Mathematical model of social insurance fund with exponential dis-tributed insuranse and social outcomes.pdf Математическая теория процессов разорения, играющихважную роль в страховом деле, ведет начало с 1903 г. Начи-ная с этого времени исследование процессов разорения про-водились различными авторами, например, обзор работ по-священных этой тематике в только в [1] содержит тридцатьшесть наименований. Дальнейшим развитием теории процес-сов разорения послужила так называемая классическая мо-дель работы страховой компании [2]. В последние годы дос-таточно много работ, например [3−6], посвящено обобщениюи усложнению этой модели.Но в настоящий момент в Российской Федерации кромеклассических страховых компаний на рынке страховых услугприсутствуют государственные организации. Используя ме-ханизмы, во многом похожие на страховую деятельность,государство с помощью таких организаций выполняет неко-торые социальные функции и реализует социальные гаран-тии. Как уже было отмечено выше, деятельность таких струк-тур, с одной стороны, во многом похожа на работу страховойкомпании, с другой стороны, она имеет ряд существенныхотличий. Например, для таких организаций характерен пол-ный или частичный отказ от получения коммерческой выго-ды по результатам своей работы. Стандартным примероморганизации такого типа являются государственные фондысоциального страхования.Фонды социального страхования РФ созданы на основа-нии постановления Совета министров РФ и Фонда независи-мых профсоюзов. В отличие от обычных страховых компа-ний в задачу Фонда входит не только оплата страховых слу-чаев (временной нетрудоспособности, пособий по беремен-ности и родам и т.д.), но и систематические выплаты по реа-лизации региональных и отраслевых программ по охранездоровья работников, санаторно-курортному лечению, об-служиванию детей и т.д.Построению и исследованию математических моделейфондов социального страхования в последние годы посвященряд работ, в которых идеи классической модели страхованияприменяются с учетом особенности работыРазлагая p2(S − c0ƒt) в ряд Тейлора, получимp2 (S) = (1−(ƒ + ƒ)ƒt)[p2 (S) − p2 (S)c0ƒt]++ ƒƒ + ƒ +t p (S x)p (x)dx02( ) ( ) ( )0+ ƒƒt p2 S + y pƒ y dy + o ƒt.Сокращая p2(S), деля на ƒt и переходя к пределуƒt 0, получим интегро-дифференциальное уравнениедля p2(S): +(ƒ + ƒ) = ƒ + + ƒc p (S) p (S) p (S x)p (x)dx00 2 2 2p (S y)p ( y)dy02 ƒ+ ƒ + . (3)Воспользуемся теперь тем, что pƒ(x) и pƒ(y) имеютэкспоненциальный вид. Тогда= ⎟⎠⎞⎜⎝ + =  + ⎛ −ƒdxap S x xap (S x)p (x)dx 1 ( )exp0202dtap t taSa S⎟⎠⎞⎜⎝⎛ − ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ =  1 exp ( )exp2 .Аналогичноdybp t tbSbp S y p y dyS⎟⎠⎞⎜⎝⎛ − ⎟⎠⎞⎜⎝ + = ⎛ ƒ( ) ( ) 1 exp 2 ( )exp02 .Тогда интегро-дифференциальное уравнение (3) бу-дет иметь следующий вид:( ) + ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ − ⎟⎠⎞⎜⎝ƒ ⎛= ƒ + ƒ +  dtap t taSac p S p SS0 2 ( ) 2 ( ) exp 2 ( )expdybp t tbSb S⎟⎠⎞⎜⎝⎛ − ⎟⎠⎞⎜⎝ƒ ⎛+ exp 2 ( )exp . (4)Решение (4) будем искать в виде p2(S) = C exp(−ƒS). По-сле преобразования слагаемых, входящих в (4), с учетомявного вида решения получаем− c0ƒCe−ƒS +(ƒ + ƒ)Ce−ƒS =S e Sbe CaC −ƒ −ƒƒ +ƒ+ƒ +ƒ1 1.Приравнивая к нулю коэффициент при C exp(−ƒS), по-лучим уравнение, определяющее ƒ:( )0 1 ƒ +1ƒ+ƒ +ƒ− ƒ + ƒ + ƒ =a bc . (5)После приведения последнего уравнения к стандарт-ному виду окончательно имеем{ (0( ) ( ) ) ( 0 ( ))} 02ƒ c0abƒ + ƒ c a + b − ƒ + ƒ ab + c − ƒa + ƒb = .