Torsion free rank 2 Abelian groups with automorphisms of order 4 or 6.pdf Известно, что если G - группа ранга 2 и ϕ − ее автомор-физм конечного порядка, то этот порядок равен 2, 3, 4 или 6[1]. Согласно [2], если порядок ϕ отличен от 2, то группа Gявляется однородной. Ставится задача описать эти группы.Данная статья посвящена квазиразложимым абелевымгруппам без кручения ранга 2, обладающим автоморфизмомпорядка 4 (или 6).Напомним, что подгруппа A группы G без кручения про-извольного ранга квазиравна G, если фактор-группа G/A ог-раничена, т.е. существует такое натуральное n, что nGAG.Группа G называется квазиразложимой, если она содер-жит в себе квазиравную подгруппу, разложимую в прямуюсумму нулевых подгрупп.Пусть G − однородная квазиразложимая группа без кру-чения ранга 2 нулевого типа, обладающая автоморфизмом ϕпорядка 4 (или 6). Согласно [3. C. 136], G вполне разложимаягруппа, а следовательно, G будет просто свободной группой.Легко видеть, что если G = 〈a〉 ⊕ 〈b〉, то отображение ab,b −a индуцирует автоморфизм ϕ порядка 4 группы G.Аналогично отображение ab, b −a+b индуцирует авто-морфизм порядка 6. Естественно, возникает вопрос: еслиG − свободная группа ранга 2 и ϕ − произвольный ее ав-томорфизм порядка 4 (или 6), то существует ли такое раз-ложение группы G = 〈a〉 ⊕ 〈b〉, что ϕ(a) = b, ϕ(b) = − a (со-ответственно ϕ(a) = b, ϕ(b) = − a + b)? Другими словами,будут ли любые два автоморфизма порядка 4 (или 6) сво-бодной группы ранга 2 сопряжены в группе всех авто-морфизмов?Лемма 1. Пусть G − свободная группа ранга 2 и ϕ −автоморфизм группы G порядка 4. Тогда существуюттакие элементы a и b из G, чтоG = 〈a〉 ⊕ 〈b〉, ϕ(a) = b, а ϕ(b) = − a.Доказательство. Так как G − свободная группа, то Gимеет вид G = 〈a〉 ⊕ 〈b〉. Пусть ϕ − автоморфизм поряд-ка 4, и относительно этого разложения он задается мат-рицей вида .⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛k lm n Базис {a, b} такой, что G = 〈a〉 ⊕ 〈b〉и ϕ(a) = b, ϕ(b) = − a существует тогда и только то-гда, когда существует такая целочисленная матрица Т == ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛21 2211 12t tt t с определителем, равным  1, что выполня-ется равенство,1 10 01 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−= ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ T −k lT m n (1)и в этом случае a = t11a + t21b, b= t12a + t22b.Таким образом, доказательство сводится к отыска-нию вышеуказанной целочисленной матрицы Т. Равен-ство (1) эквивалентно следующему равенству:.1 00 121 2211 1221 2212 11 ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− = ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛t tt tk lm nt tt t (2)Так как порядок равен 4, то ϕ2 = −ƒ. Следовательно,0 1 ,1 02⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛k lm n поэтомуl = − m, m2 + 1 = − nk. (3)Перемножая матрицы в равенстве (2), имеем,11 1221 2221 22 21 2212 11 12 11 ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛− = ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛+ −+ −t tt tt m t k t n t mt m t k t n t mчто эквивалентно следующей системе уравнений:⎪⎩⎪⎨⎧− = −+ = −− =+ =.,,,21 22 1221 22 1111 12 2211 12 21t n t m tt m t k tt n t m tt m t k tТаким образом, доказательство свелось к отыска-нию такого целочисленного решения этой системы,чтобы определитель матрицы T был равен 1. Запишемматрицу коэффициентов этой системы уравнений:.0 11 00 11 0⎟ ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜ ⎜⎝⎛− −− −−n mm kn mm kИспользуя (3), легко показать, что ранг этой матрицыравен 2. Находим общее решение системы уравнений⎩ ⎨ ⎧= − += − −,,12 21 2211 21 22 t nt mtt mt ktгде t21, t22 − свободные неизвестные. Тогда матрица T име-ет вид.21 2222 21 22 21 ⎟⎠⎞ ⎜⎝= ⎛ − t − − t +T mt kt nt mtПокажем, что свободным неизвестным t21, t22 всегдаможно придать такие целые значения, что | T | =  1, т.