The Lowners equation with composite rule..pdf Примеров интегрирования уравнения Левнера в квадра-турах известно очень немного [1]. Поэтому представляетсяважным нахождение новых управляющих функций, позво-ляющих найти решение этого уравнения. В связи с этим ин-тересно аппроксимировать управление постоянными и ли-нейными функциями. В работе рассматривается простейшийслучай, когда управляющая функция составлена из однойлинейной и одной постоянной частей.1.Рассмотрим уравнение Левнера( )( ) ( ) ( )( ) ( ) , 1111ƒ ƒ − ςƒ ƒ + ς= −ςƒςdd 0 ≤ ƒ < ,с управляющей функцией( )⎩ ⎨ ⎧ƒ ≤ ƒ ≤ ƒ < ƒ ≤ ƒ ≤ ƒƒ ƒ = ƒƒƒ, ,, 0 ,1 20 1i 1ieeгде 0 const, 0 1, [ , ], 1 1 arg 0 . ƒ = ƒ = ƒ  − ƒ ƒ ƒ = ƒƒ + ƒНа промежутке [ ] ƒ 0, ƒ1 будем интегрироватьуравнение( )( )( )(1)011 01ƒ − ςƒ + ς= −ςƒςƒƒƒƒiieedd при начальном усло-вии ς(1)(0, z)= z, где z − точка единичного кругаE = {z : z < 1} . Произведя замену (1),1 ς = e−iƒƒς придем куравнениюln( ) , (0, ) .10 1d 1 0 1 z zd eiς =ƒ − ςƒ + ς= −ƒƒƒςВыполнив интегрирование, с учетом начального ус-ловия, получим( ) ( )( ) ( ) −ƒ + ƒ + − ƒ ς ƒƒ + ƒ + − ƒ+ ƒ 0 1 002 1 1ln 1 112i ii i z1 ln .10 1= −ƒ+ ƒ ƒ ς− zi (1)Функция ( ) 1 ,ς 1 = ς eiƒƒ где 1 ς неявно задана равенст-вом (1), отображает единичный круг на единичный кругK1 с разрезом по некоторой жордановой кривой L1 .На промежутке [ ] ƒ  ƒ1, ƒ2 уравнение( )( )( )(2)22211− ς+ ς= −ςƒςƒƒiieeddбудем интегрировать при начальном условииς(2)(0, ς(1))= ς(1),где ( ) 1 \ 1.ς 1 K L Сделав замены( ) (2) ,2ς = e−i ƒ1 −ƒ ς (1) ( ) (1) ,1ς = e−i ƒ1 −ƒ ςполучаем уравнение222211− − ς− + ς= −ςƒςdd с начальнымусловием (0, ( )) (1),112 1 ς ς = ς где (1)1 ς - точка единичногокруга с жордановым разрезом, полученного поворотомобласти K1 \ L1 на угол 1. ƒ − ƒВыполнив интегрирование, с учетом начального ус-ловия будем иметьln 2ln(1 ) ln ( ) 2ln(1 (1)) .112 2 1 ς − − ς = −ƒ + ς − − ς (2)Введем обозначение( )( ( )) ,1 1 2111− ςςƒ = (3)с учетом которого равенство (2) запишется в видеквадратного уравнения для 2 ς :( ) 2 1 2 2 1 0.22 = + ς ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ƒς − +eƒИз данного уравнения следует, что.41 1 422 −ƒ−ƒƒ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− + ƒς =eeЗдесь корень в числителе выбран в соответствии сусловием 1 = 1.Таким образом, решение уравнения Левнера на про-межутке [ ] ƒ1, ƒ2 имеет вид( ) (ƒ −ƒ)−ƒ−ƒƒ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− + ƒς = 141 1 422 eieeи переводит K1 \ L1 в единичный круг K2 с непрерыв-ным разрезом L2 , который состоит из прямолинейнойчасти, начинающейся на границе единичного круга иидущей по радиусу, и части, являющейся жордановойкривой. Точкой стыка описанных частей разреза L2является точка( ) 1 1 ( 1 ).22 ƒ − ƒ ƒ − ƒ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ς = − e − − e eiКомпозиция ς(ƒ, z) = ς(2)(ƒ,(ς(1)(ƒ, z))) решений ς(1) иς(2) уравнения Левнера есть функция, голоморфная вE при каждом [ ] ƒ  0, ƒ2 и однолистно отображающаяE на K2 \ L2 .2. Найдем функцию, предельную для функции ς .Имеем( ) ( ) =ƒ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− + ƒ= ς ƒ = −ƒ−ƒƒƒƒƒ eef z e z e41 1 4lim , lim2=ƒ− + ƒ + ƒ= − ƒ−ƒ −ƒƒ 2 2lim 1 1 4 2ee e=−−= + ƒ− ƒ− ƒ+ ƒƒ= −ƒ−ƒ− ƒ ƒ−ƒ−ƒ−ƒƒ elim 1 1 4= ƒ+ ƒƒ+ ƒ ++ ƒƒ==− + ƒ− + ƒ=−ƒ−ƒ−ƒ−ƒƒ−ƒ −ƒ−ƒƒee eee eeУчитывая равенство (3), получаем( )( )( ( )) ,1 1 2111− ςςf z = (4)где ( ) ( )111ς = e−i ƒ1−ƒ−ƒƒ ς и 1 ς неявно определяется равенст-вом (1), в котором ƒ = ƒ1. Функция f (z) = z +..., даваемаяформулой (4), однолистна в единичном круге и ото-бражает его на плоскость с непрерывным разрезом,состоящим из прямолинейного участка, идущего из ,и конечной жордановой кривой.

Скачать электронную версию публикации