Таким образом, имеются три корня: один ƒ = 0, а двадругих находятся из квадратного уравненияc abƒ + ƒ(c0(a + b)−(ƒ + ƒ)ab)+20+(c0 −(ƒa + ƒb))= 0. (6)В области S > S0, исходя из экономического смыслазадачи, должно выполняться условие c0 − (ƒa + ƒb) < 0.Это означает, что ƒ1ƒ2 < 0, следовательно, оба корнявещественные и имеют разные знаки.Пусть для определенности ƒ1 > 0, а ƒ2 < 0. Тогда об-щее решение (4) имеет видp2 (S) = A2 + B2 exp(− ƒ 2S)+ C2 exp(− ƒ1S),но при этом должно выполняться естественное граничноеусловие lim 2 ( ) = 0+p SS. Следовательно, A2 = 0, B2 = 0,так как ƒ2 < 0, то −ƒ  + S+exp( 2S) , и только C2 >0.Окончательно, для удобства запишем p2(S) в сле-дующем виде:( ) ( ( )) p2 S = C2 exp − ƒ1 S − S0 , S ≥ S0 , (7)где ƒ1 − положительный корень квадратного уравнения(6), а разность S − S0 записана для удобства. Заметим,что константа C2 пока никак не определена.Теперь перейдем к области, где S < S0, найдем плот-ность распределения вероятностей в этой области, ко-торую обозначим p0(S). Рассуждая аналогичным обра-зом, для этого случая получим следующее интегро-дифференциальное уравнение:c0 p0 (S) + ƒp0 (S) =+⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢⎣⎡+ + +ƒ= −−− − p S x e dx  p S x e dxaaxS SaS S x00( ) 2 ( )00p S x e dxbbxS S −− +ƒ+02 ( ) . (8)Учитывая экспоненциальный вид функций распределе-ния pƒ(x) и pƒ(y), выполним в (8) замену переменных t == S + x. Получимc0 p0 (S) + ƒp0 (S) =+⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢⎣⎡+ƒ=−  − e  p t e dt  p t e dtaatSaS tSaS000 ( ) 2 ( )e p t e dtbbtS SbS  −−−  ƒ+02 ( ) .Учитывая (7), вычислим интегралы, которые со-держат p2(S). ИмеемaSatSeap t e dx Ca001( )122 ƒ +ƒ=ƒ − ,bSbtSebp t e dx Cb001( )122 ƒ +ƒ=ƒ − .Таким образом, окончательно, уравнение (8) имеетследующую структуруc0 p0 (S) + ƒp0 (S) =+ + +ƒ= −  0 ( ) Const1 Const20bSaSa tSSaSa e p t e dt e ee p t e dtbbtS SbS  −−−  ƒ+02 ( ) .После применения стандартной процедуры сведения кдифференциальному уравнению получим неоднород-ное линейное уравнение с постоянными коэффициен-тами: − ƒ  =( ) − 0 ( )000 p Sc ac ap S 1 1 Const .2 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +e b a bSСоответствующее характеристическое уравнениеимеет корни ƒ = 0 и ƒ = (с0 − ƒa)/c0a.. Заметим, что по-следний корень положителен, так как в этой областивыполняется условие c0 > ƒa, которое следует из эко-номического смысла задачи. Так как правая часть урав-нения зависит от S как exp{S/b}, то решение (8) имеетследующий вид:( ) p0 S = A0 + F0 exp(ƒS)+ G0 exp(S b). (9)Но lim 0 ( ) = 0−p SS, а значит A0 = 0. Условия для оп-ределения оставшихся двух констант находятся послеподстановки (9) в исходное уравнение (8). После рядапреобразований, приравнивая числовые коэффициентыпри одинаковых степенях экспоненты, получим сле-дующую систему линейных уравнений для определе-ния F0 и G0:⎪ ⎪⎩⎪ ⎪⎨⎧ƒ +ƒ= ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−ƒ+ƒ +ƒ= −−ƒ+ƒ −ƒ ƒ.1,1 1120010 0 2000bCa babcG eae Ca be G baFbSbSSОткуда окончательно( )(b )(c [a b] ab)G C e b b a bSƒ + − + ƒƒ −= −1 00 2 10,( )( ) [ ] ( )⎥⎦⎤⎢⎣⎡ƒ + − + ƒƒ −+ƒ +ƒ= − −ƒb c a b abb a bF C e S a1 1 00 2 1 10 . (10)Заметим, что осталось неиспользованным условиесшивания на границе S0, которое выглядит следующимобразом p2(S0) = p0(S0 − c0ƒt) + O(ƒt). Или, после пре-дельного перехода при ƒt  0, имеем условие p2(S0) == p0(S0). Покажем, что это условие не противоречитполученным выше соотношениям, т.е. являетсяследствием (7) и (10).Имеем p0 (S0) = F0exp(ƒS0) + G0exp(S0/b), p2(S0) = C2.