е.21 22 1.221221 22 22 − mt t − kt + nt − mt t =  Это уравнение можнорассмотреть как квадратное уравнение − − 22 212nt21 2mt t2 1 022 − kt  = относительно t21 или как квадратное урав-нение 2 2 1 021 22 21222 − kt − mt t + nt  = относительно t22. За-дача свелась к тому, чтобы показать, что эти уравнениявсегда имеют целочисленное решение, и тогда | T | =  1.Легко видеть, что достаточно рассмотреть одно из этихуравнений и ограничиться случаем | T | = 1.Найдем решение уравнения21 22 1.221221 22 22 − mt t − kt + nt − mt t = Учитывая условие, что m2 + 1 = − nk, решения уравнениянаходятся по формуле.222 22nmt n tT −= (4)Из равенства m2 + 1= − nk получаем, что − nk предста-вимо в виде суммы квадратов двух чисел. Из теориичисел известно, что тогда n и −k представимы в видесуммы двух квадратов.Пустьn = u2 + v2, −k = s2 + t2. (5)Тогдаm2 + 1 = (us + vt)2 + (ut − vs)2. (6)В (4) t22 можно положить равным либо v, либо u.Пусть t22 = v. Определим значение t21. Из условия (6)и из единственности представления числа в виде сум-мы двух квадратов следует, что существуют следую-щие возможности:a) m = us + vt, 1 = ut − vs, t22 = v. Тогда( ) ( 1) ,( )2 22 22 22 2 22 22 2 2 222 221tu vt u v u vs utu vusv v t u t u t uu vus vt u v vnmt n tT=++ + − +=++ + − +==++ + + −=+ −=свободным неизвестным t21, t22 можно придать значе-ния t22 = v, t21 = t, тогда t11 = − mt − kv, t12 = − nt + mv;b) m = us + vt, 1 = − ut + vs, t22 = v, тогда T2 = t;c) m = − us − vt, 1 = ut − vs, t22 = v, T2 = t, тогда T2 = − t;d) m = − us − vt, 1 = − ut + vs, t22 = v, тогда T1 = t.То же самое нужно проверить, поменяв значения mи 1, а также рассмотрев случай t22 = u. Во всех случаяхполучаем, что существуют такие целые значения t21, t22,что | T | =  1. Лемма доказана.Итак, для случая, когда автоморфизм ϕ порядка 4,показано, что всегда существует такая целочисленнаяматрица T с определителем, равным  1, что выполня-ется равенство (1).Аналогичное утверждение справедливо для ϕ по-рядка 6. А именно, имеет местоЛемма 2. Пусть G − свободная группа ранга 2 и ϕ −автоморфизм группы G порядка 6. Тогда существуюттакие элементы a и b из G, что G = 〈a〉 ⊕ 〈b〉 и ϕ(a) = b,а ϕ(b) = − a + b.Доказательство этой леммы проводится аналогич-ным образом. Заметим только, что если порядок ϕ ра-вен 6, то ϕ2 = ϕ − ƒ. Тогда в данном случае условие (3)имеет вид l = 1 − m, m2 − m + 1 = − nk, вследствие чегопринципиально изменятся условия (5) и (6). А именно,n = x2− − xy + y2, −k = z2 − zt + t2. (5)Легко проверить, что (x2 − xy + y2) (z2 − zt + t2) = (xz −− xt −yz)2 − (xz − xt − yz) ( xz − yt) + ( xz − yt)2. Следова-тельно,m2 − m + 1 = (xz − xt − yz) −− (xz − xt − yz) (xz − yt) + (xz − yt)2. (6)Как следствие этих лемм имеет местоТеорема 3. Пусть G − квазиразложимая группа безкручения ранга 2, внутренний тип IT(G) которой не со-держит символов , и пусть G обладает автоморфизмомпорядка 4 (или 6). Тогда G вполне разложима и длялюбого автоморфизма ϕ порядка 4 (или 6) существуеттакое разложение группы G = 〈a〉* ⊕ 〈b〉*, что ϕ (a) = b,ϕ (b) = − a (соответственно ϕ (a) = b, ϕ (b) = − a + b).Доказательство. Поскольку G обладает автоморфиз-мом порядка 4 (или 6), то она однородная [2]. Так каквнутренний тип IT(G) не содержит символов , то из [4]следует, что G ≅ R ⊗zG0, где R − группа ранга 1 и typeR ≈≈IT(G), а G0 − квазиразложимая группа нулевого типа, акак уже отмечалось выше, она будет просто свободнойгруппой. Поскольку G − свободная группа, то она всегдаобладает автоморфизмами порядка 4 (или 6). Следова-тельно, и группа G обладает такими автоморфизмами.То, что для любого ϕ порядка 4 (или 6) существуетуказанное разложение группы G0 = 〈a〉 ⊕ 〈b〉, следует излемм 1 и 2. А тогда (R ⊗ 〈a〉) ⊕ (R ⊗ 〈b〉) будет иско-мым разложение группы G.

Скачать электронную версию публикации