Application of spatial matrixes for studied of hypercomplex numbers systemsand finite-dimension algebras.pdf Теория многомерных (в основном трёхмерных) мат-риц находила применение главным образом для класси-фикации алгебраических форм [1, 2]. В частности, в [1]рассматривается классификация трилинейных и двойнич-ных кубических форм. Однако определяя билинейное ум-ножение, обычно задают либо определяющие соотноше-ния, например для системы кватернионов:i2 = j2 = k2 = −1, ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j,либо таблицу умножения базисных единиц. Но билиней-ное умножение векторов n-мерного пространства можетбыть задано с помощью трёхмерной матрицы аналоги-чно тому, как линейные операторы задаются обычнымидвумерными матрицами. Пусть фиксирован базис про-странства e1, … en. Произведение каждой пары базисныхвекторов ei ej определено как aij1e1 +…+ aijnen. Тогда сущест-вует n2 векторов и n3 структурных констант, которыеудобно расположить в виде трёхмерной числовой матри-цы. С одной стороны, каждое вертикальное сечение дан-ной объёмной матрицы (при фиксированном первом иливтором индексе) есть квадратная матрица линейного опе-ратора в пространстве Rn, действующего как левое илиправое умножение на фиксированный базисный вектор ei.С другой стороны, всякое горизонтальное сечение (прификсированном третьем индексе) можно рассматриватькак некоторую матрицу билинейной формы.Умножение векторов a⋅b в алгебре, задаваемой мат-рицей с элементами ƒijk, может быть записано следую-щим образом:⎜ ⎜ ⎜⎝⎛⎟ ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜ ⎜⎝⎛⎟ ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜ ⎜⎝⎛ƒ ƒƒ ƒn nn nnn bba a MLM O ML 111 1111 1 1( 1 ,..., ) ,..…,⎟ ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜ ⎜⎝⎛⎟ ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜ ⎜⎝⎛ƒ ƒƒ ƒn n nnn nn nnn bba a MLM O ML 1111 1( 1,..., )⎟ ⎟ ⎟⎠⎞==⎜ ⎜⎝⎛ƒƒ= =ƒninjij aibj1 11 ,…, ƒƒ= =ƒninjijnaibj1 1 ⎟ ⎟⎠⎞.Получаем возможность, исследуя пространственнуючисловую матрицу, определители её двумерных сеченийи другие ассоциированные с этой матрицей величины,изучить свойства той или иной конечномерной алгебры, вчастности, системы гиперкомплексных чисел. Каждаячисловая система, например комплексных чисел (рис. 1),кватернионов определяется некоторым билинейным опе-ратором, который будем задавать пространственнойматрицей (рис. 2).Векторное умножение в трёхмерном пространстве так-же может быть задано матрицей (рис. 3),а тот факт, что в системе отсутствует единичный эле-мент по умножению, отражается определённым обра-зом на строении этой матрицы - она не является по-добной никакой пространственной матрице, содержа-щей единичные матрицы в качестве сечений при фик-сированном первом либо втором индексе. Отождеств-ляя оператор с некоторой матрицей, свойства системыгиперкомплексных чисел могут быть исследованы спомощью исследования её строения, так как она одно-значно определяет операцию умножения в системе.Линейное пространство n-мерных алгебр изоморфнолинейному пространству трёхмерных матриц порядка n.Матрица линейного оператора двумерна, матрицабилинейного оператора умножения трёхмерна. Мат-ричный метод описания действия оператора можнораспространить на m-арные операции. Всякий m-арныйполилинейный оператор n-мерного пространства мо-жет быть задан матрицей размерности m+1 порядка n.Если фиксировать один из векторов, то получаем (m − 1)-арный полилинейный оператор, матрица которого будетлинейной комбинацией вертикальных сечений матрицыисходного оператора. Заметим, что для случая m = 1, т.е.