Таким образом, необходимо проверить истинность со-отношения C2 = F0exp(ƒS0) + G0exp(S0/b). Подставляя впоследнее соотношение явный вид констант F0 и G0,после достаточно громоздких преобразований получим10 1 0 1=ƒ +ƒ+ƒ +ƒc bbc aa . А это просто другая формазаписи уравнения (6). Таким образом, условие сшива-ния p2(S0) = p0(S0) не является самостоятельным, а сле-дует из полученного ранее решения.Неизвестная C2 находится из очевидного условиянормировки ( ) ( ) 100 0 +  2 =+−p S dS p S dSSS.СЛУЧАЙ РЕЛЕЙНО-ГИСТЕРЕЗИСНОГОУПРАВЛЕНИЯТеперь рассмотрим более сложный вариант управ-ления капиталом Фонда, который можно назвать ре-лейно-гистерезисным управлением. Он состоит в сле-дующем.Устанавливаются два пороговых значения величи-ны капитала - S1 и S2. При S < S1 выплаты на социаль-ные нужды не производятся, то есть всегда ƒ(S) = 0.При S > S2 всегда производятся выплаты с интенсивно-стью ƒ, т.е.ƒ(S) = ƒ. А вот в области S1 < S < S2 выплатыпроизводятся или нет в зависимости от того, как траек-тория S(t) вошла в эту область: если S(t) вошла черезграницу S1, то берется ƒ(S) = 0, если же она вошла че-рез границу S2, то берется ƒ(S) = ƒ. Другими словами,выплаты на социальные нужды начинаются, когдавпервые выполнится неравенство S(t) ≥ S2, и заканчи-ваются, когда станет S(t) < S1. Область S1 < S < S2 ипредставляет собой гистерезис в управлении выплата-ми на социальные нужды. При этом само управлениекапиталом носит релейный характер.Найдем плотность вероятностей p(S) капитала фондаS в стационарном режиме. Она будет иметь различныйвид в областях, S < S1, S1 < S < S2 и S < S2. Причем в об-ласти S1 < S < S2 плотность вероятности будет зависетьеще и от вида траектории процесса S(t) .Начнем с области S < S2. Отметим, что в этой облас-ти выплаты на социальные программы производятся,таким образом ƒ(S) = ƒ. Плотность вероятностей p(S) вэтой области будем обозначать как p2(S). Результат дляp2(S) с точностью до обозначений совпадает с анало-гичной плотностью в случае простого релейного управ-ления. Таким образом, в новых обозначениях имеем( ) ( ( )) p2 S = C2 exp − ƒ1 S − S2 , S ≥ S2 , (11)где ƒ1 − положительный корень квадратного уравнения(6), а разность S − S2 записана для удобства. Заметим,что константа C2 пока никак не определена.Перейдем к области, в которой S1 < S < S2. Сначаларассмотрим случай, когда в этой области выплаты насоциальные нужды производятся. Соответствующуюплотность вероятностей будем обозначать как p12(S).Тогда, используя аналогичные рассуждения, получимследующее уравнение для определения p12(S):c0 p12 (S) + (ƒ + ƒ)p12 (S) =+⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢⎣⎡+ + +ƒ= −−− − p S x e dx  p S x e dxaaxS SaS S x22( ) 2 ( )012⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢⎣⎡+ + +ƒ+ −−− − p S x e dx  p S x e dxbbxS SbS S x22( ) 2 ( )012 . (12)Учитывая (11), преобразуем интегралы, которые со-держат p2(S). ИмеемaS SaxS Seap S x e dx Ca2211 ( )122− −− ƒ + + = ,bS SbxS Sebp S x e dx Cb2211 ( )122− −− ƒ + + = .Таким образом, окончательно после замены t = S + xуравнение (12) приобретает следующий вид:c0 p12 (S) + (ƒ + ƒ)p12 (S) =+ƒ ++ƒ=−−  aS SaS tSaSeae p t e dt Ca2 21( )1212bS SbS tSbSebe p t e dt Cb2 21( )1212−−ƒ ++ƒ+  . (13)Используя стандартную методику сведения к диф-ференциальным уравнениям, несложно показать, чтоуравнения для p2(S) и p12(S) абсолютно аналогичны.