностями. Перемножая их и поль-зуясь леммой 2, получим последовательность(0,..., s)k(r0,..., rp), 1(0,..., s)k−1(r0,..., rp),...,1(0,..., s)k−1(r0,..., rp),которая также будет -последовательностью. Вспоминаяформулу 1 из свойства 4, получим, что (13) есть -после-довательность. Это доказывает первую часть теоремы 2.Докажем вторую часть 2. Если s + p = 0 или s + p > 0 и 1 = ...... = s = r1 = ... = = rp = 0, то в обоих случаях получим после-довательность = 123 123m = 0,1,..., k, вида (14), которая будет геометрическойпрогрессией или тривиальной последовательностью.Остается показать, что в остальных случаях -по-следовательность (13) не будет геометрической про-грессией или тривиальной последовательностью. Дей-ствительно, пусть вопреки нашему утверждению -по-следовательность (13) является геометрической про-грессией или тривиальной -последовательностью.Тогда по лемме 2 последовательности (15) и (16) будутгеометрическими прогрессиями или тривиальнымипоследовательностями. Так как среди чисел 0,..., s,r0,..., rp есть хотя бы три числа, отличные от нуля, то водной из последовательностей (15), (16) есть хотя быдва числа, отличные от нуля. Согласно теореме 1, однаиз этих последовательностей не будет геометрическойпрогрессией и не будет тривиальной последовательно-стью. Получаем противоречие.
Вы можете добавить статью