обычных (унарных) линейных операторов векторныхпространств, матричный аппарат применяется изна-чально, в то же время для бинарных - используется такназываемая «таблица умножения» мнимых единиц. Вданной статье ограничимся рассмотрением бинарныхопераций.Такие свойства, как коммутативность, ассоциатив-ность, наличие делителей нуля, а также единицы поумножению (нейтрального элемента операции) опреде-лённым образом отражаются на строении матрицы.Так, если единичный элемент является одним из базис-ных, то вертикальные сечения пространственной мат-рицы будут единичными матрицами. Наличие делите-лей нуля для бинарной операции взаимосвязано с на-личием ненулевого ядра линейного оператора, дейст-вующего как умножение на фиксированный элементпри данной бинарной операции. Рассматривая действиеразличных операций с помощью единого матричногоподхода, возможно установить взаимосвязь между та-кими понятиями, как, например, инвариантные под-пространства линейного оператора и идеалы алгебры.Идеал конечномерной алгебры является инвариантнымподпространством для всех операторов, индуцирован-ных фиксированными векторами. Действительно, еслиrI  I для всякого r  Rn , то I является инвариантнымподпространством оператора, действующего как ум-ножение на r.Строение матрицы, задающей бинарную операцию,зависит от выбора базиса. Пусть A − матрица билиней-ной операции в базисе e1, …, en. Матрица A состоит изкоординат произведений всевозможных пар векторов eiej относительно исходного базиса. Тогда матрица Bэтой операции относительно нового базиса f1,…,fn со-стоит из координат всех произведений вида fifj, выра-женных в новом базисе f1,…,fn . В связи с этим понятиеподобия матриц распространяется с плоских матриц намногомерные. Пусть матрица в старом базисе состоитиз структурных констант ƒijk, в новом базисе − ƒijk, дву-мерная матрица С перехода к новому базису. Знаяматрицу умножения и новый базис, в новом базисе еёможно вычислить, решив n2 систем уравнений для ка-ждого i, j от 1 до n:⎪ ⎪⎩⎪ ⎪⎨⎧ƒ + + ƒ = ƒƒ + + ƒ = ƒƒƒƒƒ= == =nrntn ij nn ijn is jt rtnnrntij n ijn is jt rtc с c cc с c c1 11 11 111 1 1 1... .... ,LКроме того, преобразование базиса может приво-дить к упрощению структуры трёхмерной матрицы.Рассмотрим некоторые свойства конечномерной ал-гебры и их взаимосвязь со строением трёхмерной мат-рицы данной алгебры.Очевидно, что конечномерная алгебра коммутатив-на тогда и только тогда, когда eiej = ejei. Это эквива-лентно тому, что для всяких i, j = 1, …, n выполнено ус-ловие αilk = αjik, то есть матрица A симметрична относи-тельно диагонального сечения:⎟ ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜ ⎜⎝⎛ƒ ƒƒ ƒn nnnnnLM O ML11111 1.Рассмотрим взаимосвязь между строением матрицыконечномерной алгебры и существованием единицы поумножению.Теорема 1. Для билинейной операции, заданной ма-трицей A с элементами αijk, существует левый единич-ный элемент тогда и только тогда, когда следующаясистема из n2 уравнений с n неизвестными являетсясовместной и определённой:⎪⎩⎪⎨⎧ƒ ƒ + + ƒ ƒ =ƒ ƒ + + ƒ ƒ =... 0,... 1,1 1 1 1111 1 11n nn nn nL , . . . ,⎪⎩⎪⎨⎧ƒ ƒ + + ƒ ƒ =ƒ ƒ + + ƒ ƒ =... 1.... 0,1 111 1 1nn nnn nn n n nLВ этом случае единичным элементом билинейнойоперации умножения является вектор (ƒ1,…, ƒn).Доказательство. Пусть в пространстве Rn существу-ет левый единичный элемент по умножению. Обозна-чим этот элемент ƒ. Для всякого x  Rn верно ƒx = x.Запишем произведение ƒx с помощью элементов трёх-мерной матрицы, задающей умножение в данной ал-гебре. Получим равенство векторов:⎜ ⎜⎝⎛,1 1ƒ ƒ 1= =ƒ ƒninjij i x j …, ƒƒ= =ƒ ƒninjijn ixj1 1 ⎟⎟⎠⎞= (x1,…, xn),которое выполняется для всех (x1,…, xn). Из совпаденияпервых координат этих векторов получаем... 