Поэтому решение (7) будем искать в следующем виде:p12 (S) = A12 + B12 exp(− ƒ 2S)+ C12 exp(− ƒ1S) . (14)Вычисляем соответствующие интегралы:A 2 21212 ,⎟ ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜ ⎜⎝⎛−ƒ +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + ƒ − ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + ƒ − ⎟⎠⎞⎜⎝−⎛ ƒ − 2 2 2 2 21 1212 121SaSaSSate eae dt BaB ,⎟ ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜ ⎜⎝⎛−ƒ +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + ƒ − ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + ƒ − ⎟⎠⎞⎜⎝−⎛ ƒ − 2 1 1 1 21 1112 121SaSaSSate eae dt CaC .Заметим, что интегралы, в которые в качестве сомно-жителя входит exp(−t/b), будут выглядеть аналогично сточностью до параметра распределения.Подставляя (14) в (13) и учитывая последние равенства,получим некоторое выражение, левая и правая части кото-рого будут содержать слагаемые, зависящие от различныхстепеней экспоненты. Для того чтобы полученное выраже-ние обратилось в тождество, потребуем равенства число-вых коэффициентов справа и слева у соответствующихстепеней экспоненты. Получим при свободных членах (ƒ +ƒ)A12 = ƒA12 + ƒA12. Это очевидное равенство, которое про-сто сокращается в обеих частях тождества. При exp(−ƒ2S)( )1 2 1122120 2 12 12 ƒ +ƒ+ƒ +ƒ− ƒ + ƒ + ƒ =bBac B B B .Но ƒ2 является корнем уравнения (5), следовательно,это выражение тоже обращается в тождество. Анало-гично, сокращаются коэффициенты при exp(−ƒ1S). На-конец, при exp(−(S2 − S)/a) имеем1 1 1 12112212122 2 1 2ƒ +=ƒ ++ƒ ++−ƒ −ƒaCaC eaA B eS S,а при exp(−(S2 − S)/b)1 1 1 12112212122 2 1 2ƒ +=ƒ ++ƒ ++−ƒ −ƒbCbC ebA B eS S.Еще одно условие получим, рассмотрев поведениеp12(S) на границе S1. Так как переход из области S < S1невозможен, получаем p12(S1) = 0(1 − (ƒ + ƒ)ƒt + O(ƒt).После предельного перехода при ƒt 0 имеем усло-вие p12(S) = 0. Или, учитывая явный вид p12(S) (10)( ) ( )0 A12 + B12 exp − ƒ 2S1 } + C12 exp − ƒ1S1 = .Таким образом, для определения констант A12, B12 иC12 получена следующая система неоднородных ли-нейных уравнений:⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩⎪⎪ ⎪ ⎪⎨⎧+ + =ƒ +=ƒ ++ƒ ++ƒ +=ƒ ++ƒ ++−ƒ −ƒ−ƒ −ƒ−ƒ −ƒ0.,1 1 1,1 1 12 1 1 12 2 1 22 2 1 212 12 1212112212121211221212S SS SS SA B e C ebCbC ebA B eaCaC eaA B eРешение последней системы уравнений однозначно оп-ределяет константы A12, B12 и C12, которые будут про-порциональны C2, т.е. будут иметь вид: A12 = C2a12; B12==C2b12; C12 = C2c12, где a12, b12 и c12 определены однозначно.Теперь рассмотрим случай, когда в области S1 < S < S2выплаты на финансирование социальных программ непроизводятся. Это означает, что ƒ(S) = 0, соответству-ющую этому случаю плотность распределения вероят-ностей будем обозначать, как p11(S). Интегро-диффе-ренциальное уравнение для p11(S) имеет следующий вид:c0 p11(S) + ƒp11(S) = p S x e dxaaS −S − x +ƒ 2011( ) . (15)Применяя стандартную методику, перейдем к сле-дующему однородному линейному дифференциальномууравнению второго порядка:c0ap11(S)+ (ƒa − c0 )p11(S) = 0 .Соответствующее характеристическое уравнение имееткорни ƒ = 0 и ƒ = (c0 − ƒa)/c0a. Заметим, что последний ко-рень положителен, так как в этой области выполняетсяусловие c0 > ƒa, которое следует из экономического смыслазадачи. Таким образом, решение (15) можно искать в видеp11(S)= E11 + F11 exp(ƒS). (16)Подставляя (16) в исходное уравнение (15), полу-чим первое условие, позволяющее определить неиз-вестные константы E11 и F11: E11 = [F11/(ƒa − 1)]exp(ƒS2).Второе уравнение получим из условия сшивания награнице S = S2:p2 (S2 ) = p11(S2 − c0ƒt)(1− ƒƒt)++ p12 (S2 − c0ƒt)(1−(ƒ + ƒ)ƒt)+ o(ƒt).