Locally uniformly rotund norm on С(K), where K is lexicographic square.pdf В данной статье рассматривается теорема сущест-вования эквивалентной локально равномерно выпуклойнормы на пространстве С(К ) , где К − лексикографи-ческий квадрат.Будем использовать стандартные обозначения, гдеQ − множество рациональных чисел. Определим про-странство 0 ( ) c ƒ : пусть { } ƒ ƒƒ x = x , точка 0 ( ) x  c ƒ ,если для любого ƒ > 0 ≥ ƒ ƒ x лишь для конечногочисла элементов.Обозначим окрестности точек на лексикографиче-ском квадрате в топологии, индуцированной порядком:− окрестности точек (x,0) , x > 0(ƒ) = {(ƒ, ƒ) [0, 1]2 / 0 < − ƒ < ƒ, ƒ [0,1]}( ,0) O x x {(ƒ, ƒ) [0,1]2 / ƒ = x, ƒ < ƒ},(ƒ) = {(ƒ, ƒ) [0,1]2 / ƒ = 0, ƒ < ƒ}(0,0) O ;− окрестности точек (x, y), x [0,1], y  (0,1) :O x y (ƒ) = {( ƒ, ƒ) [0,1]2 / ƒ = x, ƒ − y < ƒ}( , ) ;− окрестности точек (x,1), x < 1:(ƒ) = {( ƒ, ƒ) [0,1]2 / 0 < ƒ − < ƒ, ƒ[0,1]}( ,1) O x x {(ƒ, ƒ) [0,1]2 / ƒ = x, ƒ > 1− ƒ},( ) {( , ) [0,1]2 / 1, 1 }.(1,1) O ƒ = ƒ ƒ  ƒ = − ƒ < ƒПЕРЕНОРМИРОВКА ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙНА ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКОМ КВАДРАТЕИспользуя результаты статьи Зизлера [1] и следуяпримеру построения локально равномерно выпуклойнормы на C(D), где D − пространство «две стрелки»[2],докажем, что на пространстве C(K), где K − лексико-графический квадрат, существует эквивалентная норма.Теорема. Пусть задано пространство C(K) с нормойравной f sup f (x)xK= , где K − лексикографический ква-драт. Тогда на C(K) существует эквивалентная пер-воначальной локально равномерно выпуклая норма.Доказательство. Из [1] следует, что для существо-вания локально равномерно выпуклой нормы нам дос-таточно построить на пространстве С(K) семействолинейных ограниченных операторов P : С(К )  С(К ), ƒƒ  ƒ , обладающее свойствами:1. Образ отображения Т, определенного формулойTx( ) = P (x) , x  С(К ) ƒ ƒ , лежит в 0 ( ) c ƒ ;2. Если x  С(К ) , то { } ƒ  ƒ ƒ x sp P x ;3. P (С(X )) ƒ − сепарабельны (и, следвательно, име-ют эквивалентную локально равномерно выпуклую нор-му) для любого ƒ  ƒ .Пусть A {rk , k N} =  − нумерация чиселQ (0,1) .Определим ƒ = {(x, y)  (0,1)2 Q : y > x}.Положим ƒ , равное объединению пяти множествГi, 1 ≤ i ≤ 5, где 1 {(0,0)} ƒ = , ƒ2 = [0,1] ƒ ,3 [0,1] {1} ƒ =  A , ƒ4 = {1} ƒ и {0} 2 [0,1]5 ƒ =  A  .Для каждого i ƒ определим следующие операторы:0,0 ( )( , ) (0,0) P f x y = f .⎪ ⎪⎩⎪ ⎪⎨⎧ƒ − ƒ = ƒ ≥ > ƒ− = ƒ ≤

Скачать электронную версию публикации