1,11 1111 x xn xniin inii i = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ƒ ƒ + + ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ƒ ƒ ƒ ƒ= =что эквивалентно1, 0 , ..., 0 .11121111 ƒ ƒ ƒ = ƒ ƒ ƒ = ƒ ƒ ƒ == = =niin inii inii iЭти равенства составляют первые n уравнений сис-темы с неизвестными ƒi. Аналогичным образом, срав-нивая остальные координаты, получаем в итоге систе-му из n2 уравнений:⎪⎩⎪⎨⎧ƒ ƒ + + ƒ ƒ =ƒ ƒ + + ƒ ƒ =... 0,... 1,1 1 1 1111 1 11n nn nn nL , . . . ,⎪⎩⎪⎨⎧ƒ ƒ + + ƒ ƒ =ƒ ƒ + + ƒ ƒ =... 1.... 0,1 111 1 1nn nnn nn n n nLЗаметим, что если данная алгебра коммутативна, тонайденный таким образом элемент (ƒ1,…,ƒn) являетсяединицей алгебры. Если алгебра некоммутативна, тодля того чтобы (ƒ1,…,ƒn) был единичным элементом,необходимо также чтобы он был правой единицей,критерий существования которой доказывается анало-гично с помощью системы⎪⎩⎪⎨⎧ƒ ƒ + + ƒ ƒ =ƒ ƒ + + ƒ ƒ =... 0,... 1,11 1 1111 1 1 1n nn nn nL ,...,⎪⎩⎪⎨⎧ƒ ƒ + + ƒ ƒ =ƒ ƒ + + ƒ ƒ =... 1.Таким образом, координаты вектора, умножение накоторый будет тождественным линейным оператором(если он существует), можно вычислить следующимобразом:11 21 1211 221 2 1111 121 1 121 1221 2 1121 1 11001n n nnnnn nnnnƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒƒ ƒƒ ƒƒ ƒƒ =LM M O MLLLM M O MLL== =ƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒƒ ƒƒ ƒƒ ƒ12 22 2212 222 2 2112 122 1 2212 2222 2 2122 1 2010n n nnnnn nnnnLM M O MLLLM M O MLLn n n n nnnn n nnn n nnn n nnnn nnn nnƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒƒ ƒƒ ƒƒ ƒLM M O MLLLM M O MLL1 221 22 211 12 1222 212 110 0,=ƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒƒ ƒƒ ƒƒ ƒƒ =11 21 1211 221 2 1111 121 1 111 21211 221111 121001n n nnnnn nnLM M O MLLLM M O MLL=ƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒƒ ƒƒ ƒƒ ƒ=12 22 2212 222 2 2112 122 1 212 22212 222112 122010n n nnnnn nLM M O MLLLM M O MLL.10 01 221 22 211 12 11 221 2211 12n n n n nnnn n nnn n nnn n n nn nn nƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒƒ ƒƒ ƒƒ ƒLM M O MLLLM M O MLLТеперь рассмотрим строение трёхмерной матрицы,задающей умножение, если в качестве одного из векто-ров базиса взять элемент ƒ. Пусть ƒ =e1. Тогда умноже-ние на e1 является тождественным оператором и соот-ветственно, вертикальное сечение трёхмерной матри-цы, полученное при фиксировании первого индексаi=1, будет единичной матрицей. Когда элемент ƒ явля-ется одновременно левой и правой единицей, два вер-тикальных сечения, а именно при i=1 и j=1, будут яв-ляться единичными двумерными матрицами. Такимстроением, например, обладают матрицы системы ком-плексных чисел и кватернионов (рис. 1 и 2).Рассмотрим взаимосвязь между наличием ненуле-вого идеала алгебры и строением её трёхмерной мат-рицы.Теорема 2. Если алгебра содержит ненулевой идеал,то матрица, задающая умножение в этой алгебре, по-добна матрице, вертикальные сечения которой содер-жат нулевые строки.Доказательство. Пусть подпространство I являетсяправым идеалом алгебры, заданной матрицей A. Обо-значим через f1,…, fm базис подпространства I. Пустьэти элементы являются первыми m элементами новогобазиса пространства Rn. Для всякого x  Rn и r  I вер-но xr  I. . Следовательно, при умножении на любой изэлементов f1,…, fm образ будет являться линейной ком-бинацией элементов f1,…, fm. Отсюда следует, что ум-ножение вида (x, fi) является вырожденным операто-ром, образ которого есть линейная оболочка векторовf1,…, fm. Матрица этого оператора содержит хотя быодну нулевую строку, в то же время эта матрица естьвертикальное сечение трёхмерной матрицы, задающейконечномерную алгебру.Текст исследования опубликован также на сайтеhttp://alg1992.narod.ru

Скачать электронную версию публикации