После предельного перехода при ƒt  0, имеем усло-вие p11(S2) = p2(S2) − p12(S2). Отсюда, учитывая явныйвид p2(S) (11) и p12(S) (14): 2 ( 2 2 1 2 )11 11 2 12 12 12E + F eƒS = C − A + B e−ƒ S + C e−ƒ S .Таким образом, получили два уравнения для опре-деления двух неизвестных, следовательно, E11 и F11определяются однозначно с точностью до сомножителяC2. Для удобства запишем эти константы в следующемвиде: E11 = C2e11, F11 = C2f11.И, наконец, рассмотрим последнюю область S < S1. На-помним, что при этих условиях выплаты на социальные про-граммы не производятся. Интегро-дифференциальное урав-нение для плотности распределения вероятностей в этойобласти, которую мы обозначили как p0(S), имеет видc0 p0 (S) + ƒp0 (S) = + +ƒ − − p S x e dxaaS1 S x00 ( )+ +ƒ+ +ƒ+− −−− −−  p S x e dxap S x e dxaaS S xS SaS S xS S212111( ) 12 ( )+ +ƒ+ +ƒ+ −− −−  p S x e dxbp S x e dxabxS SaxS2 S 22 ( ) 2 ( )( ) .2112 b p S x e dxbS S xS S−−− +ƒ+ (17)Заметим, что плотности p2(S), p12(S), и p11(S) нами полу-чены выше с точностью до сомножителя C2, поэтому вы-полним стандартную замену t = S + x и обозначим через+ƒ=− p t e dtaC I atSa22 2 ( )a p t e dt a p t e dta tSSa tSS− −   ƒ+ƒ+212111( ) 12 ( ) ,p t e dtbC I btSb− ƒ=22 2 ( ) p t e dtbbS tS−  ƒ+2112 ( ) .Тогда (17) можно переписать какc0 p0 (S) + ƒp0 (S) =bbSaaS S xaSe C Ibe p S x e dx C Ia 2 2001( )ƒ+ ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛+ +ƒ=− − .После применения стандартной процедуры сведения кдифференциальному уравнению получим неоднородноелинейное уравнение с постоянными коэффициентами.− ƒ  =( ) − 0 ( )000 p Sc ac ap S bbSC Ia be 21 1 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + . (18)Так как и в этой области выполняется условие с0 >ƒa, то решение (14) имеет следующий вид:p0 (S) = A0 + F0 exp(ƒS)+ G0 exp(S b), (19)где по-прежнему ƒ = (c0 − ƒa)/c0a. Но lim 0 ( ) = 0−p SS, азначит A0 = 0. Условия для определения оставшихся двухконстант находятся после подстановки (15) в исходное урав-нение (13). После ряда преобразований, приравнивая число-вые коэффициенты при одинаковых степенях экспоненты,получим следующую систему линейных уравнений для оп-ределения F0 и G0:⎪ ⎪⎩⎪ ⎪⎨⎧= ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−ƒ+= −−ƒ+ƒ −ƒ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ − ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ƒ−.1 ,20021 10101 1baa S b a Sa b C IabG ca b e C IF a e G bОтметим, что, как и в случае, когда рассматрива-лось простое релейное управление капиталом, у насосталось неиспользованным условие сшивания на гра-нице S1, которое в этом случае выглядит как p11(S1)== p0 (S1 − c0ƒt)+ O(ƒt). Или, после предельного перехо-да при ƒt0, имеем условие p11(S1) = p0(S0). Но и в этомслучае можно показать, что оно является следствиемполученного выше решения, хотя процедура доказа-тельства будет еще более громоздкой.Последняя константа С2 находится из очевидногоусловия нормировки( ) [ ( ) ( )] ( ) 12211 0 +  11 + 12 +  2 =+−p S dS p S p S dS p S dSSSSS.ЗАКЛЮЧЕНИЕВ настоящей работе рассмотрена деятельность Фондасоциального страхования. Построена и исследована ма-тематическая модель его деятельности при релейном ирелейно-гистерезисном управлении капиталом такогофонда. Рассмотрен случай, когда выплаты по страховымслучаям и на финансирование социальных программ об-разуют пуассоновский поток событий и являются одина-ково распределенными независимыми случайными вели-чинами с экспоненциальной функцией распределения. Врамках сделанных предположений найдена стационарнаяплотность распределения капитала такого фонда.

Скачать электронную версию публикации